Типовые примеры и методы их решения. Пример 1.4.1.Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3,6 тыс

Пример 1.4.1.Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3,6 тыс. руб. При этом он сразу уплатил 25% стоимости телеви­зора, а на остальную сумму получил кредит на б месяцев под простую процентную ставку 20% годовых. Кредит погашается ежемесячными платежами. 1. Составьте план погашения кредита с помощью "правила 78", если проценты начисляются на всю сумму кредита и при­соединяются к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами происходит равными ве­личинами в течение всего срока кредита.

2. Составьте план погашения кредита с учетом, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за поль­зование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивает­ся равными суммами.

Решение. Поскольку покупатель сразу уплатил 3,6 * 0,25 = = 0,9 тыс. руб., то он получил кредит в размере 3,6 - 0,9 = = 2,7 тыс. руб.

1. Наращенную сумму долга за 6 месяцев (0,5 года) находим по формуле наращения простыми процентами (10):

F = 2,7(1 + 0,5 * 0,2) = 2,97 тыс. руб.

Определяем величину начисленных процентов: I = 2,97 - 2,7 = ~ 0,27 тыс. руб.

Так как всего 6 погасительных платежей, то величина каж­дого из них составит;

=0,495тыс. руб.

Составим план выплат с помощью "правила 78". Находим сум­му порядковых номеров всех платежей: 1+2 + 3 +4 + 5 + 6 = 21. Согласно "правилу 78" часть первого погасительного платежа пойдет на выплату от общей начисленной величины процентов

(т.е. )> а оставшаяся часть погасительного платежа (а- I)

пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второго погасительного платежа пойдет на выплату от общей начисленной

величины процентов (т.е. I), а оставшаяся часть платежа (а- I) пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять дробь и т.д.

Таким образом, из первого погасительного платежа в счет уплаты процентов пойдет 0,27 = 0,077 тыс. руб. Следователь­но, в первом месяце часть основного долга погашается в размере 0,495-0,077 = 0,418 тыс. руб. На начало следующего месяца полу­чим остаток основного долга, равный 2,7 - 0,418 = 2,282 тыс. руб.

Во втором месяце в счет уплаты процентов пойдет от общей суммы начисленных процентов, что составляет 0,27- = 0,064 тыс. руб., а часть основного долга погашается в

размере 0,495-0,064 = 0,431 тыс. руб. На начало третьего месяца получим остаток основного долга, равный 2.282-0,431 = 1,851 тыс. руб. и т.д. Для наглядности результаты всех расчетов пред­ставим в виде таблицы.

План погашения кредита

Номер месяца	Остаток основного долга на нача­ло месяца, тыс. руб.	Дроби	Погашение общей величины начисленных процентов, тыс. руб.	Погашение основного долга, тыс. руб.
	2,7	6/21	0,077	0,418 ~*
	2,282	5/21	0,064	0,431
	1,851	4/21	0,051	0,444
	1,407	3/21	0,039	0,456
	0,951	2/21	0,026	0,469
	0,482	1/21	0,013	0,482
ъ			0,27	2,7

Последняя строка таблицы служит для контроля произве­денных расчетов: сумма всех чисел, стоящих в строчках четвер­того столбца, должна равняться общей величине начисленных процентов (называемой стоимостью кредита), а аналогичная сумма для пятого столбца - основному долгу. Кроме того, для каждого месяца сумма соответствующих строчек четвертого и пятого столбцов постоянна и равна величине погасительного платежа - 0,495 тыс. руб. С помощью "правила 78" заемщик также может приблизи­тельно узнать, какую сумму в счет оплаты процентов ему не придется отдавать в случае возврата кредита раньше срока (ес­ли, конечно, такая ситуация предусмотрена в договоре). Пусть в нашем примере после двух погасительных платежей было при­нято решение возвратить кредит. Начиная с единицы, нумеруем оставшиеся четыре планируемых платежа и находим сумму их новых порядковых номеров: 3+ 2+ 3+ 4 = 10. Тогда общей величины начисленных процентов не придется выплачивать, что в данном примере составит 0,27 = 0.129 тыс. руб.

Очевидно, что в кредитном договоре могут предусматри­ваться любые схемы весовых коэффициентов в распределении общей суммы процентов в течение периода кредитования. На­пример, при составлении плана погашения кредита можно взять последовательность равных дробей (конечно, в сумме дающих единицу). В данном случае каждая дробь будет равна , и по­этому каждый раз в счет уплаты процентов пойдет величина = 0,045 тыс. руб., и каждый раз часть основного долга погашается в размере 0,45 - 0,045 = 0,405 тыс. руб. Таким образом, получаем равномерное распределение выплат процентов и вы­плат основного долга.

