Потоки финансовых платежей

Простые проценты

Основные понятия

Процентные деньги (проценты) – 1. сумма, уплаченная за пользование заемными денежными ресурсами; 2. доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, инвестиции и т.д.).

Процентная ставка (такса) – 1. характеризует интенсивность начисления процентов; 2. отношение процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени, к величине капитала.

I=f(PV, n, i),

I=I PV n,

где I – процентные деньги,

PV – величина капитала, предоставляемого в кредит,

n – срок, на который предоставляется кредит,

I – процентная ставка.

Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.

Проценты обычные (декурсивные) – проценты, начисляемые по истечении определенного периода после вложения средств. Вычисляются относительно первоначальной суммы денег.

Проценты авансовые (антисипативные) – проценты, уплачиваемые в момент выдачи денежных средств. Вычисляются относительно суммы денег с процентами (наращенной суммы).

Этим видам процентов на практике соответствуют определенные процентные ставки: обычная ставка и антисипативная ставка.

Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая – сложным, то есть в зависимости от того, что является базой для начисления – переменная или постоянная величина – проценты также делятся на:

простые – проценты, весь срок финансовой операции определяется относительно первоначальной суммы;

сложные – проценты, база для определения которых постоянно меняется за счет присоединения (снятия) начисленных раннее процентов.

Следующей формулой выражается суть практических расчетов, связанных с исчислением суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты и размера срочного вклада с процентами:

FV= PV (1+n i),

где PV – современная стоимость денег,

FV – наращенная (будущая) стоимость денег.

При использовании простых процентов, когда срок сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражаем дробным числом как отношение числа дней проведения сделки к числу дней в году, т. е.:

n=t/y.

Тогда, FV=PV(1+i t/y).

В зависимости от сочетания t и y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1. t и y измерены точно – это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции. Для определения t здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала (если день выдачи и день погашения ссуды считают за 1);

2. если t измерено точно, а y – приближенно. Этот способ используется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычислении в выражении t/y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, то есть 360 по сравнению с 365, то размер начисленных процентов при прочих равных условиях соответственно будет несколько большим – на 1,3889%. России по такому принципу ведутся все банковские операции.

3. когда t и y измерено приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с приближенным сроком операции при некоторых видах расчетов с населением.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму.

В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа.

Процентное число = Сумма срок ее хранения в днях/100.

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на дивизор:

Дивизор = Продолжительность года в днях/годовая ставка процентов (в процентах).

Таким образом, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается по следующей формуле:

I = Сальдо процентных чисел/Дивизор.

Пример 1.1. На расчетный счет предприятия поступили средства: 15.01 – 890 000 руб., 19.01 – 536 780 руб., 2.02 – 321 000 руб., 20.03. – 17 278 577 руб.; дебетовое сальдо с прошлого квартала на 01.01 текущего года – 27 160 руб.

Снятие средств осуществилось: 18.01 – 210 000 руб., 22.02 – 500 000 руб., 15.03 – 780 000 руб.; процентная ставка – 10% годовых на остаток по счету.

Подвести итоги на 31.03 текущего года по текущему счету предприятия в банке.

Решение:

1. Исходные данные заносим в таблицы, в гр. «Сумма»: поступление – в дебет, расход – в кредит.

2. В гр. «Дни» записываем t, т. е. порядковый номер дня, на который подводим итог, минус номер дня операции.

3. Далее в гр. «Процентное число» записываем:

210 000*37:100 = 151 200;

500 000*89:100 = 185 000, и. т. д.

4. Затем на балансовой строке процентных чисел подводим их итог: складываем процентные числа дебета и отдельно кредита. Большая сумма пишется в баланс в дебет и кредит, а сальдо (разница между суммой процентных чисел дебета и кредита) проставляется, где сумма меньше.

5. Исчисляем процентный платеж исходя из сальдо процентных чисел и дивизора:

I = Процентное число/ Дивизор = 2 695 399,6 / 360:10 = 74 872,21 руб.

