Типовые примеры и методы их решения. Пример 2,5.1.На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно

Пример 2,5.1.На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой про­исходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение,а) Обозначим через 1 _р среднемесячный (т.е.за 1/12 года) индекс инфляции, тогда 1 _р =1,03 и поформуле (42) при к = 12 находим индекс инфляции за год:

=1,03¹² =1,4258.

Пусть r - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда в соответствии с формулой (104) зна­чение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, нахо­дится из равенства 1 + r = (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

r = -1 = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.

Следовательно, реальное наращение капитала будет проис­ходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей дейст­вие инфляции, согласно формуле (104) пользуемся равенством

откуда:

= 4( -1) = 03709 = 37,09%.

Таким образом, положительная процентная ставка при еже­квартальном начислении сложных процентов превышает 37,09% годовых.

в) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством

откуда:

= 12(1,03-1) = 036 = 36% .

Итак, в данной ситуации реальное наращение капитала про­исходит при номинальной процентной ставке, большей чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относи­тельный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это

же время. Следовательно, 0,03, поэтому r⁽¹²⁾ > 0,36.

Заметим, что величину сложной процентной ставки, лишь ней­трализующей действие инфляции, можно найти из формулы (105), при r^(m)=0:

Полагая п = 1, ответы для случаев а), б), в) получим соответ­ственно при т = 1,4, 12.

Пример 2.5.2.Номинальная процентная ставка, лишь ком­пенсирующая при наращении действие инфляции, составляет 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начис­ление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение.Приравняем годовой индекс инфляции к

множителю наращения за год. Полагая r⁽⁴⁾ = 0,52, получим:

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит:

Следовательно, темп инфляции за полгода в среднем равен 27,69%.

Пример 2.5.3.На некоторую сумму в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по своей покупательной способности не уменьшилась?

Решение.Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит;

Пусть - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим е = , отсюда:

Следовательно, сила роста (интенсивность наращения) должна превышать 13,91%загод.

Пример 2.5.4.На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение,а) Так как темп инфляции за каждый квартал ра­вен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) Составит:

=1,08⁵ =1,4693.

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1 + r)^1,25 = 1,4693 .

Отсюда:

r = 1,4696 -1 = 0,3605.

Таким образом, в этом случае ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой тёмп инфляции составит 1,08⁴-1 = 03605 =36,05%. Реальное женаращение капитала будет происходить, если годовая процент­ная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. r > 36,05% .

б) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r:

(1+r)(1+0,25r) = 1,4693.

Решая уравнение, определяем корни: =-5,3508, r₂ =0,3508. Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следова­тельно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. "Граничное" значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном слу­чае необходимо фактически решить неравенство:

(1 + r)(1 + 0,25r)> 1,4693.

Если применяется иного вида смешанная схема наращения, то для определения процентной ставки r получим другое урав­нение. В частности, при использовании схемы сложных процен­тов для двух лет и затем при учете полученной суммы "на 100" за 0,75 года приходим к уравнению:

= 1,4693,

преобразуя которое получаем квадратное уравнение с кор­нями =-12681, r₂ =0,3701. Отбрасывая первый корень, делаем вывод, что при данной схеме начисления процентов ставка должна превышать 37,01% годовых. Такой же результат получим, решая неравенство и отбрасывая в полученном ответе отрицательную область.

Пример 2.5,5. На вклад 28 тыс. руб. ежеквартально начис­ляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зре­ния покупательной способности, если ожидаемый темп инфля-

ции - 2% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3,5% в месяц?

Решение.По формуле (58) за п =1,75 года (21 месяц) сумма вклада составит:

= 54,564 тыс. руб.

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в ме­сяц находим по формуле (42):

Применяя формулу (104), находим величину вклада с точки зрения ее покупательной способности:

тыс. руб

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:

- Р = 35,999 - 28 = 7,999 тыс. руб.

Положительная процентная ставка r должна удовлетво­рять неравенству:

= 0,2448.

Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежеквар­тальном начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 24,48%. А поскольку номинальная процентная ставка удовлетворяет этому условию, то владелец вклада, не­смотря на инфляцию, получает реальный доход.

Естественно, к такому же ответу можно было прийти, ис­пользуя условие: относительный рост вклада за квартал должен превышать темп инфляции за это время, т.е. должно выполнять­ся неравенство: > (l + 0,02)³-l,.