2. При втором способе погашения кредита учитывается, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потреби­тельским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же долг выплачивается равными суммами.

Как и в первом способе, ежемесячные погасительные плате­жи представляют собой сумму выплаты части основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Каждый месяц выплачивается часть основного долга, равная

R = = 0,45 тыс. руб., или 450 руб.

Процентные платежи для каждого месяца найдем с учетом постепенного уменьшения величины долга. За первый месяц начисляются проценты в размере

= 0,045 тыс. руб., или 45 руб. 1 второй месяц начисляются проценты на остаток долга:

1_г = (2,7 -0,45) = 1₁ = 0,0375 руб., или 37,5 руб.

Аналогичным образом для третьего платежа получим:

руб или 30руб.,

и т.д. Фактически при вычислении процентных платежей мы величину первого процентного платежа умножаем последова-

тельно на дроби Таким образом: =45 = 22,5 руб.,

I₅=45 = 15 руб., I₆=45 = 7,5 руб. Следовательно, общая величина процентного платежа (стоимость кредита): I = 45 + 37,5 + 30 + 22,5 +15+7,5 =157,5 руб.,

что можно получить и пользуясь формулой (17). Действительно, полагая Р = 2700 руб., к = 6, n = 0,5 и r = 0,2, получим:

I=2700*0,5*0,2 = 157,5 руб.

Для наглядности представим план погашения кредита в таб­личном виде.

(руб.)

Номера месяцев	Остаток основного долга на начало месяца	Процент­ный платеж	Ежемесячная выплата ос­новного долга	Величина ежемесячного погасительного платежа
		37,5		487,5
		22,5		472,5
		7,5		457,5
		157,5		2857,5

Заметим, что, как и в предыдущей таблице, последняя строка служит для контроля правильности расчетов.

Видно, что при данной схеме погасительных платежей об­щая величина выплат меньше на 112,5 руб. по сравнению со способом погашения кредита, изложенным ранее.

Если же выплачивать кредит равными долями, то каждый погасительный платеж равен:

= 476,25 руб.

Заметим, что при изложенном способе погашения кредита можно считать, что первоначальная величина долга остается постоянной, но каждый месяц меняется процентная ставка. Так, если в первый месяц она равнялась 20% годовых, то во втором

месяце- 20% = 16,67%, в третьем - 20% = 13,33% ит.д.

Пример 1.4.2.Банк предоставил господину N кредит с 4 марта по 16 июля того же года под залог ста пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день вы­дачи кредита составляет 400 руб. Кредит предоставлен под про­центную ставку 30% годовых, и его сумма составляет 75% вели­чины залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Господин N 16 июля выплатил банку только 25 тыс. руб. Банк согласился на продление погашения кредита до 16 августа под 36% годовых, не взимая сразу при этом начисленные проценты на остаток долга. Найдите величину креднта, полученного гос­подином N, и определите, какую сумму господин N должен бу­дет выплатить банку 16 августа.

Решение.При расчетах, связанных с обслуживанием креди­та под залог материальных ценностей, используют обыкновен­ные проценты с точным числом дней.

Вначале определяем курсовую стоимость всех ценных бумаг:

400 150 = 60 000 руб.

Следовательно, номинальная величина кредита составляет:

60 000 0,75 =45 000 руб.

Так как с 4 марта по 16 июля - 134 дня, то по формуле (12) вычисляем процентный платеж за кредит:

45 000 0.3 = 5025 руб.,

который, естественно, можно было найти и пользуясь формулой I = , определив вначале значение дивизора D' = = 1200 и

полагая t=134 дня. Затраты банка на обслуживание долга со­ставят:

45 000 *0,01 = 450 руб.

Банк предварительно взыскивает процентный платеж и оп­лату за обслуживание долга, поэтому клиент получил кредит в размере:

45 000 - 5025 - 450 = 39 525 руб.

Видно, что господин N получил "на руки" меньшую сумму, чем номинальная величина кредита.

На 16 июля остаток долга составит: 45 000 - 25 000 = 20 000 тыс. руб. Определяем процентный платеж за 31 просроченный день:

20000 036 = 620 руб.

Таким образом, господин N 16 августа должен будет отдать

банку:

20000 + 620 = 20 620 руб.

