Непрерывность пространства-времени

Вопрос о дискретности или непрерывности пространства-времени (ДНПВ) - не столько физический, сколько логический. Открытие квантовой природы некоторых величин, даже пространственно-временных, ничего в этом вопросе не изменит: квантоваться может и непрерывное пространство-время. В основном, вопрос был решён ещё античными философами. Правда, их математическая модель пространства-времени была не очень удобна, но ведь адекватная модель, применимая на все случаи жизни, не построена до сих пор.

Вопрос о ДНПВ начал систематически исследовать Зенон Элейский. Его апории охватывают куда более широкий круг вопросов, и их можно обсуждать бесконечно - но нас интересует только то содержание апорий, которое относится к нашему вопросу (то бишь, к ДНПВ).

Надо сразу отметить, что дискретность - это не обязательно конечность. Дискретным может быть и бесконечное, но разделённое на отдельные элементы, однозначно представимое как множество элементов. Таким образом, есть две градации дискретности: конечность и бесконечная делимость (поскольку мы предполагаем ограниченность, бесконечность эквивалентна бесконечной делимости). Например, множество рациональных чисел бесконечно делимо, но дискретно. Более "физический" пример - ядро атома, в котором вокруг каждого протона или нейтрона вьётся целое облако виртуальных протонов и нейтронов. Непрерывность же - следующий шаг после бесконечной делимости. Непрерывное - то, в чём нельзя выделить границы и однозначно разделить на части (отсюда и следует бесконечная делимость), ибо одна часть плавно переходит в другую.

Дискретность времени опровергается апорией "Стрела". Чем движущаяся стрела отличается от неподвижной? Только пространственно-временными характеристиками. Можно, конечно, сказать, что движущаяся стрела нагревается от трения об воздух - но ведь всегда можно представить её движущейся в пустоте относительно стрелка. Да и понятно, что нагрев второстепен, акцидентален, и такой аргумент был бы не более, чем уловкой.

И вот теперь - важный логический переход. Если время дискретно, как молчаливо предполагал Зенон, то движение во времени эквивалентно движению в каждый момент времени - ведь время можно представить как совокупность моментов.

Возьмём произвольный момент времени. Чем отличается движущаяся стрела от неподвижной? Современный физик сказал бы, что отличается положением в пространстве и вектором скорости. Но положение в пространстве у неподвижной стрелы может быть любым. Можно разложить множество неподвижных стрел по всему пути следования движущейся стрелы - любому понятно, что это не то же самое, что одна движущаяся стрела. Таким образом, положение в пространстве не является важным отличием. Что касается вектора мгновенной скорости, то это не более чем выдумка современного физика, абстракция, которой нет у реальной стрелы. Как мы можем вообще посчитать мгновенную скорость? Только определяя положение стрелы в пространстве в разные моменты времени. Но вопрос-то стоит о различии в один момент времени! А в один момент времени получается, что различий нет!

Таким образом, предположив дискретность времени, мы получили, что движущаяся стрела - то же самое, что неподвижная стрела. Но это неправда, а значит, время непрерывно.

Предположим теперь, что время непрерывно, а пространство конечно. На самом деле, для нас достаточно лишь бесконечной делимости времени, чтобы доказать абсурдность этого предположения. Но при этом придётся принять ещё одно важное предположение - о многомерности пространства. Точнее, о возможности взаимодействия в пространстве не только пар точек, но и троек точек, которые могут находиться в любом положении друг относительно друга. Математическая формализация этого предположения имеет много трудностей. Кроме того, в некоторых моделях оно не выполняется. Например, экономические системы можно моделировать с помощью одномерного пространства - графа, по дугам которого могут двигаться некоторые продукты в любой момент непрерывного времени. Но для общих физических систем, как мы увидим из следующей апории, предположение достаточно очевидно.

Следующая апория называется "Стадион". Её не очень просто понять без картинки. Рассмотрим следующую схему, на которой
каждая клетка таблицы представляет неделимый блок пространства. Имеется
три ряда объектов А, В и С, занимающих по три блока пространства, причем
первый ряд остается неподвижным, а ряды В и С начинают
одновременное движение в направлении, указанном стрелками:</p>

	A1	A2	A3
В3	В2	В1		→
←		С1	С2	С3

(0) Начальное положение

	А1	А2	А3
	В3	В2	В1
	С1	С2	С3

(1) Конечное положение

Ряд С, утверждает Зенон, за некоторую единицу времени прошел одно
неделимое место неподвижного ряда А (место А1). Однако за то же
самое время ряд С прошел два места ряда В (блоки В2 и В3).
Но тогда в какой-то промежуточный момент - такой момент, по непрерывности времени, всегда существует! - должно было произойти прохождение блока В2, изображенное на следующей схеме:</p>

	В3	В2	В1
		С1	С2	С3

(0/1) Промежуточное положение

Но где в это промежуточное положение находился ряд А? Для
него просто не остается соответствующего места. Остается либо признать,
что движения нет, либо согласиться с тем, что ряд А делим не на три,
а на большее количество мест. Таким образом, предположение о конечности пространства пришло к противоречию. Следовательно, пространство бесконечно делимо.