Кредит

Дата снятия	Дни (t)	Сумма (PV)	Процентное число
18.01	N(31.03) – N(18.01)= = 90-18 = 72	210 000	151 200
22.02	N(31.03) – N(22.02)= = 90-53 = 37	500 000	185 000
15.03	N(31.03) – N(15.03)= = 90-74 = 16	780 000	124 800

Сальдо процентных чисел: 3 156 399,6 – 461000 = 2 695 399,6

Дебет

Дата поступления	Дни (t)	Сумма (PV)	Процентное число
1.01 (сальдо)	N(31.03) – N(1.01)= = 90-1= 89	27 160	24 172,4
15.01	N(31.03) – N(15.01)= = 90-15= 75	890 000	667 500,0
19.01	N(31.03) – N(19.01)= = 90-19 = 71	536 780	381 113,8
2.02	N(31.03) – N(2.02)= = 90-33 = 57	321 000	182 970,0
20.03	N(31.03) – N(20.03)= = 90-79= 11	17 278 577	1 900 643,4

Итого 3 156 399,6

Таким образом, на 31.03 средства на счете с процентами составят: 27 160 + 890 000 + 536 780 + 321 000 + 17 278 577 + 74 872,21 – – 210 000 – 500 000 – 580 000 = 17 838 389,21 руб.

Для определения доходности ряда финансовых операций применяется следующая формула:

i=(FV-PV)y/(PV t),

где PV и FV могут трактоваться как цены покупки и продажи финансового актива (соответственно);

t – время между покупкой и продажей актива.

Пример 1.2. Корпоративные облигации номиналом 10 тыс. ден. ед. со сроком обращения 6 месяцев продавались в день выпуска по цене 5 тыс. ден. ед., а через 30 дней – по цене 6,2 тыс. ден. ед.

Определить: а). доходность облигаций к погашению; б). доходность при продаже (рассматриваемые облигации относятся к разряду таких ценных бумаг, операции с которыми до срока погашения осуществляются ниже номинала).

а). Дано:

FV = 10 тыс. ден. ед.

PV = 5 тыс. ден. ед.

t = 6 мес.

Y = 12 мес.

Определить:

i_k погаш. = ?

Решение:

i_k погаш. = (200 % годовых).

б). Дано:

FV = 6,2 тыс. ден. ед.

PV = 5 тыс. ден. ед.

t = 30 дней

Y = 360 дней

Определить:

i_k текущ. = ?

Решение:

i_k текущ. = (288 % годовых).

Пример будет решаться в случае, если ценные бумаги, купленные в момент выпуска за 5 тыс. ден. ед., проданы через 30 дней по цене 6,2 тыс. ден. ед. Возможно решение и в том случае, если задан лишь курс ценной бумаги, т. е.

, или .

Для этого формула i=(FV-PV)*y/(PV*t) преобразуется путем деления числителя и знаменателя на PV в следующую:

i = .

Пример 1.3. Курс дисконтной облигации со сроком обращения 91 день в день выпуска – 75 (в процентах от номинала). Оценить доходность к погашению.

Дано:

PV/ FV = 0,75

t = 91 день

Y = 365 дней

Определить:

i_k погаш. = ?

Решение:

i_k погаш. = = 1,34 (134 % годовых).

Пример 1.4. Доллары США, купленные по курсу 24 руб 40 коп. за 1 долл., продали спустя 3 месяца по курсу 24 руб. 50 коп. за 1 долл. Исчислить доходность операции.

Дано:

FV = 24,5

PV = 24,4

t = 3 мес.

Y = 12 мес.

Определить:

i = ?

Решение:

i = (1,64 % годовых).

В практике финансово-экономических расчетов может возникнуть и обратная (по отношению к наращению) задача: по известной сумме FV определить объем размещенных средств PV.

Дисконтирование – принятое в финансовой математике название процедуры определения стоимости денег в более ранний момент времени в соответствии с принятой ставкой дисконтирования.

Дисконтирование коммерческое (банковский учет) – дисконтирование, при котором ставкой дисконтирования выступает дисконтная ставка.

Дисконтирование математическое – дисконтирование, при котором ставкой дисконтирования выступает обычная процентная ставка (ставка процентов).

Дисконт – разность между будущей и текущей суммами денег. На практике: скидка с номинала дисконтной ценной бумаги.

