Решение антиномий пространства и времени

Таким образом, не следует подражать мол­чаливому хождению Диогена, которое яв­ляется лишь ленивым и циничным отказом от рассуждения и аргументирования, — на­до через их понимание найти способ реше­ния диалектических трудностей, обуслов­ленных природой пространства и времени.

а) Делимое и неделимое

С этой точки зрения невозможность сущес­твования неделимых элементов континуу­ма может считаться вполне доказанной. Признание этой невозможности как раз и позволяет вскрыть и опровергнуть со­физм Зенона — как и аналогичный софизм Бергсона, который якобы ему противосто­ит. Аргумент Зенона сводится к тому, что "невозможно пройти бесконечное [множес­тво предметов] или коснуться каждого из них в конечное время"². Однако та беско­нечность, о которой идет речь, происходит из бесконечной делимости траектории. Со­физм состоит в том, что бесконечной дели­мости пространства противопоставляется конечный характер, то есть неделимость движения и времени. На самом деле движе­ние и время являются, как и пространство, континуумом и, следовательно, так же как и пространство, не содержат неделимых

² Аристотель. Физика. VI 2, 233 а 22—23 , Соч. Т. 3. С. 183.

элементов. И длина и время заключают "в себе бесконечное множество [частей]"¹, поскольку они бесконечно делимы. Следо­вательно, "нет ничего нелепого, если в бес­конечное время кто-нибудь пройдет беско­нечное множество; ведь бесконечность оди­наково присуща и длине и времени"².

Софизм Зенона состоит в вопросе, мож­но ли преодолеть бесконечность за конечное время, как если бы речь шла о бесконечной длине, которую необходимо преодолеть за ограниченное время. Однако речь идет об ограниченной длине, а бесконечность ее по­нимается в смысле бесконечной делимости, которая присуща также ограниченным про­межуткам времени или движениям:

Ведь длина и время и вообще все непре­рывное называются бесконечными в двоя­ком смысле: или в отношении деления, или в отношении концов. И вот, бесконеч­ного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечно­го в отношении деления — можно³.

Однако деление, способное производить внутри континуума бесконечность точек, положений и мгновений, — это деление лишь виртуальное (возможное). Действи­тельно, реальное разделение порождает разрыв (или прерывание). И тогда мы име­ем не один континуум (например, AB), а два последовательных или смежных континуу­ма (АС и СВ). Деление, которое сохраняет континуум, является, таким образом, вир­туальным, а не реальным, и бесконечное число точек на отрезке AB (или бесконечное число промежуточных положений при дви­жении по AB, или бесконечное число мгно­вений за промежуток времени AB) также является виртуальным, а не реальным:

Таким образом, бесконечное удается пройти в бесконечное, а не в конечное время и коснуться бесконечного [множест­ва можно] бесконечным, а не конечным [множеством]. Разумеется, невозможно ни

¹ Аристотель. Физика. VIII 8, 263 а 12 // Соч. Т. 3. С. 251.

² Там же. 13—15.

'Там же. VI 2, 233 а, 24—28. С. 183.

пройти бесконечное в конечное время, ни конечное в бесконечное время, но если вре­мя будет бесконечным, то и величина будет бесконечной, и если величина, то и время".

Действительно, невозможно производить бесконечное деление, и именно поэтому не­возможно, как это отметил Паскаль⁵, по­нять такое деление. Тем не менее не следует делать вывод, что, если движение из А в В не­раздельно (indivis), оно также и неразделимо (indivisible). В самом деле, "перенося руку из А в В, мы говорим себе, что мы могли бы остановить ее в какой-нибудь промежуточ­ной точке"⁶. Делимость движения не означа­ет ничего, помимо такой возможности.

Бесконечность путем деления (то есть бесконечно большое число бесконечно малых элементов) существует не реально, а только в возможности. Бесконечно малое не соот­ветствует, следовательно, никакой величине и никакому реально определенному числу.