решая которое находим r > 0,2448 . При темпе инфляции 3,5% в месяц:

=(1+0,035)²¹ =2,0594, = 26,495 тыс. руб и

реальный доход вкладчика составит 26,495 - 28 = - 1,505 тыс. руб., т.е. в этом случае вкладчик с точки зрения покупательной способности потерпит убытки. В данных условиях для положи­тельной процентной ставки должно выполняться неравенство

r⁽⁴⁾ > 4( -1) = 0,4349 , т.е. r⁽⁴⁾ > 43,49% . Следовательно, номинальная процентная ставка (40%) меньше положительной процентной ставки.

Пример 2.5.6. Кредит 120 тыс. руб. выдается сроком на 4 года при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная до­ходность кредитной операции составляла 18% годовых по став­ке сложных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 2,3.

Решение. Полагая в формуле (105) т =1, r^(m) =0,18, n = 4, = 2,3, находим:

-1 = 0,4532,

т.е. ставка 45,32% годовых при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен, равном 2,3, обеспечивает реальную доходность в 18% годовых.

Погашаемую сумму находим по формуле (55) при Р = 120 тыс. руб., n = 4 , r = 0,4532:

F₄ =120(1 + 0.4532)⁴ =535,159 тыс.руб.

Пример 2.5.7. На выданный кредит в 90 тыс. руб. в течение трех лет будут начисляться сложные проценты: а) каждые пол­года; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую процентную ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной

процентной ставке 24% годовых, если ожидается темп инфля­ции 14% в год? Определите наращенную сумму, которую необ­ходимо будет вернуть.

Решение.Во всех случаях при определении величины уста­навливаемой процентной ставки можно воспользоваться форму­лой (105). Однако эта формула в силу соотношения

=(1 + h) , справедливого для данного примера, приобретает более простой вид:

а) Полагая m = 2, r⁽²⁾ =0,24, h = O,14, из последней формулы

получим:

= 2[(1 + ) -1] = 0,3917 .

Следовательно, возвращаемая через 3 года сумма составит:

=263,210 тыс.руб.

б) В этом случае т = 4 , r⁽⁴⁾ = 0,24, и поэтому величины ус­танавливаемой номинальной процентной ставки и возвращае­мой суммы равны:

= 4[(1 + ) -1]=0,3812

=268312 тыс. руб.

в) Полагая т = 12 , r⁽¹²⁾ = 0,24, получим:

= 12[(1 + ) -1] = 0,3744,

F₃ = тыс. руб

Пример 2.5.8. На какой срок при годовом темпе инфляции 20% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 36% годовых; б) сложную учет­ную ставку 36% годовых; в) силу роста 36% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,6 раза?

Решение,а) Обозначим через Р величину денежной суммы, через r - годовую процентную ставку, через h - темп инфля­ции за год и воспользуемся формулой (104), принимающей в этом случае следующий вид:

Полагая r = 0,36, h = 0,2, получим равенство:

из которого следует уравнение для определения искомого срока:

Логарифмируя это уравнение, получим:

п = = 3,755 года.

б) Для сложной годовой учетной ставки d формула (104) принимает вид:

При d = 0,36 приходим к уравнению:

n= = 1,781 года.

в) Обозначим через силу роста, тогда:

Следовательно, при = 036 получаем уравнение:

из которого следует:

n= = 2,645 года.

При решении этого примера можно было вначале вывести общую формулу для определения срока. Полагая в формуле (110) =(1 ⁺ h) , _n =16P и разрешая полученное уравнение относительно п , находим:

п =

Затем вместо а последовательно подставляем 1 + r, 1 - d и e .

Пример 2.5.9. Определите реальную силу роста за год в ус­ловиях начисления непрерывных процентов и при годовом тем­пе инфляции 40%, если исходная сила роста составляет 50% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерыв­ной ставке 50%?

Решение.Полагая в формуле (110) n = 1, =1,4 , = 0,5 ,

получим:

т.е. реальная интенсивность наращения при начислении непре­рывных процентов составляет 16,35% за год. Чтобы иметь доходность согласно силе роста 50% в условиях инфляции, необходимо установить непрерывную ставку боль­шую, чем 50%, Значение такой ставки находим по формуле (109):

= 0,5 + in1,4 = 0,8365 = 83,65%.

Заметим, что даже при темпе инфляции 50% сила роста _rеа1

будет все еще положительной непрерывной ставкой. Действи­тельно:

_rеаl, =0,5- in1,5 = 0,0945.

Пример 2.5.10.При выдаче кредита на несколько лет на ус­ловиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 16% годо­вых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозирует­ся в среднем 10% в год?