Дисконтная ставка – процентная ставка, применяемая для вычисления процентов авансовых.

В этих расчетах величина PV называется приведенной или современной стоимостью суммы FV, а при операции наращения сумма FV выступает как будущая стоимость величины PV.

Прямой расчет FV при ставке i соответствует правилу декурсивных (обычных) процентов и называется наращиванием «со ста».

Из формул наращивания «со ста» производится обратное действие, или расчет денежных средств, предоставляемых в долг (величины PV). Это действие, помимо дисконтирования, называется учетом «на сто»:

PV = FV/(1+n i);

PV = FV/(1+t/y i).

При банковском дисконтировании используют следующие формулы:

FV=PV/(1-d);

PV=FV(1-n d) и PV=FV(1- d t/y).

D = FV d t/y.

Пример 1.5. Ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 суток составляет 14,1% (годовых). Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в результате операции поступило 1,5 млн. руб. (точные прценты)?

Дано:

FV = 1,5 млн. руб.

i = 14,1 % годовых

t = 3 суток

Y = 365 дней

Определить:

PV = ?

Решение:

PV = млн. руб.

Пример 1.6. Сумма долга, подлежащая возврату, – 10 тыс. руб. Определить сумму начисленных процентов, если срок ссуды 1 год, декурсивная ставка процентов 70 % годовых.

Дано:

FV = 10 тыс. руб.

n = 1 год

i = 70 % годовых

Определить:

Проценты (FV-PV) = ?

Решение:

I = тыс. руб.

Пример 1.7. Дата погашения дисконтного векселя 30 июня текущего года. Какова его выкупная цена и дисконт на 12 июня, если его номинал 100 тыс. руб., вексельная ставка 40 % годовых?

Дано:

t = 18 дней

Y = 360 дней

FV = 100 тыс. руб.

d = 40 % годовых

Определить:

PV = ?

D = ?

Решение:

PV = FV-D = 100-100 0,4 = 100-2 = 98 тыс. руб.

Определим соотношение простых ставок i и d при условии равенства доходов, выплачиваемых при декурсивном проценте и доходов, выплачиваемых при авансовом проценте. Эквивалентность ставок i и d:

i = d/(1-n d);

d = i/(1+i n).

i = d/(1-d t/y);

d = i/(1+i t/y).

Пример 1.8. Доходность по дисконтной ценной бумаге со сроком обращения 3 месяца оценена в виде дисконтной ставки, равной 100% годовых, а доходность размещения средств на 3-месячный депозит – 120 % годовых. Сравнить эффективность операций.

Дано:

d = 100%

i = 120%

t = 3 мес.

Y = 12 мес.

Решение:

i_экв. =

Итак, доходность дисконтной бумаги выше, чем размещение средств во вклад (133% > 120%).

Задачи для самостоятельного решения:

1. Определите доходность (процентов годовых) помещений капитала в 100 денежных единиц на 3 месяца, если его наращенная стоимость 120 денежных единиц.

2. Дисконтные облигации номиналом 100000 руб. со сроком обращения 9 месяцев продаются в день выпуска по цене 60000 руб., а через 90 дней – по цене 75800 руб. Определите доходность облигаций к погашению и текущую доходность.

3. Курс дисконтной облигации со сроком 90 дней выпуска 80,5 (в процентах). Оцените доходность к погашению.

4. Финансовый актив, купленный за 15000 денежных единиц, продали спустя 27 дней за 16000. Оцените доходность операции.

5. Исчислите текущую стоимость денег, будущая стоимость которых через 3 процентных периода при начислении простых процентов оценивается в размере 100 денежных единиц. Ставка процентов за период – 1%.

6. Банк начисляет по 3-месячному депозиту 28% годовых. Какую сумму надо внести на депозит, чтобы получить 3000 руб. к концу операции.

7. Учесть дисконтный вексель номиналом 10000 руб. за месяца до погашения по вексельной ставке 40% годовых.

8. Дата погашения дисконтного векселя 5 июля текущего года, его выкупная цена на 23 февраля? Номинал векселя 1000000 руб., учетная ставка – 8% в год.