Таким образом, снимается парадокс, по ко­торому два отрезка различной длины (даже если одна из этих длин бесконечна в том смысле, что ее концы бесконечно удалены один от другого) содержат одно и то же количество точек. Это кажущееся соответ­ствие является всего лишь следствием на­шего допущения, что "можно было бы" соединить каждую точку одного отрезка с каждой точкой другого. Такая операция

"Там же. 28—34. С. 183—184.

⁵ См.: Паскаль Б. О геометрическом уме и об искусстве убеждать // Стрельцова Г. Я. Паскаль и европейская культура. С. 444—445.

⁶ Бергсон А. Восприятие изменчивости. С. 21.

есть лишь гипотетическая возможность: ре­ально ее осуществить невозможно. Таким образом, не годится говорить о "числе", чтобы обозначить количество точек, вирту­ально содержащихся в рассматриваемых отрезках. Именно поэтому математики для обозначения этого виртуального количест­ва используют термин "мощность" (кото­рый звучит двусмысленно, поскольку уже имеет другое значение).

Таким образом, бесконечно малое явля­ется не числом (то есть количеством, кото­рое всегда можно определить), а неопреде­ляемой величиной. Именно это свойство дает возможность использовать бесконечно малые величины в геометрии. Действитель­но, количественная неопределенность, ко­торая характеризует бесконечно малое, приводит к тому, что его дискретный ха­рактер является лишь видимостью:

Если она [математика] так определяет, на­пример, величину поверхности, что послед­няя представлена как сумма бесконечно многих линий, то она видит в этой дискрет­ности только представление, которое прини­мается лишь на мгновение, и в бесконечном множестве линий уже заключена снятость их дискретности, так как пространство, кото-рос они должны составлять, ограниченно¹.

Бесконечно малые, являясь неисчисляемы­ми, в действительности не суть числа, кото­рые разделяются разрывами: понятие бес-конечно малой принадлежит, таким обра­зом, континууму.

Если бесконечно малое не является чис­лом, отсюда должно следовать, что так называемое "исчисление континуума" есть лишь, по видимости, арифметическая опе­рация. В методе Кавальери, например, пло­щадь треугольника или трапеции образует­ся рядоположением линий, которые "могут быть представлены как члены арифмети­ческой прогрессии"². Однако о разнице между членами этой прогрессии мы знаем лишь то, что она постоянная: "она не нуж­дается в определении"³, потому что речь идет не о числах, и, следовательно, опреде­ление через числа лишено всякого смысла.

¹ Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 1. Гл. 1. Представление о чистом количестве. Т. 1. С. 260—261. Дискретность — это прерыв­ность. — Примеч. авт.

² Там же. С. 402. ³Там же.

Прогрессия, таким образом, описывается с позиций чисто качественных, как посто­янно возрастающая между крайними чле­нами.

Что касается суммы этой прогрессии, она получается, согласно правилам сум­мирования рядов, при помощи операции умножения. Однако если в арифметике умножение может идентифицироваться со сложением, то в геометрии дело обстоит по-другому — здесь умножение понимается как образование плоскости. "С точки зре­ния арифметики", следовательно, "сущ­ность" метода состоит в том, что он позволяет "все представить в форме сум­мы"; но в действительности в этой опера­ции содержится "геометрический момент" в форме "умножения", с помощью которо­го осуществляется "переход линии в плос­кость"⁴. Метод, используемый Кеплером при определении площади круга, также включает переход к плоскости с помощью операции умножения. Но здесь нужно под­черкнуть, что такой переход является ис­ключительно качественным (или геометри­ческим), поскольку при таком умножении элементы не рассматриваются как счетные величины.

Кавальери сознает, что его способ до­казательства вовсе не требует "прибегать к помощи бесконечно малых"⁵. Его метод скорее состоит в выделении в континуумах неделимых, которые позволяют сравнивать континуумы элемент за элементом:

Общее основоположение Кавальери гла­сит (Exerc. geometr. VI — позднейшее со­чинение Ехегс. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются между собой со­вокупно, а если у них есть какая-либо об­щая пропорция, то в отдельности"⁶.

Например, можно сравнивать между собой параллелограммы одной и той же высоты, расчленяя их линиями, параллельными ос­нованиям:

"Там же. С. 403.