Решение.Для определения искомой процентной ставки вос­пользуемся формулой Фишера (111) при r = 0,16 и h = 0,1:

=0,16 + 0,1 + 0,16*0,1 = 0,276 = 27,6%.

При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке применяют и приближенную формулу: r+h. В данном слу­чае 0,16+0,1=0,26=26% и разница в 1,6% при достаточно больших суммах ощутима. Конечно, для должника желательно использование приближенной формулы, а для банка, предостав­ляющего кредит, выгоднее применять точную формулу (111).

Полезно отметить, что при решении примера можно было воспользоваться формулой (105). Действительно, так как т = 1,

, то

т.е. формула Фишера является частным случаем формулы (105). При п = 1 формула (44) совпадает с формулой Фишера.

Пример 2.5.11.Определите реальную доходность в виде про­центной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 45% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 15%; б) 45%; в) 60%.

Решение.Воспользуемся формулой (106), которая в услови­ях примера примет вид (m = 1, п = 1, = 1 + h ):

или

Во всех случаях r = 0,45.

а) При инфляции h = 0,15 получим:

т.е. реальный доход от финансовой операции составит 26,09% от каждой единицы вложенных средств.

б) При h = 0,45, как и следовало ожидать, r_геаl = 0, т.е. ставка

45% лишь нейтрализует действие инфляции.

в) Полагая h = 0,6, получим:

Таким образом, при инфляции 60% данная финансовая опе­рация будет приносить убыток, т.е. реально по своей покупа­тельной способности помещенные денежные средства умень­шатся на 9,38%.

Обратим внимание, что при решении этого примера можно было воспользоваться и формулой (46). Очевидно, и формула Фишера позволяет ответить на вопросы примера. В частности, подставляя в нее значения процентной ставки и инфляции пер­вого случая (в обозначениях формулы Фишера: =0,45, h = 0,15), получим уравнение 0,45 = r + 0,15 + 0,15r, откуда

r = = 0,2609 =

Пример 2.5.12.Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 3 года под процентную ставку 40% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Найдите реаль­ную доходность такого предложения в виде годовой эффектив­ной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за3 года составит ,2,1. Чему будет равна реальная доходность при полугодовом начислении сложных процентов?

Решение.Полагая n = 3, =2,1, т = 12, r⁽¹²⁾=0,4, по формуле (106) определяем реальную номинальную процентную ставку:

Поэтому согласно формуле (63) реальная доходность в виде годовой эффективной процентной ставки составит:

т.е. 15,74% годовых. Если же инфляцию не учитывать, то

= 0,4821,

что существенно больше, чем реальная доходность.

Можно было решить пример и несколько иным способом. Вначале, обозначая величину вклада через Р, по формуле (104) при определяем наращенную сумму с точки зре­ния ее покупательной способности:

Затем по формуле (64) находим доходность:

Естественно, получили такой же ответ. Если при втором спосо­бе решения действия провести в общем виде, то полученная фор­мула покажет, что на самом деле можно было сделать меньше вычислений. Действительно, поскольку

то и поэтому:

Воспользуемся последней формулой для нахождения реаль­ной доходности предложения банка при полугодовом начисле­нии сложных процентов:

= 0,1245.

Естественно, с уменьшением количества начислений слож­ных процентов уменьшается и доходность.

Пример 2.5.13.Вексель на сумму 45 тыс. руб. был учтен за 3 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 18 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодо­вой темп инфляции ожидается равным 14%.

Решение.Так как индекс цен за 3 года равен =(1 + 0,14)³ =1,4815, то по своей покупательной способности 45тыс. руб. через 3 года составят величину

= 30375 тыс. руб.

Подставляя в формулу (75) n = 3 , Р = 18, F₃ = 30,375, находим:

=0,1601=16,01%.

Можно было решить этот пример, определяя вначале реаль­ную доходность в виде годовой эффективной процентной ставки:

А затем по формуле (26) при n = 1, r = r_ef или по формуле (3) при r_t = r_ef найти эквивалентную ставку d_ef :

= 0,1601.

Пример 2.5.14.Господин N получил в банке кредит на 4 го­да, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Определите действительную доход­ность для банка такой финансовой операции в виде годовой эф­фективной процентной ставки, если банк начисляет каждые пол­года сложные проценты иа исходную сумму кредита по номи­нальной процентной ставке 42% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 28%.