9. Процентный вексель банка гарантирует исчисление процентов исходя из 40% годовых при сроке обращения 30 дней. Определите эквивалентную дисконтную ставку.

10. Что выгодней: приобрести дисконтный вексель со сроком погашения 100 дней, если доходность оценена вексельной ставкой 30%, или предоставить ссуду на тот же срок под 45% годовых.

11. Сравните доходность финансовых инструментов:

дисконтный вексель со сроком обращения 9 месяцев, учетная ставка – 40% годовых.

процентный вексель с таким же сроком (ставка – 45% годовых).

Тема 2.

Сложные проценты

Основные понятия

Сложные проценты – проценты, база для определения которых постоянно меняется за счет присоединения (снятия) начисленных раннее процентов.

Начисление процентов на проценты – расчеты по правилу сложных процентов.

Реинвестирование (капитализация) процентов – процедура систематического присоединения процентов к сумме денег, относительно которой они определялись.

Наращение по сложной ставке – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов. Так же в финансовой математике называют процедуры начисления суммы денег с начисленными процентами.

Если расчет осуществляется по декурсивной ставке i, то используют следующую формулу:

FV = PV(1+i)ⁿ,

где (1+i)ⁿ – коэффициент наращения, или множитель наращения.

Пример 2.1. Ссуда 2 млн. руб. выдана под сложные проценты на 3 года. Проценты (10 % годовых) начисляются ежегодно и присоединяются к основной сумме долга. определить сумму задолженности к погашению.

Дано:

PV = 2 млн. руб.

i = 10% годовых

n = 3 года

Определить:

FV = ?

Решение:

FV = PV(1+i)ⁿ = 2(1+0,1)³ = 2,662 млн. руб.

Если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а чаще (m раз в год), то говорят, что имеет место m-кратное начисление процентов. При этом годовую базовую ставку обозначают j и называют номинальной в отличие от эффективной ставки i, которая характеризует полный эффект (доходность) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Поэтому:

(1+i)ⁿ = (1+j/m)^m*n;

i = (1+j/m)^m – 1;

j/m = (1+i)^1/m – 1.

При внутригодовой капитализации наращенная сумма определяется по формулам:

FV = PV*(1+j/m)^m*n;

FV = PV*(1+j/m)^m*t/y.

При разработке инвестиционных решений в проектном анализе принимают иногда, что m = ∞, т. е. осуществляется непрерывное начисление процентов по истечении малых промежутков времени. Ставку за этот малый промежуток времени называют силой роста, а наращенную стоимость исчисляют так:

FV = PV * e ^i*n,

где e ^i*n – математическая экспоненциальная постоянная.

Пример 2.2. По вкладу А проценты начисляются один раз в год исходя из 120% годовых. По вкладу Б обслуживание осуществляется по полугодиям исходя из 100% в год. Сравнить доходность размещения средств.

Дано:

А: j = 120 %

m = 1

Б: j = 100 %

m = 2

j: m = 50 % (ставка за период)

Решение:

i = (1+j/m)^m-1;

А) i = (1+1.2/1)¹-1 = 1.2 (120%)

Б) i = (1+1/2)²-1 = 1.25 (125%)

Вклад Б – выгоднее, т.к. i_Б > i_А.

Пример 2.3. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 тыс. руб. Определить наращенную сумму вклада через 2 года, если проценты начисляются ежеквартально из расчета 80 % годовых.

Дано:

PV = 10 тыс. руб.

j = 80% годовых

n = 2 года

m = 4 (т. е. 4 раза в год

(ежеквартально)

начисляются проценты)

Определить:

FV = ?

Решение:

FV = PV(1+j/m)^mn = 10 тыс.(1+0,8/4)^4*2 = 42,99817 тыс. руб.

Пример 2.4. По дебетовой магнитной карте ежеквартально начисляются и присоединяются проценты исходы из 9% годовых. Определите какой суммой будет располагать владелец карточки через 7 месяцев, если она сформирована на 500$.

Дано:

PV = 500 долл. США

j = 9% годовых

m = 4

t = 7 мес.

Y = 12 мес.

