Решение антиномий пространства и времени
Таким образом, не следует подражать молчаливому хождению Диогена, которое является лишь ленивым и циничным отказом от рассуждения и аргументирования, — надо через их понимание найти способ решения диалектических трудностей, обусловленных природой пространства и времени.
а) Делимое и неделимое
С этой точки зрения невозможность существования неделимых элементов континуума может считаться вполне доказанной. Признание этой невозможности как раз и позволяет вскрыть и опровергнуть софизм Зенона — как и аналогичный софизм Бергсона, который якобы ему противостоит. Аргумент Зенона сводится к тому, что "невозможно пройти бесконечное [множество предметов] или коснуться каждого из них в конечное время"2. Однако та бесконечность, о которой идет речь, происходит из бесконечной делимости траектории. Софизм состоит в том, что бесконечной делимости пространства противопоставляется конечный характер, то есть неделимость движения и времени. На самом деле движение и время являются, как и пространство, континуумом и, следовательно, так же как и пространство, не содержат неделимых
2 Аристотель. Физика. VI 2, 233 а 22—23 , Соч. Т. 3. С. 183.
элементов. И длина и время заключают "в себе бесконечное множество [частей]"1, поскольку они бесконечно делимы. Следовательно, "нет ничего нелепого, если в бесконечное время кто-нибудь пройдет бесконечное множество; ведь бесконечность одинаково присуща и длине и времени"2.
Софизм Зенона состоит в вопросе, можно ли преодолеть бесконечность за конечное время, как если бы речь шла о бесконечной длине, которую необходимо преодолеть за ограниченное время. Однако речь идет об ограниченной длине, а бесконечность ее понимается в смысле бесконечной делимости, которая присуща также ограниченным промежуткам времени или движениям:
Ведь длина и время и вообще все непрерывное называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении концов. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечного в отношении деления — можно3.
Однако деление, способное производить внутри континуума бесконечность точек, положений и мгновений, — это деление лишь виртуальное (возможное). Действительно, реальное разделение порождает разрыв (или прерывание). И тогда мы имеем не один континуум (например, AB), а два последовательных или смежных континуума (АС и СВ). Деление, которое сохраняет континуум, является, таким образом, виртуальным, а не реальным, и бесконечное число точек на отрезке AB (или бесконечное число промежуточных положений при движении по AB, или бесконечное число мгновений за промежуток времени AB) также является виртуальным, а не реальным:
Таким образом, бесконечное удается пройти в бесконечное, а не в конечное время и коснуться бесконечного [множества можно] бесконечным, а не конечным [множеством]. Разумеется, невозможно ни
1 Аристотель. Физика. VIII 8, 263 а 12 // Соч. Т. 3. С. 251.
2 Там же. 13—15.
'Там же. VI 2, 233 а, 24—28. С. 183.
пройти бесконечное в конечное время, ни конечное в бесконечное время, но если время будет бесконечным, то и величина будет бесконечной, и если величина, то и время".
Действительно, невозможно производить бесконечное деление, и именно поэтому невозможно, как это отметил Паскаль5, понять такое деление. Тем не менее не следует делать вывод, что, если движение из А в В нераздельно (indivis), оно также и неразделимо (indivisible). В самом деле, "перенося руку из А в В, мы говорим себе, что мы могли бы остановить ее в какой-нибудь промежуточной точке"6. Делимость движения не означает ничего, помимо такой возможности.
Бесконечность путем деления (то есть бесконечно большое число бесконечно малых элементов) существует не реально, а только в возможности. Бесконечно малое не соответствует, следовательно, никакой величине и никакому реально определенному числу.
Таким образом, снимается парадокс, по которому два отрезка различной длины (даже если одна из этих длин бесконечна в том смысле, что ее концы бесконечно удалены один от другого) содержат одно и то же количество точек. Это кажущееся соответствие является всего лишь следствием нашего допущения, что "можно было бы" соединить каждую точку одного отрезка с каждой точкой другого. Такая операция
"Там же. 28—34. С. 183—184.
5 См.: Паскаль Б. О геометрическом уме и об искусстве убеждать // Стрельцова Г. Я. Паскаль и европейская культура. С. 444—445.
6 Бергсон А. Восприятие изменчивости. С. 21.
есть лишь гипотетическая возможность: реально ее осуществить невозможно. Таким образом, не годится говорить о "числе", чтобы обозначить количество точек, виртуально содержащихся в рассматриваемых отрезках. Именно поэтому математики для обозначения этого виртуального количества используют термин "мощность" (который звучит двусмысленно, поскольку уже имеет другое значение).