Решение.Обозначим через Р величину кредита, тогда ве­личина удержанных комиссионных составит 0,015P, и, следова­тельно, господину N будет выдана сумма

P-0,015P = 0,985Р . За 4 года с учетом инфляции величина кредита вместе с начислен­ными процентами составит (формулы (42) и (104)):

= 1,7118P.

Теперь доходность финансовой операции в виде эффектив­ной процентной ставки находим по формуле (64):

В данном случае вычисления можно несколько сократить, если не вычисляя сразу подставить в формулу

Если инфляции нет, то

= 0,4696 = 46,96%,

т.е. доходность, конечно, больше, чем при наличии инфляции.

Пример 2.5.15.Под какую годовую номинальную процент­ную ставку на условиях начисления ежемесячно сложных про­центов необходимо поместить денежную сумму, чтобы она ре­ально (по своей покупательной способности) увеличилась за год на 25% с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежеквартальный темп инфляции равен 10%? Если наращение осуществляется по годовой номинальной учетной ставке с ежеквартальным начислением сложных про­центов, то какой величины должна быть эта ставка?

Решение.Годовой индекс инфляции определяем по формуле (42):

=(1+0,1)⁴ =1,4641.

Обозначим через Р величину денежной суммы, через r -искомую процентную ставку. Наращенная сумма без учета ин­фляции в соответствии с формулой (58) составит

и, следовательно, начисленные проценты равны:

С этой величины в счет уплаты налога на проценты пойдетсумма ОД 21, и поэтому после уплаты величина наращенной суммы составит:

P+0,88I=P[1+0,88 -0,88]=P[0,12+0,88 ]

а с учетом инфляции:

P[0,12+0,88 ]

Полученная сумма должна быть больше исходной на 25%, т.е. в 1,25 раза. Таким образом:

P[0,12+0,88 ] =1,25P

Сокращаем обе части уравнения на Р и решаем уравнение

относительно r⁽¹²⁾>. После ряда алгебраических преобразований получим:

т.е. r⁽¹²⁾ =68,31% годовых.

Если наращение осуществляется по учетной ставке d , то, используя формулу (77), получим:

После уплаты налога величина наращенной суммы составит:

P+0,88I=P[0,12+0,88

Поскольку полученная сумма по своей покупательной спо­собности должна быть больше исходной в 1,25 раза, то

P[0,12+0,88 ] =1,25P

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение от­носительно d , получим:

= 0,6121

Заметим, что такой же результат получим, н определяя по формуле (92) учетную ставку d , эквивалентную процентной ставке r⁽¹²⁾ =68,31% при m = 4, i = 12:

=4[1- ]=0,6121

Задачи

2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происхо­дит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 15%?

2.5.2. Номинальная процентная ставка, лишь компенсирую­щая при наращении действие инфляции, составляет 48% годо­вых. Определите инфляцию за квартал, если начисление слож­ных процентов осуществляется каждый месяц.

2.5.3. На некоторую сумму в течение четырех лет будут на­числяться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 8, 12, 16 и 6%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по сво­ей покупательной способности не уменьшилась?

2.5.4. Сила роста, лишь компенсирующая при непрерывном начислении процентов действие инфляции, составляет 18% за год. Определите инфляцию в среднем за месяц.

2.5.5. На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происхо­дит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 12%?

2.5.6. На вклад 80 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 34%. Оцените сумму вклада через 2,5 года с точки зрения поку­пательной способности, если ожидаемый темп инфляции - 1,5% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положи­тельной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3% в месяц?

2.5.7. В финансовом соглашении были предусмотрены сле­дующие номинальные процентные ставки: за первый квартал -30% годовых; за второй квартал - 36% годовых; за третий и чет­вертый кварталы - 39% годовых. Индексы инфляции за кварта­лы оказались равными соответственно 1,15; 1,1; 1,2 и 1,25. Оп­ределите множитель наращения за год с учетом инфляции, если в течение года ежемесячно начислялись сложные проценты.

2.5.8. Кредит в сумме 150 тыс. руб. выдается сроком на 5 лет при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 20% годовых по ставке слож­ных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? На этот период прогнозируется рост цен в 2,6 раза.

2.5.9. На выданный кредит в размере 100 тыс. руб. в течение 4 лет будут начисляться сложные проценты: а) ежегодно; б) еже­квартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую про­центную ставку необходимо установить, чтобы происходило ре­альное наращение капитала по номинальной процентной ставке 32% годовых, если ожидаемый темп инфляции - 18% в год? Опре­делите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.