Определить:

FV = ?

Решение:

FV = PV(1+j/m)^m*t/y = 500(1+0,09/4)^4*7/12 = 500(1+0,09/4)² = 522, 75 $

В данном примере проценты начисляются только за полный процентный период, поэтому 1/3 из степени следует отбросить (т. е. за 7 месяцев минуло 2 полных процентных периода – 2 квартала).

Определение FV по PV называется прямым счетом. Обратный расчет, учет «на сто», дает значение современной стоимости денег. Формула математического учета по сложной процентной ставке имеет вид:

PV = FV/ (1+i)ⁿ.

Величина (1+i) ^-n называется дисконтирующим или учетным множителем.

При неоднократном учете дисконтных ценных бумаг (учете и переучете) на одинаковых условиях дисконтирование по сложной ставке d выглядит так:

PV = FV (1-d)ⁿ,

где d – учетная ставка;

n – срок до конца финансовой операции, равный числу раз учета.

Пример 2.5. Определить текущую стоимость денег, будущая величина которых через 10 периодов оценивается в 2000 д.е. Ставка дисконтирования – 3% за период.

Дано:

FV = 2000 д.е.

i = 3% за период

n = 10 процентных периодов

Определить:

PV = ?

Решение:

PV = д. е.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Ссуда предоставлена на 4 года под 60% годовых. Процент начисляется ежегодно и присоединяется к основной сумме долга. Во сколько раз дешевле обойдется ссуда, полученная под простые проценты.

2. Средства размером 2000 руб. помещены во вклад, по которому проценты начисляются ежеквартально из расчета 16% годовых и присоединяется к основной сумме долга. Определите наращенную сумму вклада, если срок хранения 9 месяцев.

3. Банк предлагает следующие варианты помещения денежных средств:

во вклад А под 40% годовых;

во вклад Б под 30% годовых с начислением и присоединением процентов каждое полугодие;

во вклад В под 20% годовых с ежеквартальным начислением и присоединением процентов.

Определить какой вклад самый выгодный.

4. Ставка по кредиту 50% годовых. Определите размер полученной на 4 месяца ссуды, если подлежит вернуть 310000 руб. Проценты начисляются присоединяются к основной сумме долга.

5. Будущая стоимость денег через 10 периодов 20 денежных единиц. Исчислите текущую стоимость, если ставка дисконтирования 1% за период. Начисляются сложные проценты, производится дисконтирование «на сто».

Тема 3.

Потоки финансовых платежей

Основные понятия

Потоки финансовых платежей, или финансовые, денежные потоки, представляют собой ряд следующих друг за другом выплат и поступлений денег в рамках одной финансовой операции.

Аннуитет – это 1). платежи, PVF современная стоимость регулярного финансового платежа (платежей). К таким платежам относятся погашение кредита, выплата долга, взносы при страховании, создание амортизационного фонда и т. п.;

2). вид государственного долгосрочного займа, по которому кредитор ежегодно получает определенный доход (ренту), устанавливаемый с учетом постепенного погашения суммы долга вместе с процентами по нему.

Регулярные финансовые потоки – это финансовые потоки, в которых поступление средств осуществляется через одинаковые промежутки времени вне зависимости от происхождения и назначения платежей.

Классификация аннуитетов:

1. В зависимости от того варьирует ли размер разового платежа или нет:

- постоянные аннуитеты;

- переменные аннуитеты.

2. По времени осуществления платежей (в начале процентного периода или в конце процентного периода):

- аннуитет prenumerando;

- аннуитет postnumerando.

3. По наличию принципа условия:

- безусловные аннуитеты;

- условные аннуитеты (выплачиваемые при наступлении какого-либо события).

4. По времени их действия:

- немедленные аннуитеты, действие которых начинается после заключения договора;

- отложенные аннуитеты, платежи по которым производятся по истечении оговоренного периода.

5. По продолжительности периода:

- годовые аннуитеты;

- полугодовые аннуитеты;

- ежемесячные и другие аннуитеты.