Таким образом, бесконечно малое является не числом (то есть количеством, которое всегда можно определить), а неопределяемой величиной. Именно это свойство дает возможность использовать бесконечно малые величины в геометрии. Действительно, количественная неопределенность, которая характеризует бесконечно малое, приводит к тому, что его дискретный характер является лишь видимостью:
Если она [математика] так определяет, например, величину поверхности, что последняя представлена как сумма бесконечно многих линий, то она видит в этой дискретности только представление, которое принимается лишь на мгновение, и в бесконечном множестве линий уже заключена снятость их дискретности, так как пространство, кото-рос они должны составлять, ограниченно1.
Бесконечно малые, являясь неисчисляемыми, в действительности не суть числа, которые разделяются разрывами: понятие бес-конечно малой принадлежит, таким образом, континууму.
Если бесконечно малое не является числом, отсюда должно следовать, что так называемое "исчисление континуума" есть лишь, по видимости, арифметическая операция. В методе Кавальери, например, площадь треугольника или трапеции образуется рядоположением линий, которые "могут быть представлены как члены арифметической прогрессии"2. Однако о разнице между членами этой прогрессии мы знаем лишь то, что она постоянная: "она не нуждается в определении"3, потому что речь идет не о числах, и, следовательно, определение через числа лишено всякого смысла.
1 Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 1. Гл. 1. Представление о чистом количестве. Т. 1. С. 260—261. Дискретность — это прерывность. — Примеч. авт.
2 Там же. С. 402. 3Там же.
Прогрессия, таким образом, описывается с позиций чисто качественных, как постоянно возрастающая между крайними членами.
Что касается суммы этой прогрессии, она получается, согласно правилам суммирования рядов, при помощи операции умножения. Однако если в арифметике умножение может идентифицироваться со сложением, то в геометрии дело обстоит по-другому — здесь умножение понимается как образование плоскости. "С точки зрения арифметики", следовательно, "сущность" метода состоит в том, что он позволяет "все представить в форме суммы"; но в действительности в этой операции содержится "геометрический момент" в форме "умножения", с помощью которого осуществляется "переход линии в плоскость"4. Метод, используемый Кеплером при определении площади круга, также включает переход к плоскости с помощью операции умножения. Но здесь нужно подчеркнуть, что такой переход является исключительно качественным (или геометрическим), поскольку при таком умножении элементы не рассматриваются как счетные величины.
Кавальери сознает, что его способ доказательства вовсе не требует "прибегать к помощи бесконечно малых"5. Его метод скорее состоит в выделении в континуумах неделимых, которые позволяют сравнивать континуумы элемент за элементом:
Общее основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI — позднейшее сочинение Ехегс. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются между собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в отдельности"6.
Например, можно сравнивать между собой параллелограммы одной и той же высоты, расчленяя их линиями, параллельными основаниям:
"Там же. С. 403.
5 Кавальери Ф. Геометрия неделимых. Кн. II. 1. Цит. по: Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Т. 1. С. 396.
6 Кавальери Ф. Упражнения по геометрии. Кн. VI. 1. Цит. по: Гегель Г, В. Ф. Наука логики. Т. 1. С. 397.
Если сравнить эти линии "дистрибутивным способом" (одну за другой), мы увидим, что их одно и то же количество, хотя оно остается бесконечным, то есть неопределенным. Если же их рассматривать "коллективно" (в том смысле, что вместе они образуют параллелограмм), мы увидим, что площади находятся между собой в том же отношении, что и длины их оснований. Этот способ представления приводит к определению геометрических фигур не по линиям, которые их ограничивают, а по отношениям между основными элементами. Так, площадь параллелограммов определяется произведением их высоты на их основание, какова бы ни была их внешняя конфигурация:
образом, можно сделать вывод, что способ доказательства Кавальери "вовсе не заставляет иметь представление о непрерывном, как о сложенном из неделимых"1. Ведь из него вытекает то, что "непрерывные лишь следуют пропорции неделимых"2.
Сущность метода Кавальери состоит, таким образом, в определении отношения между неделимыми, которое позволяет сделать вывод об идентичном отношении континуумов. Открытие Лейбницем исчисления бесконечно малых явилось результатом осознания того, что, когда переходят от величин "обозначаемых" (то есть тех величин, которым можно приписать определенные значения) к величинам бесконечно малым, их соотношение остается посто-янным.