⁵ Кавальери Ф. Геометрия неделимых. Кн. II. 1. Цит. по: Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Т. 1. С. 396.

⁶ Кавальери Ф. Упражнения по геометрии. Кн. VI. 1. Цит. по: Гегель Г, В. Ф. Наука логики. Т. 1. С. 397.

Если сравнить эти линии "дистрибутивным способом" (одну за другой), мы увидим, что их одно и то же количество, хотя оно остается бесконечным, то есть неоп­ределенным. Если же их рассматривать "коллективно" (в том смысле, что вместе они образуют параллелограмм), мы уви­дим, что площади находятся между собой в том же отношении, что и длины их оснований. Этот способ представления приводит к определению геометрических фигур не по линиям, которые их ограни­чивают, а по отношениям между основ­ными элементами. Так, площадь паралле­лограммов определяется произведением их высоты на их основание, какова бы ни была их внешняя конфигурация:

образом, можно сделать вывод, что спо­соб доказательства Кавальери "вовсе не за­ставляет иметь представление о непрерыв­ном, как о сложенном из неделимых"¹. Ведь из него вытекает то, что "непрерывные лишь следуют пропорции неделимых"².

Сущность метода Кавальери состоит, таким образом, в определении отношения между неделимыми, которое позволяет сде­лать вывод об идентичном отношении кон­тинуумов. Открытие Лейбницем исчисле­ния бесконечно малых явилось результа­том осознания того, что, когда переходят от величин "обозначаемых" (то есть тех величин, которым можно приписать опре­деленные значения) к величинам бесконеч­но малым, их соотношение остается посто-янным.

А отсюда видно, что площадь треуголь­ника — это половина произведения его основания на высоту, поскольку тре­угольник является результатом деления параллелограмма по диагонали. Таким

Такое соотношение Лейбниц увидел в ри­сунке, иллюстрирующем лемму из "Рассуж­дения о синусах четверти круга" Паскаля:

Пусть ABC — четверть круга, где ради­ус AB рассматривается как вертикальная ось координат, а перпендикулярный ради­ус АС — как основание; пусть D — произ­вольная точка на дуге, из которой опущен синус DI на основание АС; и касательная DE, на которой произвольно взяты точки Е, из которых проводятся перпендикуля­ры ER на основание АС³.

¹ Кавальери Ф. Геометрия. Кн. VII. Предисло­вие. Цит. по: Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Т. 1. С. 399.

² Там же.

³ Pascal В. Traite des sinus du quart de cercle.

Прямоугольный треугольник ЕЕ'К подо­бен прямоугольному треугольнику DAI, поскольку угол ЕЕ'К равен углу DAI. Тогда мы имеем:

Е'К _ AI ΕΚ DI

Отношение между Е'К и ЕК остается по­стоянным, какими бы малыми ни были Е'К и ЕК, то есть как бы близко к D ни находились E и Е'. Ведь это отношение остается всегда равным отношению между AI и DI. Однако отношение Е'К/ЕК оп­ределяет наклон касательной к окружности в точке D. Возьмем треугольник ЕЕ'К таким малым, что больше нельзя будет отделить точки Е, Е' и К от D. Поскольку DI обозначает ординату (у) с началом в D, КЕ' будет обозначать прирост этой ор­динаты. Аналогично КЕ будет обозначать прирост абсциссы (х). Если, по Лейбницу, мы обозначим эти приросты как dx и dy, то увидим, что выражение dy/dx, которое служит для обозначения отношения между неопределенными приростами абсциссы и ординаты точки D, остается определен­ным, что позволяет выразить кривизну окружности в точке D.

Метод (благодаря которому возникла методика вычисления производных) состо­ит, таким образом, в определении тенден­ции окружности искривляться в большей или меньшей степени в одной из ее точек. Эта тенденция отождествляется с наклоном касательной к окружности в данной точке. Такое отождествление дуги окружности с отрезком прямой обосновано, поскольку касательная и кривая соприкасаются в од­ной точке и их различие исчезает в точке их соприкосновения. Ведь точка бесконечно мала, то есть она уже не является вели­чиной обозначаемой, так что в ней исчеза-

ют количественные различия. Однако оп­ределение Архимеда, согласно которому _j прямая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, показывает, что разница между прямой и кривой линиями , представляет собой количественное раз­личие:

Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого коли­чественного отношения друг к другу и по­тому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого качествен­ного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую¹.