Предположим теперь, что пространство-время бесконечно делимо, но дискретно. Можно ли составить пространство из совокупности точек, т.е. элементарных мест? Знаменитый аристотелевский принцип непрерывности: "непрерывное не может состоять из неделимых" - подтверждается, в частности двумя апориями Зенона. Первая утверждает, что пространство не есть совокупность мест. Действительно, в каждой области пространства - строго определённое количество мест, иначе это не была бы строго определённая область пространства. Но между любыми двумя местами, согласно бесконечной делимости, можно вставить ещё одно место - значит, совокупность не является строго определённой. Математик может возразить на эту апорию, что множество мест в пространстве актуально бесконечно, а апория применима лишь к конечному пространству. Но можем ли мы допускать актуальную бесконечность или допустима лишь потенциальная?

Если мы допускаем актуальную бесконечность множества мест в пространстве, то Зенон контратакует нас ещё одной апорией, которая говорит: пространство не может состоять из точек, ибо прибавление или отнятие одной точки ничего не изменит в его размерах - значит, не изменит и прибавление или отнятие любого множества точек. Опять же, математик может дать на это возражения, опираясь на абстракцию актуальной бесконечности и теорию меры. Но надо понимать, что актуальная бесконечность, равно как и точка в пространстве - не более, чем абстракции, приближённо описывающие реальные потенциально бесконечные процессы и тела. Вещественные числа, описывающие координаты в пространстве - это ведь тоже абстракция, основанная, например, на бесконечной последовательности вложенных рациональных отрезков. Каждый отрезок описывает конкретную протяжённость в пространстве - а вот предел последовательности уже ничего конкретного не описывает... Теория же меры в данном случае - это просто набор слов, ибо проблема, как из множеств нулевой меры получается множество ненулевой меры, никуда не исчезает.

Но в предыдущем абзаце я лишь опроверг опровержения непрерывности (т.е. несоставимости из неделимых) пространства-времени. Перейдём теперь к доказательству.

Предполагая, что пространство-время бесконечно делимо, но дискретно - получаем симметричные апории "Дихотомии" и "Ахилл и черепаха". Первая гласит, что человек не может пройти даже метр: ведь для этого ему надо сперва пройти 1/2 метра, а для этого надо сперва пройти 1/4 метра, а для этого надо сперва пройти 1/8 метра и.т.д. Иначе говоря, движение не может даже начаться. Более известная апория "Ахилл и черепаха" говорит, что быстроногий Ахилл не догонит медленную черепаху, ибо, когда он добежит до того места, где она была, черепаха уже проползёт вперёд. Эта апория, как замечают многие исследователи, дополняет "Дихотомии", утверждая, что движение не может закончиться. Довольно поверхностное возражение на неё - мол, ряд интервалов сходится - на самом деле ничего не доказывает. Разумеется, древние греки знали о сходящихся рядах - ими пользовался ещё Архимед. Но в этом возражении упущена суть апории, которая симметричным образом схвачена в "Дихотомиях". Поэтому дальше я буду говорить только про более простые "Дихотомии".

Аристотель возражает на "Дихотомии", что каждый малый отрезок пространства будет проходиться в пропорционально малый промежуток времени - а вся совокупность промежутоков времени и будет означать начало движения. Мало того, что Аристотель таким образом дал общее понятие о производной как о пределе последовательности и о мгновенной скорости как о производной пути по времени - так он ещё и посрамил современных комментаторов апорий - мол, без актуальной бесконечности и современной теории множеств и функций нельзя описать движение. Оказывается, можно, причём в этом описании движения точки пространства строго соответстуют моментам времени. А раз время, как мы выяснили выше непрерывно, то и пространство стало быть, тоже непрерывно.

P.S. Вопрос: "допустима ли актуальная бесконечность?" - как несложно заметить, остаётся открытым. Выше я всё время обходился без неё и показывал, что возражения, основанные на ней, не работают. Некоторые современные комментаторы Аристотеля (как, например, Яновская) утверждают, что Аристотель в своём комментарии к "Дихотомиям" провозглашает актуальную бесконечность множества моментов времени. Ничего подобного - тут она тоже потенциальная! Просто не нужно понимать "потенциальное" как "возможно, реализуемое в будущем". "Потенциальное" - это лишь "возможное" без какого-либо оттенка темпоральности, и в таком качестве применимо и к пространству, и ко времени.