А отсюда видно, что площадь треугольника — это половина произведения его основания на высоту, поскольку треугольник является результатом деления параллелограмма по диагонали. Таким
Такое соотношение Лейбниц увидел в рисунке, иллюстрирующем лемму из "Рассуждения о синусах четверти круга" Паскаля:
Пусть ABC — четверть круга, где радиус AB рассматривается как вертикальная ось координат, а перпендикулярный радиус АС — как основание; пусть D — произвольная точка на дуге, из которой опущен синус DI на основание АС; и касательная DE, на которой произвольно взяты точки Е, из которых проводятся перпендикуляры ER на основание АС3.
1 Кавальери Ф. Геометрия. Кн. VII. Предисловие. Цит. по: Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Т. 1. С. 399.
2 Там же.
3 Pascal В. Traite des sinus du quart de cercle.
Прямоугольный треугольник ЕЕ'К подобен прямоугольному треугольнику DAI, поскольку угол ЕЕ'К равен углу DAI. Тогда мы имеем:
Е'К _ AI ΕΚ DI
Отношение между Е'К и ЕК остается постоянным, какими бы малыми ни были Е'К и ЕК, то есть как бы близко к D ни находились E и Е'. Ведь это отношение остается всегда равным отношению между AI и DI. Однако отношение Е'К/ЕК определяет наклон касательной к окружности в точке D. Возьмем треугольник ЕЕ'К таким малым, что больше нельзя будет отделить точки Е, Е' и К от D. Поскольку DI обозначает ординату (у) с началом в D, КЕ' будет обозначать прирост этой ординаты. Аналогично КЕ будет обозначать прирост абсциссы (х). Если, по Лейбницу, мы обозначим эти приросты как dx и dy, то увидим, что выражение dy/dx, которое служит для обозначения отношения между неопределенными приростами абсциссы и ординаты точки D, остается определенным, что позволяет выразить кривизну окружности в точке D.
Метод (благодаря которому возникла методика вычисления производных) состоит, таким образом, в определении тенденции окружности искривляться в большей или меньшей степени в одной из ее точек. Эта тенденция отождествляется с наклоном касательной к окружности в данной точке. Такое отождествление дуги окружности с отрезком прямой обосновано, поскольку касательная и кривая соприкасаются в одной точке и их различие исчезает в точке их соприкосновения. Ведь точка бесконечно мала, то есть она уже не является величиной обозначаемой, так что в ней исчеза-
ют количественные различия. Однако определение Архимеда, согласно которому j прямая является кратчайшим расстоянием между двумя точками, показывает, что разница между прямой и кривой линиями , представляет собой количественное различие:
Следовательно, как бесконечные, прямая линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую1.
Однако, хотя бесконечно малые не являются уже количественно определенными величинами, тем не менее между ними существуют вполне определенные отношения. Так, в исчислении бесконечно малых объясняется то, что оставалось необъяснимым при исчислении континуума: можно пренебречь бесконечно малой величиной, не принимая ее, однако, равной нулю и, несмотря на такое приближение, добиться \ вполне определенных результатов.
Действительно, с одной стороны, "исчезает dx относительно дг"; по отношению к χ dx является ничем — "dx находится в отношении лишь к dy "2:
dx, dy уже не определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют значение лишь в своем соотношении... Вне своего отношения они чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как определения дифференциального коэффициента dx/dy3.
Таким образом, бесконечно малые — "уже
не определенные количества, но и не ничто,
а сохраняют еще некоторую определен-,
ность относительно другого"*. С одной .
стороны, они уже не являются количества
ми, но, с другой стороны, они сохраняют
нечто количественное, поскольку их соот
ношения остаются количественно опреде
ляемыми. I
В концепции бесконечно малых величин '
есть что-то промежуточное. Именно поэто
му Ньютон не хотел называть их "недели-
1 Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 2. Гл. 2. Бесконечность определенного количества. Т. 1. С. 356.
2 Там же. С. 355.
3 Там же. С. 336.
4 Там же. С. 337.
мыми"1, иначе это означало бы, что мы пришли к концу деления. Ньютон уточняет, что речь идет об "исчезающе делимых" и что их отношение должно пониматься как "предел"2 отношения. Нужно понимать, что "под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают"3. Действительно, "величины эти определены как величины, существующие в своем исчезновении — не до своего исчезновения, ибо в таком случае они конечные величины, и не после своего исчезновения, ибо в таком случае они ничто"4. Таким образом, если с помощью исчисления бесконечно малых удается совершать рациональные математические действия, то понятие бесконечно малой, на котором оно зиждется, все-таки оказывается двусмысленным по своей природе — как переход между тем, что еще является чем-то, и тем, что уже ничем не является.