Однако, хотя бесконечно малые не явля­ются уже количественно определенными ве­личинами, тем не менее между ними су­ществуют вполне определенные отноше­ния. Так, в исчислении бесконечно малых объясняется то, что оставалось необъясни­мым при исчислении континуума: можно пренебречь бесконечно малой величиной, не принимая ее, однако, равной нулю и, несмотря на такое приближение, добиться \ вполне определенных результатов.

Действительно, с одной стороны, "исче­зает dx относительно дг"; по отношению к χ dx является ничем — "dx находится в отношении лишь к dy "²:

dx, dy уже не определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют значение лишь в своем соотноше­нии... Вне своего отношения они чистые нули, но их следует брать только как мо­менты отношения, как определения диф­ференциального коэффициента dx/dy³.

Таким образом, бесконечно малые — "уже
не определенные количества, но и не ничто,
а сохраняют еще некоторую определен-,
ность относительно другого"*. С одной .
стороны, они уже не являются количества­
ми, но, с другой стороны, они сохраняют
нечто количественное, поскольку их соот­
ношения остаются количественно опреде­
ляемыми. I
В концепции бесконечно малых величин '
есть что-то промежуточное. Именно поэто­
му Ньютон не хотел называть их "недели-

¹ Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 2. Гл. 2. Бесконечность определенного количест­ва. Т. 1. С. 356.

² Там же. С. 355.

³ Там же. С. 336.

⁴ Там же. С. 337.

мыми"¹, иначе это означало бы, что мы пришли к концу деления. Ньютон уточняет, что речь идет об "исчезающе делимых" и что их отношение должно пониматься как "предел"² отношения. Нужно понимать, что "под предельным отношением исчезаю­щих количеств должно быть разумеемо от­ношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают"³. Действительно, "величины эти определены как величины, существующие в своем исчезновении — не до своего исчез­новения, ибо в таком случае они конечные величины, и не после своего исчезновения, ибо в таком случае они ничто"⁴. Таким образом, если с помощью исчисления бес­конечно малых удается совершать рацио­нальные математические действия, то по­нятие бесконечно малой, на котором оно зиждется, все-таки оказывается двусмыс­ленным по своей природе — как переход между тем, что еще является чем-то, и тем, что уже ничем не является.

разом, понятие континуума вовсе не исклю­чает понятия бесконечно малой. Конечно, континуум не содержит бесконечно малой в качестве своего составного элемента. Но бесконечно малая величина появляется в кднтинууме в форме границы, причем в момент, когда она переходится.

Если мы хотим изучать границу и погра­ничный переход, то не важно, определять ли ее свойства через точку в пространстве, положение в движении или мгновение во времени, поскольку эти аспекты различны лишь для чувственной интуиции, но не для мысли, которая рассматривает их матема­тическое понятие. Например, А, взятое в одномерном континууме, — это и точка между правым и левым, и положение меж­ду предшествующим и последующим, и мгновение между прошлым и будущим, и число между большим и малым.

Ь) Переход границы

Таким образом, мы видим, насколько ложен тезис Бергсона о том, что концепту­альное представление времени и движения сводит их к ряду неподвижных состояний. Методы исчисления бесконечно малых сос­тоят скорее в том, чтобы представлять про­странство, исходя из движения, поскольку при этом математическая точка характери­зуется приращениями ее абсциссы и орди­наты, другими словами, точка схватывает-ся в движении, которым она порождает прямую. Однако это движение бесконечно мало: точка схватывается в тот момент, когда она покидает свое собственное место­положение. Или, что то же самое, элемен­ты, служащие для расчета этого движения (то есть приращения абсциссы и ординаты), схватываются в тот самый момент, когда они вот-вот сведутся к нулю. Таким об-

¹ Ньютон И. Математические начала натура­льной философии. Лемма XI. Схолия. М., 1989. С. 69.