Пример 1.4.3.Предпринимателю необходима сумма а 100 тыс. руб. на 3 месяца. Банк предоставил ему кредит в размере 80% от стоимости залога под 24% годовых и за обслуживание долга взы­скал 1% от номинальной суммы кредита. Определите величину залога, если кредит взят 1 февраля и год невисокосный.

Решение.Обозначим через Р величину залога. Поскольку номинальная величина кредита равна 100 тыс. руб., плата за об­служивание долга равна 100-0,01 = 1 тыс. руб., то Р равняется сумме 101 тыс. руб. (100 тыс. руб. + 1 тыс. руб.) и процентного платежа. Кредит выдается на 89 дней. Величину процентного платежа можно получить, вычисляя проценты "во 100" с помощью одного из соотношений форму­лы (14). В данном случае, так как срок финансовой операции выражен в днях, воспользуемся соотношением, содержащим дивизор. Последовательно определяем дивизор

процентный платеж:

= 6371 тыс. руб.

Следовательно, Р = 101 + 6,371 = 107,371 тыс. руб. Поэтому стоимость материальных ценностей, отдаваемых в залог, должна быть равна величине:

= 134,214 тыс. руб.

Заметим, что данный пример (как, впрочем, и другие) можно решить с помощью алгебраического уравнения. Обозначим че­рез х стоимость залога, тогда 0,8x- номинальная величина кредита. Пользуясь условием примера, составляем уравнение:

решая которое находим х = 134,213 тыс. руб.

Отличие полученных результатов на 1 руб. объясняется при­нятой в данном примере точностью вычисления, увеличивая ко­торую можно, в частности, получить при решении первым спосо­бом 134,21331 тыс. руб., при решении вторым способом -134,21332 тыс. руб., т.е. разница между значениями составляет 1 коп.

Пример 1.4.4.Предприятие приобрело универсальный ста' нок за 320 тыс. руб. Срок службы станка - 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости станка по годам. Рассмотрите два случая: а) уменьшение стоимости станка происходит равно* мерно; б) уменьшение стоимости станка происходит в соответ­ствии с "правилам 78".

Решение,а) Срок службы станка составляет n = 8 лет. Обо­значим Р первоначальную стоимость станка, Р_п — остаточную стоимость станка через и лети = Р-Рn. Полагая Р = 320 тыс.

руб., Рn = Р₈ = 50 тыс. руб., получим = 320 - 50 = 270 тыс. руб. При осуществлении схемы равномерной амортизации стоимость уменьшается ежегодно на одну и ту же величину = 33,75 тыс. руб. и таблица принимает вид:

Год службы	Амортизационные отчисления за год, тыс. руб.	Стоимость на конец года, тыс. руб.
	33,75	286,25
	33,75	252,5
	33,75	218,75
	33,75
	33,75	151,25
	33,75	117,5
	33,75	83,75
S	33,75

Остаточные стоимости, представленные в таблице, образу­ют арифметическую прогрессию с первым членом 320 и разно­стью-33,75.

б) Рассмотрим теперь схему ускоренной амортизации в со­ответствии с "правилом 78". Обозначим:

Суть зтой схемы заключается в следующем: в конце первого

года стоимость имущества уменьшается на -ю часть величины ; в конце второго года – на -ю часть величины

в конце третьего года – на -ю часть величины и т.д. до

n -го года, в конце которого стоимость имущества уменьшается

на ю часть величины . Поскольку

1+2+……+8= 8 = 36, то для составления таблицы необходимо величину последовательно умножать на тыс. руб тыс. руб

= 46 тыс. руб. и т.д. Поэтому стоимость станка, напри-36

мер, на конец первого года составит: 320 - 60 - 260 тыс. руб.; на конец второго года - 260 - 52,5 = 207,5 тыс. руб. Продолжая вы­числения аналогичным образом, получим таблицу:

Год службы	Амортизационные отчисления за год, тыс. руб.	Стоимость на конец года, тыс. руб.
	52,5
		162,5
	37,5
	22,5	72,5
		57,5
	7,5

Очевидно, амортизационные отчисления, представленные в таблице, образуют арифметическую прогрессию с первым чле­ном 60 и разностью (-7,5). Относительно значений остаточных стоимостей такого вывода, конечно, сделать нельзя.

Задачи

1.4.1. Товар стоимостью 2,7 тыс. руб. продается в кредит на 3 года под простую процентную ставку 16% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Проценты начис­ляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. Определите долг с процента­ми, проценты и величину разового погасительного платежа.