разом, понятие континуума вовсе не исключает понятия бесконечно малой. Конечно, континуум не содержит бесконечно малой в качестве своего составного элемента. Но бесконечно малая величина появляется в кднтинууме в форме границы, причем в момент, когда она переходится.
Если мы хотим изучать границу и пограничный переход, то не важно, определять ли ее свойства через точку в пространстве, положение в движении или мгновение во времени, поскольку эти аспекты различны лишь для чувственной интуиции, но не для мысли, которая рассматривает их математическое понятие. Например, А, взятое в одномерном континууме, — это и точка между правым и левым, и положение между предшествующим и последующим, и мгновение между прошлым и будущим, и число между большим и малым.
Ь) Переход границы
Таким образом, мы видим, насколько ложен тезис Бергсона о том, что концептуальное представление времени и движения сводит их к ряду неподвижных состояний. Методы исчисления бесконечно малых состоят скорее в том, чтобы представлять пространство, исходя из движения, поскольку при этом математическая точка характеризуется приращениями ее абсциссы и ординаты, другими словами, точка схватывает-ся в движении, которым она порождает прямую. Однако это движение бесконечно мало: точка схватывается в тот момент, когда она покидает свое собственное местоположение. Или, что то же самое, элементы, служащие для расчета этого движения (то есть приращения абсциссы и ординаты), схватываются в тот самый момент, когда они вот-вот сведутся к нулю. Таким об-
1 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Лемма XI. Схолия. М., 1989. С. 69.
2 Там же. 3Там же.
4 Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 1. Гл. 1. Становление. Т. 1. С. 165.
Наименее двусмысленной иллюстрацией границы является тем не менее мгновение, поскольку мы знаем, что время идет, тогда как графическое изображение математической точки навязывает созерцанию свое неподвижное положение, деля линию на две половины, данные в одно и то же время:
Мгновение разделяет время в возможности, то есть мысленно, а не в реальности как точка, которая, занимая какое-то положение и находясь там, обозначает разделение частей. Вследствие текучести времени мгновение не может обозначать части времени, существующие рядом друг с другом5.
Операция измерения, например, разрывает континуум, деля его на единицы измерения так, что появляются сопряженные линии (или движения, или последовательные времена):
При таком делении ни линия, ни движение не будут непрерывными, так как непрерывное движение есть движение по непрерывному, а в непрерывном заключено бесконечное [число] половин, но только не в действительности, а в возможности6.
5 Alexandre d'Aphrodise in Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 222 a 10. Acad., Berol. P. 748, 23—27.
6 Аристотель. Физика. VIII 8, 263 a, 26—29 // Соч. Т. 3. С. 252.
А если у нас имеются два континуума, смежных или последовательных, то точку, по которой проходит деление, приходится рассматривать как двойную:
Если же их сделать действительными, то [движение] не будет непрерывным, но будет останавливаться, что вполне очевидно произойдет с тем, кто считает половины; ведь ему тогда необходимо одну точку считать за две: одна будет концом одной половины, другая началом другой, если считать непрерывную [линию] не как одну, а как две половинные1.
Например, точка С, если она делит отрезок AB пополам, является одновременно концом отрезка АС и началом отрезка СВ.
Рассмотрим тогда настоящий континуум, такой, как время, который никогда не делится на мгновения реально, а только в возможности. В таком континууме настоящий момент, подобно точке на прямой, имеет двойную природу. Ведь он "представляет собой некий край прошедшего, за которым еще нет будущего, и, обратно, край будущего, за которым нет уже прошедшего"2. Если такой момент имеет двойную природу, он может, следовательно, разделиться на два момента: последний момент прошлого и первый момент будущего. Поскольку они составляют первый — крайнюю точку прошлого, а второй — крайнюю точку будущего, они должны рассматриваться как неделимые. Действительно, "предполагают, что речь идет о границах"3. Однако, если эти границы "не были бы без частей, они не составляли бы краев сами по себе, а их краем была бы одна из их частей"4.
1 Аристотель. Физика. VIII 8, 263 а 30—263 b 3 // Соч. Т. 3. С. 252.
2 Там же. VI 3, 233 b 35—234 а 2. С. 185.