² Там же. ³Там же.

⁴ Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 1. Гл. 1. Становление. Т. 1. С. 165.

Наименее двусмысленной иллюстрацией границы является тем не менее мгновение, поскольку мы знаем, что время идет, тогда как графическое изображение математичес­кой точки навязывает созерцанию свое не­подвижное положение, деля линию на две половины, данные в одно и то же время:

Мгновение разделяет время в возможнос­ти, то есть мысленно, а не в реальности как точка, которая, занимая какое-то по­ложение и находясь там, обозначает раз­деление частей. Вследствие текучести вре­мени мгновение не может обозначать час­ти времени, существующие рядом друг с другом⁵.

Операция измерения, например, разрывает континуум, деля его на единицы измерения так, что появляются сопряженные линии (или движения, или последовательные вре­мена):

При таком делении ни линия, ни движение не будут непрерывными, так как непре­рывное движение есть движение по непре­рывному, а в непрерывном заключено бес­конечное [число] половин, но только не в действительности, а в возможности⁶.

⁵ Alexandre d'Aphrodise in Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 222 a 10. Acad., Berol. P. 748, 23—27.

⁶ Аристотель. Физика. VIII 8, 263 a, 26—29 // Соч. Т. 3. С. 252.

А если у нас имеются два континуума, смежных или последовательных, то точку, по которой проходит деление, приходится рассматривать как двойную:

Если же их сделать действительными, то [движение] не будет непрерывным, но бу­дет останавливаться, что вполне очевидно произойдет с тем, кто считает половины; ведь ему тогда необходимо одну точку считать за две: одна будет концом одной половины, другая началом другой, если считать непрерывную [линию] не как одну, а как две половинные¹.

Например, точка С, если она делит отрезок AB пополам, является одновременно кон­цом отрезка АС и началом отрезка СВ.

Рассмотрим тогда настоящий контину­ум, такой, как время, который никогда не делится на мгновения реально, а только в возможности. В таком континууме насто­ящий момент, подобно точке на прямой, имеет двойную природу. Ведь он "пред­ставляет собой некий край прошедшего, за которым еще нет будущего, и, обратно, край будущего, за которым нет уже про­шедшего"². Если такой момент имеет двой­ную природу, он может, следовательно, разделиться на два момента: последний мо­мент прошлого и первый момент будущего. Поскольку они составляют первый — край­нюю точку прошлого, а второй — крайнюю точку будущего, они должны рассматри­ваться как неделимые. Действительно, "предполагают, что речь идет о границах"³. Однако, если эти границы "не были бы без частей, они не составляли бы краев сами по себе, а их краем была бы одна из их частей"⁴.

¹ Аристотель. Физика. VIII 8, 263 а 30—263 b 3 // Соч. Т. 3. С. 252.

² Там же. VI 3, 233 b 35—234 а 2. С. 185.

³ Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 233 b 33 sq. P. 956, 16. ⁴Ibid. 16-17.

Если, таким образом, вообразить два отдельных момента, то, поскольку эти мо­менты неделимы, "они не могли бы следо­вать друг за другом, так как непрерывное не состоит из того, что лишено частей"⁵. Как мы уже видели, два неделимых не мо­гут соприкасаться. "Если же они отделены друг от друга, между ними будет находить­ся время"⁶. Именно это время и называют настоящим моментом — он расположен между последним мгновением прошлого и первым мгновением будущего. Однако "если в промежутке находится время, то оно будет делимо"⁷. А "любое разделение во времени создает прошлое и будущее"⁸. Следовательно, часть настоящего момента (если мы подразумеваем под ним промежу­точную длительность, какой бы скоротеч­ной она ни была, между прошлым и буду­щим) "будет в прошедшем времени, а часть — в будущем"⁹. Однако такое разделение может проводиться до бесконечности, по­скольку любое время бесконечно делимо.