1.4.2. Товар стоимостью 4 тыс. руб. продается в кредит на 2 года под простую процентную ставку 20% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Проценты на­числяются на всю сумму кредита и присоединяются к основно­му долгу в момент открытия кредита. Определите долг с процен­тами, проценты и величину разового погасительного платежа. С помощью "правила 78 " составьте план погашения кредита.

1.4.3. Покупатель приобретает музыкальный центр, стои­мость которого 14,6 тыс. руб. Он уплатил сразу 3 тыс. руб., а на остальную сумму получил кредит на 9 месяцев под простую процентную ставку 12% годовых с ежемесячными равными по­гасительными платежами. Определите долг с процентами, про­центы и величину разового погасительного платежа, если про­центы начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. С помощью "правила 78" составьте план погашения кредита.

1.4.4. Товар стоимостью 5,4 тыс. руб. продается в кредит на 3 года под процентную ставку 15% годовых с полугодовыми погасительными платежами, причем начисляются простые про­центы. Составьте план погашения кредита с учетом того, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каж­дый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг вы­плачивается равными суммами.

1.4.5. Фирма предлагает бытовую технику и компьютеры в кредит на срок до 6 месяцев с первым взносом не менее 33% от стоимости товара и ежемесячными погасительными платежами. Простая процентная ставка по кредитам - 2,5% в месяц. Поку­патель приобретает компьютер стоимостью 8,4 тыс. руб., запла­тив 45% его стоимости и оформив кредит на 5 месяцев. Составь­те план погашения кредита с учетом, что долг с течением вре­мени уменьшается и процентные платежи за пользование креди­том рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.

1.4.6. Клиент обратился в банк 9 апреля с целью получения кредита под залог двухсот ценных бумаг, причем курсовая стоимость каждой ценной бумаги на этот день составляет 1000 руб. Банк предоставляет кредит под 25% годовых на 3 месяца в размере 80% курсовой стоимости ценных бумаг. В контракте с клиентом оговаривается, что затраты банка на обслуживаниедолга составляют 1% от номинальной суммы кредита и удержи­ваются вместе с процентным платежом в момент предоставле­ния кредита. В случае просрочки выплаты долга клиент рассчи­тывается с банком за каждый лишний день по ставке 30% годо­вых. Найдите величину кредита, который получит клиент. Если клиент возвратит долг только 30 июля, то какую сумму ему придется дополнительно выплатить за просроченные дни? При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог мате­риальных ценностей, банк использовал обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.4.7. Предпринимателю необходима сумма в 45 тыс. руб. на 2 месяца. Банк предоставит ему кредит в размере 75% от стои­мости залога под 28% годовых и за обслуживание долга взыщет 450 руб. Определите величину залога, если кредит взят 10 сен­тября и в расчетах используются обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.4.8. Банк предоставил предпринимателю кредит на 3 меся­ца (с 20 мая по 20 августа) под залог двухсот пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день вы­дачи кредита составляет 100 руб. Кредит предоставлен под про­центную ставку 20% годовых, и его сумма составляет 80% вели-чяны залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Предприниматель 20 августа выплатил банку только 10 тыс.

- руб. Банк согласился на продление погашения кредита еще на три месяца под 24% годовых, не взимая сразу при этом начис­ленные проаенты на остаток долга. Найдите величину кредита, полученного предпринимателем, и определите, какую сумму предприниматель должен будет выплатить банку 20 ноября. При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог мате­риальных ценностей, банк использовал обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.4,9. Банк предоставил кредит в размере 80% от стоимости залога под процентную ставку 20% годовых, а за обслуживание долга удержал 1% от номинальной суммы кредита при его вы­даче. На какой срок получил кредит клиент, если банк ему вы­дал 20 760 руб., а величина залога составляет 30 тыс. руб.? В расчетах банк применяет обыкновенные проценты.

1:4.10. Туристическая фирма приобрела микроавтобус за 42 тыс. руб. Полагая, что срок службы микроавтобуса б лет, со­ставьте таблицу уменьшения его стоимости по годам. Рассмот­рите два случая: а) уменьшение стоимости микроавтобуса про­исходит равномерно; б) уменьшение стоимости микроавтобуса происходит в соответствии с "правилом 78".

1.4,11. Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы оборудования - 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать изношенное оборудование за 70 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам. Рас­смотрите два случая: а) уменьшение стоимости оборудования происходит равномерно; б) уменьшение стоимости оборудова­ния происходит в соответствии с "правилом 78".