3 Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 233 b 33 sq. P. 956, 16. 4Ibid. 16-17.
Если, таким образом, вообразить два отдельных момента, то, поскольку эти моменты неделимы, "они не могли бы следовать друг за другом, так как непрерывное не состоит из того, что лишено частей"5. Как мы уже видели, два неделимых не могут соприкасаться. "Если же они отделены друг от друга, между ними будет находиться время"6. Именно это время и называют настоящим моментом — он расположен между последним мгновением прошлого и первым мгновением будущего. Однако "если в промежутке находится время, то оно будет делимо"7. А "любое разделение во времени создает прошлое и будущее"8. Следовательно, часть настоящего момента (если мы подразумеваем под ним промежуточную длительность, какой бы скоротечной она ни была, между прошлым и будущим) "будет в прошедшем времени, а часть — в будущем"9. Однако такое разделение может проводиться до бесконечности, поскольку любое время бесконечно делимо.
Пусть P — последнее мгновение прошлого, F — первое мгновение будущего, а А — какое-либо разделение настоящего. Тогда AF является прошлым по отношению к F, но оно является будущим по отношению к РА, в то время как РА является будущим по отношению к P и прошлым по отношению к AF: таким образом, "в будущем будет некая часть прошедшего и в прошедшем—будущего"10. Необходимо отказаться от рассмотрения последнего мгновения прошлого и первого мгновения будущего как различных и предположить единственное и "одно и то же"" мгновение, "теперь", которое существует "в прошедшем и в будущем" '2 и принадлежит обоим временам "нераздельно"13.
5 Аристотель. Физика. VI 3, 234 а 6—7 // Соч. Т. 3. С. 185.
'Там же. 7—8.
7 Там же. 10.
'Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 234 a 16 sq. P. 959, 11.
9 Аристотель. Физика. VI 3, 234 a 16—17 // Соч. Т. 3. С. 185.
'"Тамже. 12—13.
" Там же.
12 Там же. 20.
"Там же. 4—5.
Таким образом, необходимо либо произвести разрыв континуума, дающий два отличных друг от друга континуума, причем конец одного отделен от начала другого, либо придерживаться реального континуума, в котором момент потенциального разделения будет единым и неделимым. Именно к этой последней возможности склоняется Зенон, когда делит движение стрелы на ряд последовательных неподвижных мгновений. В этом случае есть основание сказать, что "в "теперь" нет никакого движения"1. Если бы действительно там существовала возможность движения, то это движение могло быть более или менее быстрым; но это количественное различие не может быть выявлено в неделимом:
тояние покоя. Фактически же неделимое мгновение исключает более или менее быстрые движения и соответственно остановку движения.
Если этот вывод достаточен для опровержения софизма Зенона, он тем не менее недостаточен сам по себе, поскольку он представляет неделимое мгновение как принадлежащее одновременно двум противоположным рядам (до и после, прошлое и будущее, большое и маленькое и т. д.), что является противоречивым:
Пусть время будет АГВ, предмет — Δ; он в течение всего времени А светлый, а в течение В несветлый; следовательно, в [момент времени] Г он и светлый и несветлый. Ведь будет правильно сказать, что в любой части времени А он светлый, если все это время он был светлым; точно так же во время В он несветлый, а в Г относится и к тому и к другому"4.
Пусть N — мгновение, в котором, как утверждается, есть движение, и пусть AB — расстояние, пройденное самым быстрым движением в N. Тогда самое медленное движение за то же мгновение преодолеет расстояние меньшее, чем AB, допустим АС. Но поскольку наиболее медленное движение преодолевает АС за мгновение, то наиболее быстрое движение преодолеет эту длину АС меньше чем за мгновение; следовательно, мгновение будет делимым2.
Тот факт, что не может быть движения в неделимом мгновении, означает, что движение требует делимости времени, а не приводит к выводу, что движущееся тело неподвижно в этом мгновении. Если, в самом деле, мгновение по своей природе исключает возможность движения, то оно также исключает возможность состояния покоя:
Но [в "теперь"] нет и покоя; мы называли ведь покоящимся [предмет], способный к движению и не движущийся в то время, в том месте и таким образом, как ему присуще по природе; следовательно, раз в "теперь" ничто не может двигаться, то ясно, что не может и покоиться3.
Софизм Зенона состоит в утверждении, что в мгновении есть либо движение, либо сос-
1 Аристотель. Физика. VI 3, 234 а 24 // Соч. Т. 3. С. 186.