Пусть P — последнее мгновение прошлого, F — первое мгновение будущего, а А — ка­кое-либо разделение настоящего. Тогда AF является прошлым по отношению к F, но оно является будущим по отношению к РА, в то время как РА является будущим по отноше­нию к P и прошлым по отношению к AF: таким образом, "в будущем будет некая часть прошедшего и в прошедшем—будуще­го"¹⁰. Необходимо отказаться от рассмотре­ния последнего мгновения прошлого и перво­го мгновения будущего как различных и предположить единственное и "одно и то же"" мгновение, "теперь", которое существу­ет "в прошедшем и в будущем" '² и принадле­жит обоим временам "нераздельно"¹³.

⁵ Аристотель. Физика. VI 3, 234 а 6—7 // Соч. Т. 3. С. 185.

'Там же. 7—8.

⁷ Там же. 10.

'Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 234 a 16 sq. P. 959, 11.

⁹ Аристотель. Физика. VI 3, 234 a 16—17 // Соч. Т. 3. С. 185.

'"Тамже. 12—13.

" Там же.

¹² Там же. 20.

"Там же. 4—5.

Таким образом, необходимо либо про­извести разрыв континуума, дающий два отличных друг от друга континуума, при­чем конец одного отделен от начала друго­го, либо придерживаться реального конти­нуума, в котором момент потенциального разделения будет единым и неделимым. Именно к этой последней возможности склоняется Зенон, когда делит движение стрелы на ряд последовательных неподвиж­ных мгновений. В этом случае есть основа­ние сказать, что "в "теперь" нет никакого движения"¹. Если бы действительно там су­ществовала возможность движения, то это движение могло быть более или менее быс­трым; но это количественное различие не может быть выявлено в неделимом:

тояние покоя. Фактически же неделимое мгновение исключает более или менее быс­трые движения и соответственно остановку движения.

Если этот вывод достаточен для опро­вержения софизма Зенона, он тем не менее недостаточен сам по себе, поскольку он представляет неделимое мгновение как принадлежащее одновременно двум проти­воположным рядам (до и после, прошлое и будущее, большое и маленькое и т. д.), что является противоречивым:

Пусть время будет АГВ, предмет — Δ; он в течение всего времени А светлый, а в те­чение В несветлый; следовательно, в [мо­мент времени] Г он и светлый и несвет­лый. Ведь будет правильно сказать, что в любой части времени А он светлый, если все это время он был светлым; точно так же во время В он несветлый, а в Г от­носится и к тому и к другому"⁴.

Пусть N — мгновение, в котором, как утверждается, есть движение, и пусть AB — расстояние, пройденное самым быст­рым движением в N. Тогда самое медлен­ное движение за то же мгновение преодо­леет расстояние меньшее, чем AB, допус­тим АС. Но поскольку наиболее медленное движение преодолевает АС за мгновение, то наиболее быстрое движение преодолеет эту длину АС меньше чем за мгновение; следовательно, мгновение бу­дет делимым².

Тот факт, что не может быть движения в неделимом мгновении, означает, что дви­жение требует делимости времени, а не при­водит к выводу, что движущееся тело непо­движно в этом мгновении. Если, в самом деле, мгновение по своей природе исключа­ет возможность движения, то оно также исключает возможность состояния покоя:

Но [в "теперь"] нет и покоя; мы называли ведь покоящимся [предмет], способный к движению и не движущийся в то время, в том месте и таким образом, как ему присуще по природе; следовательно, раз в "теперь" ничто не может двигаться, то ясно, что не может и покоиться³.

Софизм Зенона состоит в утверждении, что в мгновении есть либо движение, либо сос-

¹ Аристотель. Физика. VI 3, 234 а 24 // Соч. Т. 3. С. 186.

² Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 234 a 24 sq. P. 961, 4—9.

³ Аристотель. Физика. VI 3, 234 a 32—34 // Соч. Т. 3. С. 186.

Таким образом, необходимо соотнести точ­ку Г, которая разделяет континуум на пред­шествующие и последующие, лишь с одним из двух этих рядов, например последующим:

...Иначе выйдет, что, когда он [предмет Δ] возник, [в это же мгновение] его уже не будет... или же он должен быть одновре­менно светлым и несветлым и вообще су­ществующим и несуществующим⁵.