Обозначения, используемые для анализа аннуитетов:

R – суммарный годовой платеж (размер суммы, которая переходит от одного владельца к другому в течении года, либо предполагается возможность такого перехода);

p – число раз поступлений отдельных платежей в течении года;

PMT – сумма отдельного разового платежа, для постоянного аннуитета равна R/p;

n – время, период; срок потока платежей;

m – число раз в году начислений процентов исходя из ставки j в течении года;

i (j) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании отдельных платежей, из которых состоит поток.

Наращенная стоимость аннуитета (FVA) – это сумма всех последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу срока операции.

Для осуществления расчетов при условии осуществления платежей и начисления процентов 1 раз в год: m = p = 1, используют следующие формулы:

FVA^post = PMT = PMT ,

где – коэффициент (множитель) наращения обычной финансовой ренты.

FVA^prenum = PMT ,

где – коэффициент (множитель) наращения.

Если вложения и капитализация осуществляются чаще, чем раз в год: m = p ≠ 1, то применяется следующая формула:

FVA^post = PMT .

Если вложения осуществляются реже, чем капитализация, т. е. p < m, p = 1, то применяется следующая формула:

i = ,

FVA^post = PMT .

Если вложения осуществляются чаще, чем капитализация, т. е. p > m, m = 1, то применяется следующая формула:

,

FVA^post = PMT .

Универсальная формула, которая может быть использована при любом случае:

FVA = PMT .

Современная стоимость регулярных финансовых потоков (срочных аннуитетов (PVA)) – это сумма всех платежей, дисконтированных на начало периода первого платежа.

Дисконтирование аннуитета postnumerando выглядит следующим образом:

PVA = PMT ,

где – коэффициент современной стоимости срочного аннуитета.

Для конкретных вариантов формула видоизменяется следующим образом:

1). При m = p = 1:

PVA = PMT .

2). При p < m, p = 1:

PVA = PMT .

3). При m ≠ p ≠ 1:

PVA = PMT .

Дисконтирование аннуитета prenumerando выглядит следующим образом:

PVA^prenum = PMT(1+i) .

Примеры

Пример 3.1. Ежегодно в конце года в течении 4 лет на специальный счет поступают 50 ден. ед. Определить наращенную стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов по ставке 10%.

Дано:

Срочный аннуитет

postnumerando

PMT = R = 50 ден. ед.

p = 1

m = 1

i = 10% годовых

n = 4 года

Определить:

FVA = ?

Решение:

FVA^prenum = R 50*4,641 = 232,05 д. е.

Пример 3.2. Для погашения задолженности единовременным платежом через 2 года должником в кредитном учреждении создается амортизационный (погасительный) фонд, в котором постепенно накапливаются достаточные для этого средства. Определить размер равных взносов в конце полугодия для создания через 2 года погасительного фонда 500 млн. руб. Фонд создается в кредитном учреждении, которое начисляет проценты ежеквартально исходя из годовой ставки 80%.

Дано:

P = 2 раза

N = 2 года

FVA = 500 млн. руб.

m_j = 4

j = 80%

Определить:

PMT = ?

Решение:

PMT = FVA: млн. руб.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Определите размер разовых взносов на счет под 10% годовых с ежеквартальным обслуживанием, чтобы через 2,5 года собрать 725000 руб. Взносы осуществляются один раз в год.

2. Для создания погасительного фонда предприятие в течение 3 лет перечисляло в банк ежегодно 40000 руб., на которые кредитное учреждение начисляло проценты исходя из расчета 10% годовых (проценты присоединяются дважды в год). Взносы осуществляются каждое полугодие. Определите объем фонда к моменту окончания всех взносов.

3. В течение 4 лет ожидается поступление от реализации проекта в размере 1300000 руб. ежеквартально. Единовременное вложение в проект в начале года 8000000 руб. Оцените соотношение доходов и расходов исходя из ставки сравнения 10% годовых.

4. В течение 7 периодов по ценным бумагам выплачиваются дивиденды 100 руб. каждый период. Приведите величину всех будущих поступлений на начало первого периода исходя из 2% за период.

Тема 4.

Планирование погашения задолженности

Основные понятия

Обозначения, используемые для планирования погашения задолженности:

D – первоначальная сумма задолженности;

q – ставка процентов за кредит;

m_q – число раз начисления процентов по кредиту в течении года;

n – срок ссуды.