2.5.10. Кредит в размере 180 тыс. руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления непрерывных процентов. Какова должна быть непрерывная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции в виде силы роста составляла 24% за год? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 1,9.

2.5.11. Предприниматель получил в банке ссуду на два года. В первый год индекс цен составил 1,4, во второй - 1,1. Во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной спо­собности) к концу срока будет больше выданной банком суммы, если банк начислял: а) ежемесячно сложные проценты по номи­нальной процентной ставке 40% годовых; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной учетной ставке 40% годо­вых; в) непрерывные проценты с силой роста 40% за год?

2.5.12. При выдаче кредита на несколько лет на условиях на­числения сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 22% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по креди­ту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 14% в год?

2.5.13. На какой срок при годовом темпе инфляции 15% необ­ходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 30% годовых; б) сложную учетную ставку 30% годовых; в) силу роста 30% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в l_f4 раза?

2.5.14. На какой срок при годовом темпе'инфляции 18% не­обходимо поместить имеющуюся денежную сумму под номи­нальную процентную ставку 44% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,5 раза?

2.5.15. Господин N, имея 50 тыс. руб., хочет получить, по­местив деньги на депозит, через 4 года не менее 80 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обращаться в банк, использующий номинальную процент­ную ставку 28% годовых на условиях начисления сложных про­центов: а) ежегодно; б) ежемесячно? Прогнозируемый темп ин­фляции составит 15% в год.

2.5.16. Определите реальную доходность в виде процентной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 36% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 20%; б) 36%; в) 55%.

2.5.17. Определите реальную номинальную годовую процент­ную ставку при годовом темпе инфляции 25%, если объявленная исходная номинальная процентная ставка составляет 30% годо­вых и сложные проценты начисляются ежемесячно. Какова должна быть поминальная годовая процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно ис­ходной номинальной процентной ставке 30% годовых?

2.5.18. Определите реальную номинальную годовую учет­ную ставку при годовом темпе инфляции 20%, если объявленная исходная номинальная учетная ставка составляет 36% годовых и сложные проценты начисляются ежеквартально. Какова должна быть номинальная годовая учетная ставка, чтобы при такой ин­фляции обеспечить реальную доходность согласно исходной номинальной учетной ставке 36% годовых?

2.5.19. Определите реальную силу роста за год в условиях начисления непрерывных процентов и при годовом темпе ин­фляции 30%, если исходная сила роста составляет 40% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерыв­ной ставке 40%?

2.5.20. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депо­зит на 2 года под процентную ставку 44% годовых с ежеквар­тальным начислением сложных процентов. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2 года составит 1,6. Чему будет равна реальная доходность при ежеме­сячном начислении сложных процентов?

2.5.21. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депо­зит на 2,5 года на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 38% за год. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2,5 года составит ] ,8.

2.5.22. Индексы роста вклада за 3 года, следующие друг за другом, составили 1,52; 1,41 и 1,64. Какова реальная доходность такого использования денежных средств в виде годовой эффек­тивной процентной ставки при среднегодовой инфляции 30%?

2.5.23. На сумму 50 тыс. руб. в течение трех лет начислялись ежеквартально сложные проценты по следующим номинальным процентным ставкам: в первом году - 36% годовых, во втором -40% годовых, в третьем - 44% годовых. Темпы инфляции по го­дам соответственно составили 20, 10 и 30%. Определите нара­щенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность вла­дельца счета в виде годовой эффективной процентной ставки.

2.5.24. На сумму 20 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись непрерывные проценты со следующими значения­ми силы роста за год: в первом квартале — 35%, во втором -42%, в третьем - 48% и в четвертом - 55%. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответствен­но 3, I, 1,5 и 2%. Найдите наращенную сумму с учетом инфля­ции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

2.5.25. Вексель на сумму 60 тыс. руб. был учтен за 4 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 25 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в ви­де эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп ин­фляции ожидается равным 15%.

2.5.26. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 42%. Опре-

делите в виде простой годовой процентной ставки реальную стоимость привлеченных средств для банка при их размещении на 15 месяцев, если среднемесячный темп инфляции равен 2%.

2.5.27. Предприниматель получил в банке кредит на 2 года, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Определите действительную доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежемесячно сложные проценты на исходную сумму кредита по номинальной про­центной ставке 45% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 30%.

2.5.28. Господин N получил в банке кредит на 5 лет, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Какова действительная доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной про­центной ставки, если банк начисляет непрерывные проценты на исходную сумму кредита с силой роста 30% за год и ожидается ежегодный темп инфляции, равный 26%?