Действительно, в момент Г предмет не мо­жет быть еще светлым и уже несветлым, то есть еще не быть чем-то, в то время как он им уже стал.

с) Граница и неограниченность

Таким образом, мы видим, насколько трудно интерпретировать сущность поня­тия границы внутри континуума. В самом деле, любая точка, взятая внутри контину­ума, делит этот континуум или производит в нем разрыв. Но если этот разрыв нереаль­ный, такая точка сохраняет также непре­рывность континуума в том смысле, что она принадлежит одновременно к обеим частям. Однако это, как мы только что убедились, является противоречивым, по-

⁴Там же. VIII 8, 263 b 15—19. С. 252. ⁵ Там же. 24—26. С. 253.

скольку приходится рассматривать границу одновременно как правое и левое, пред­шествующее и последующее, прошедшее и будущее, большое и малое и т. д. Если же мы хотим избежать противоречия, нужно отнести границу лишь к одной из двух час­тей. Но в этом случае невозможно разде­лить континуум одним разрывом, напри­мер время — одним мгновением так, чтобы после него не было ничего в будущем, а до него — не было ничего в прошлом. В са­мом деле, если мы возьмем F как первое мгновение будущего, оно должно быть от­делено от P — последнего мгновения про­шлого, так что между этими двумя времен­ными точками оказывается бесконечное множество мгновений, также могущих оз­начать разрыв между прошлым и будущим.

Поэтому неудивительно, что "никто не может привести какого-либо доказательст­ва правильности принципа"¹, в соответствии с которым некоторые современные матема­тики определяют сущность континуума:

Если все точки прямой линии разбиваются на два класса таким образом, что каждая точка первого класса находится слева от любой точки второго класса, то существу­ет точка, и притом единственная, которая отвечает за это деление всех точек на два класса, разделяя прямую линию на две части².

Если точка P находится слева от всех точек, расположенных справа, и справа от всех точек, расположенных слева, это означает, что она находится одновременно и слева и справа. Такой вывод, являясь противоре­чивым, не может быть принят математи­ками, которые присоединяют точку P к то­му или иному ряду точек. Но со времен Аристотеля было доказано, что разрыв между двумя рядами не может осущест­вляться одной точкой.

¹ Dedekind J. W. R. Continuity et nombres irrationnels. 3. Continuite de la ligne droite.

² Ibidem.

Если же предположить в континууме не­делимое в качестве крайнего члена одной из его частей, другая часть будет содержать в себе отличный от него крайний член. Ес­ли, например, P является последним мгно- ι вением прошлого, оно будет отличаться от F — первого мгновения будущего. Таково основание так называемых доказательств тезиса, гласящего, что мир имеет начало и конец во времени. Доказательство осно­вывается на том, что в настоящее мгнове­ние "прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире"³, иными словами, прошлое представляется как завершенная "вечность"⁴. "Доказатель­ства... сводятся лишь" к тому, что "данный момент времени означает не что иное, как некую определенную границу во времени"⁵, поскольку в это мгновение прошедшее вре­мя заканчивается. Однако то, что существу­ет определенная во времени граница, — это как раз "именно то, что должно было быть доказано"⁶. Есть, правда, видимость дока­зательства, заключающаяся в том, "что до­пущенная граница времени есть некоторое "теперь" как конец протекшего до этого времени, а та граница, наличие которой требуется доказать, есть "теперь" как нача­ло некоторого будущего. Но эта разница несущественна"⁷. В самом деле, если насто­ящее мгновение рассматривать как то, чем оно действительно является, то есть не как точку, где время завершается, а как точку, где оно продолжается, то прошлое в этом случае не представлялось бы как совокуп­ность, завершенная в данное мгновение, и, следовательно, "рассуждение доказательст­ва отпало бы"⁸.

Таким образом, антиномия пространст­ва и времени проясняется, исходя из проти­воречивой природы границы внутри кон­тинуума. Если С — это конец АС, рассмат­риваемый как разрыв, то необходим другой крайний член, отличный от С, для начала

³ Кант И. Критика чистого разума. Кн. 2. Отд. 2. Гл. 2. Первое противоречие трансценден­тальных идей // Соч. Т. 3. С. 404.

