Основные подходы к моделированию распределения числа страховых случаев в страховом портфеле

Актуарные модели для распространения числа страховых случаев

Распределение числа выплат по портфелю является дискретной случайной величиной. Если известны фактические значения случайной переменной, то на их основании можно вычислить выборочные значения оценок матожидания и дисперсии числа исков, а при необходимости и других моментов. Используя полученные величины, необходимо с требуемой точностью (и надежностью) аппроксимировать эмпирические вероятности с помощью теоретических законов распределения вероятности. Для аппроксимации числа исков в страховом портфеле обычно используются хорошо зарекомендовавшие себя на практике распределения:

-биномиальное

-распределение Пуассона

-отрицательное биномиальное

-геометрическое

-смешанные Пуассоновские распределения.

Дисперсия случайной величины имеет биноминальный закон распределения, если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0,1,2…m, …n с вероятностями, вычисляемыми по формуле:

M(x)=np

D(x)=nqp Мат ожидание и дисперсия биноминального распределения.

Биноминальное распределение представляет собой закон распределения числа x=m (m=0+n) наступления событий А (страх. случаев) в портфеле из n независимых договоров, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р (и не произойти с вер-тью q=1-p)

Биноминальное распределения предполагает, что за время действия договора страховое событие может реализоваться только один раз, а вер-ть того, что оно произойдёт, одинакова для всех договоров (т.е. применимо в договорах с фиксированным ущербом – страхование автомобиля от угона, человека от случайной смерти и т.д.)

Дискретная СВ имеет закон распределения Пуассона с параметром λ, если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0,1,...,m с вероятностями, вычисленными по формуле Пуассона:

.

Используется, если вероятность р появления страхового случая А в каждом договоре мала (закон редких событий). При этом число n договоров велико, а страховые случаи наступают независимо друг от друга с постоянной средней интенсивн-ю λ=np=Dx=Mx. Оценка парам-в равна выбороч. среднему:

, где Xi – число страх случаев по 1 договору; mi – частота встречаемости такого числа страховых случаев.

Распределение Пуассона может применяться адекватно при моделировании распределения числа страховых случаев индивидуального страхования для однородного портфеля договоров – в том случае, если по договору может быть предъявлено несколько исков (не одновременно). Распределение Пуассона может подходить для описания в коллективной модели числа страховых случаев, происходящих в определенном фиксированном временном промежутке и относящихся к портфелю рисков. Ограничение на исследуемую совокупность: MO и DO должны быть равны. По выборке: .

СВ Х имеет отрицательное биномиальное распределение (ОБР) с параметрами (p,r), если в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха р или вероятностью неудач q=1-p вероятность числа неудач k, происшедших до r-го успеха, определяется по формуле:

, где r – число успехов, целое положительное число. k – число неудач, происшедших до числа успехов r.

Статистическая оценка параметров по выборке:

Применение распределения: для ОБР дисперсия больше, чем мат ожидание. Следовательно, его применение в страховании во многих случаях дает наиболее адекватный результат. Применяется, например, при моделировании распределения числа страховых случаев индивидуального страхователя для неоднородного портфеля договоров (при отклонении пуассоновской модели) – в смешанных пуассоновских моделях. Ограничения на исследуемую совокупность: это распределение применимо только если MO изучаемой СВ не превышает дисперсии, иначе оценка вероятности получается больше 1.

Геометрическое распределениеЗакон распределения дискретной СВ Х, представляющей собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли (с вероятностью р наступления события А в каждом испытании) до 1-го положительного исхода (успеха).

Геометр. распределение является частным случаем отриц. бином. распределения.

Обобщенное геометрическое распределение дискретной СВ Х, представляющей собой число m испытаний, в каждом из которых событие происходит с вероятностью 0≤Θ≤1/Θ, обобщенный введением в вероятность дополнительного параметра а:

Стат. оценка параметров по выборке:

Смешанные пуассоновские распределения (пример на Г-распределении)

На практике параметр пуассоновского распределения λ часто оказывается непостоянным:

- различия параметров пуассоновского распределения у разных страхователей при моделировании числа случаев в индивидуальных моделях;

- различия в параметрах λ для разных лет в портфеле с одинаковыми рисками в случае коллективных моделей (погодные условия, экономическая конъюнктура).

Возникает проблема введения дополнительной СВ Qj, отвечающей за изменение λ и отражающей неоднородность портфеля (в 1-м варианте) или служащей для моделирования ежегодно меняющихся внешних воздействий в однородном портфеле к коллективной модели (2 вариант).

Qj – независимые, одинаково распределенные СВ, характеризующие индивидуальность страхователя в 1-м случае и «качество года» во 2-м случае. Это распределение наз. смешивающим. Итак, плотность распределения СВ Qj будет обозначаться через U(λ) и называться структурной функцией. Получаемое распределение числа страховых случаев в портфеле называетсая смешанным законом Пуассона:

Часто делается конкретное предположение о виде смешивающего распределения, т.е. распределения СВ Qj.

Наиболее распространены в качестве смешивающего:

- гамма-распределение;

СВ имеет Г-распределение (гамма-распределение) с параметрами a и b, если ее функция плотности вероятности имеет вид:

.

- гамма-функция Эйлера. Г(а+1)=аГ(а), Г(а+1)=а! – а – натур. число.

- обратное гауссовское распределение

, M(X)=g, D(X)=g(1+h)

Моделирование совокупного убытка риска и группы рисков.

1-я задача актуариев – моделирование числа убытков (всё выше рассмотренное).

2-я задача – моделирование распределения ущерба в отдельном страховом случае и совокупного убытка по портфелю в целом.

содержание