Исчисление суммы денежных средств, погашающих долг, если долг гасится единовременным платежом без создания погасительного фонда, решается по формуле:

FV = D

Амортизационный (погасительный) фонд – это целевой депозит, где постепенно накапливаются средства, достаточные для единовременного погашения долга.

Обозначения, используемые для планирования погашения задолженности с формированием погасительного фонда:

p – число взносов в погасительный фонд в год;

N – число лет создания погасительного фонда (срок);

j – ставка банка;

m_j – число раз в год капитализации процентов в банке;

γ – срочные уплаты (годовые расходы по обслуживанию долга);

%% - годовая сумма процентов по долгу;

R – взносы в погасительный фонд.

γ = %% + R

План погашения задолженности при равных срочных выплатах:

- определяется размер срочных уплат:

γ = PVA: ;

- рассчитывается годовая сумма процентов по долгу:

%% = D[ ];

- определяется размер взносов в погасительный фонд:

R = γ – %%.

План погашения задолженности равными частями:

- определяется ежегодная сумма погашения долга путем деления суммы кредита на количество лет, на которые он выдан;

- определяются расходы по обслуживанию долга:

γ_t = D_t q + D/n,

где D_t – остаток долга на начало года;

t – порядковый номер года (периода);

D – первоначальная сумма кредита;

n – срок кредита.

- рассчитывается расход за первый год:

%% = D q,

γ₁ = D₁ q + D/n.

Примеры

Пример 4.1. Ссуда размером 250 денежных единиц предоставлена на 3 года под 7 % годовых. Процент начисляется и присоединяется 2 раза в год. Составьте план погашения задолженности равными срочными уплатами.

Решение:

Очевидно, 250 д.е. следует трактовать как сумму современных величин, равных срочным уплатам γ:

γ = PVA: = 250: = 95,48 д. е.;

Сумма первой годовой уплаты процентов:

%% = D[ ] = 250[ ] = 17,81 д. е.;

Сумма первого платежа в счет погашения долга:

R = γ – %% = 95,48 – 17,81 = 77,67.

Результаты оформим в виде таблицы:

Год	Остаток на начало года	Погашение долга	Проценты	Срочные выплаты
1.	250,00	77,67	17,81	95,48
2.	172,33	83,21	12,27	95,48
3.	89,12	89,12	6,35	95,48

Σ = 250

Пример 4.2. Пусть кредит 250 д. е. выдан на 5 лет под 10% годовых. Долг погашается равными частями, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга один раз в год и выплачиваются вместе с выплатой основного долга. Составьте план погашения долга.

Решение:

По условию примера:

1) ежегодная сумма погашения долга равна: 250:5 = 50 д. е.;

2) срочные (ежегодные) расходы по обслуживанию долга меняются от года к году (γ_t):

γ_t = D_t q + D/n,

где D_t – остаток долга на начало года;

t – порядковый номер года (периода);

D – первоначальная сумма кредита;

n – срок кредита.

3) Расходы на первый год:

сумма процентов за первый год: %% = D q = 250 0,1 = 25 д. е.;

γ₁ = 25 д. е. + 50 д. е. и т. д.

Решение представим в виде таблицы:

Месяцы	Остаток на начало года	Погашение долга	Проценты	Срочные выплаты

Σ = 250

Пример 4.3. Ссуда размером 1000 денежных единиц предоставлена на 3 года под 20% годовых с начислением и присоединением процентов к основной сумме долга и выплатой их вместе с ней. Сразу же после получения ссуды в банке начинают создавать в течении 3 лет погасительный фонд, куда ежегодно в конце периода перечисляют равные суммы. Проценты по счету начисляют 1 раз в год исходя из 30% годовых. Определите годовые расходы по обслуживанию долга.

Решение:

Определим размер суммы, которую необходимо будет выплатить:

FV = PV(1+i)ⁿ = 1000(1+0,2)³ = 1728.

Определяем годовые расходы по обслуживанию долга:

PMT = FVA = 1728 = 433,082.

Тема 5.