⁴ Там же.

'Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 2. Гл. 2. Кантовская антиномия... Т. 1. С. 314. 'Там же.

⁷ Там же.

⁸ Там же. С. 315.

другого континуума. Однако если сохраня­ется непрерывность, то С будет одновре­менно окончанием одной части и началом другой и. таким образом, любая граница будет содержать свое собственное снятие. В этом смысле любой континуум (про­странство, время, движение) бесконечен в том двойном смысле, что невозможно положить предел его разделению или оп­ределить границы его распространения:

Каковы бы ни были движение, число, про­странство, время, всегда есть большее и меньшее...¹

Такое определение бесконечности отлича­ется от обычно приводимого, согласно ко­торому бесконечность — это такая вели­чина, больше которой или меньше которой быть не может. Это второе определение выглядит как соответствующее сущности бесконечно малой в том виде, как она ис­пользуется в исчислении бесконечно малых, поскольку бесконечно малая находится у такого предела исчезновения, за которым уже ничего нет. Тем не менее бесконечно малая, используемая при исчислении бес­конечно малых, еще не перешла предел, за которым уже ничего не существует. И она все еще является какой-то величиной. Но поскольку уже не может быть найдено меньшей величины, бесконечно малая уже не является определенной величиной: дей­ствительно, всегда можно найти величину меньшую, чем любая данная величина. По­этому бесконечно малая и должна опреде­ляться как наименьшая возможная величи­на: она есть именно такая величина, мень­шая, чем любая данная величина, то есть остающаяся всегда возможной за предела­ми этой величины. Таким образом, нельзя подразумевать под бесконечно малой на­именьшую, реально данную величину, ка­кой была бы, например, неделимая, то есть реальный предел деления. В действитель­ности нет реального предела делению, так что наименьшая величина никогда не ре­альна, но лишь возможна.

Очевидно, что тот же анализ подходит и для бесконечно большой величины. Если она является таким количеством, больше

'Паскаль Б. О геометрическом уме и об искусстве убеждать // Стрельцова Г. Я. Паскаль и европейская культура. С. 442.

которого не может быть найдено, она, следовательно, уже не является определен­ным количеством, поскольку, какое бы определенное количество мы ни брали, всегда можно найти еще большее коли­чество. Поэтому "невозможна никакая бесконечная данная величина"². Таким об­разом, проясняется парадокс теории мно­жеств о бесконечных множествах. По­скольку бесконечность неисчислима, то можно, если угодно, сказать, что бесконеч­ное множество равно подмножеству, об­разованному частью его составляющих, например, что бесконечное множество це­лых чисел равно бесконечному множеству четных чисел. Однако, поскольку речь не идет об определенных количествах, равен­ство также не имеет количественно опреде­ленного значения. Так что и равенство бесконечного множества целых чисел и бесконечного множества четных чисел не может означать, что целое равно части, поскольку бесконечное множество чисел не может образовать целое. Ведь целое

— "это то, у которого ничто не отсутству­ет"³, а множество чисел является бесконеч­ным, поскольку всегда найдется число большее, чем любое данное число:

Выходит, что бесконечное противополож­но тому, что [о нем обычно] говорят: не то, вне чего ничего нет, а то, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконеч­ное... Итак, бесконечное есть там, где, бе­ря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним⁴.

Бесконечность пространства, времени, дви­жения и вообще количества является, таким образом, не завершенной совокупностью, но всего лишь той величиной большей лю­бого определенного количества, которая всегда остается возможной за пределами любой данной величины.

Пространство и время не образуют бес­конечностей, данных в реальности. А не образовывать реальную бесконечность

— это определение конечного. Такое оп­ределение конечного не исключает беско-

² Кант И. Критика чистого разума. Кн. 2. Отд. 2. Гл. 2. Первое противоречие трансценден­тальных идей // Соч. Т. 3. С. 408.

'Аристотель. Физика. III 6, 207 а 8—9 // Соч. Т. 3. С. 119.

⁴ Там же. 206 b 33—207 а 2; 207 а 7—8.