2 Simplicius. Commentaire ä la Physique d'Aristote. 234 a 24 sq. P. 961, 4—9.
3 Аристотель. Физика. VI 3, 234 a 32—34 // Соч. Т. 3. С. 186.
Таким образом, необходимо соотнести точку Г, которая разделяет континуум на предшествующие и последующие, лишь с одним из двух этих рядов, например последующим:
...Иначе выйдет, что, когда он [предмет Δ] возник, [в это же мгновение] его уже не будет... или же он должен быть одновременно светлым и несветлым и вообще существующим и несуществующим5.
Действительно, в момент Г предмет не может быть еще светлым и уже несветлым, то есть еще не быть чем-то, в то время как он им уже стал.
с) Граница и неограниченность
Таким образом, мы видим, насколько трудно интерпретировать сущность понятия границы внутри континуума. В самом деле, любая точка, взятая внутри континуума, делит этот континуум или производит в нем разрыв. Но если этот разрыв нереальный, такая точка сохраняет также непрерывность континуума в том смысле, что она принадлежит одновременно к обеим частям. Однако это, как мы только что убедились, является противоречивым, по-
4Там же. VIII 8, 263 b 15—19. С. 252. 5 Там же. 24—26. С. 253.
скольку приходится рассматривать границу одновременно как правое и левое, предшествующее и последующее, прошедшее и будущее, большое и малое и т. д. Если же мы хотим избежать противоречия, нужно отнести границу лишь к одной из двух частей. Но в этом случае невозможно разделить континуум одним разрывом, например время — одним мгновением так, чтобы после него не было ничего в будущем, а до него — не было ничего в прошлом. В самом деле, если мы возьмем F как первое мгновение будущего, оно должно быть отделено от P — последнего мгновения прошлого, так что между этими двумя временными точками оказывается бесконечное множество мгновений, также могущих означать разрыв между прошлым и будущим.
Поэтому неудивительно, что "никто не может привести какого-либо доказательства правильности принципа"1, в соответствии с которым некоторые современные математики определяют сущность континуума:
Если все точки прямой линии разбиваются на два класса таким образом, что каждая точка первого класса находится слева от любой точки второго класса, то существует точка, и притом единственная, которая отвечает за это деление всех точек на два класса, разделяя прямую линию на две части2.
Если точка P находится слева от всех точек, расположенных справа, и справа от всех точек, расположенных слева, это означает, что она находится одновременно и слева и справа. Такой вывод, являясь противоречивым, не может быть принят математиками, которые присоединяют точку P к тому или иному ряду точек. Но со времен Аристотеля было доказано, что разрыв между двумя рядами не может осуществляться одной точкой.
1 Dedekind J. W. R. Continuity et nombres irrationnels. 3. Continuite de la ligne droite.
2 Ibidem.
Если же предположить в континууме неделимое в качестве крайнего члена одной из его частей, другая часть будет содержать в себе отличный от него крайний член. Если, например, P является последним мгно- ι вением прошлого, оно будет отличаться от F — первого мгновения будущего. Таково основание так называемых доказательств тезиса, гласящего, что мир имеет начало и конец во времени. Доказательство основывается на том, что в настоящее мгновение "прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире"3, иными словами, прошлое представляется как завершенная "вечность"4. "Доказательства... сводятся лишь" к тому, что "данный момент времени означает не что иное, как некую определенную границу во времени"5, поскольку в это мгновение прошедшее время заканчивается. Однако то, что существует определенная во времени граница, — это как раз "именно то, что должно было быть доказано"6. Есть, правда, видимость доказательства, заключающаяся в том, "что допущенная граница времени есть некоторое "теперь" как конец протекшего до этого времени, а та граница, наличие которой требуется доказать, есть "теперь" как начало некоторого будущего. Но эта разница несущественна"7. В самом деле, если настоящее мгновение рассматривать как то, чем оно действительно является, то есть не как точку, где время завершается, а как точку, где оно продолжается, то прошлое в этом случае не представлялось бы как совокупность, завершенная в данное мгновение, и, следовательно, "рассуждение доказательства отпало бы"8.
Таким образом, антиномия пространства и времени проясняется, исходя из противоречивой природы границы внутри континуума. Если С — это конец АС, рассматриваемый как разрыв, то необходим другой крайний член, отличный от С, для начала
3 Кант И. Критика чистого разума. Кн. 2. Отд. 2. Гл. 2. Первое противоречие трансцендентальных идей // Соч. Т. 3. С. 404.
4 Там же.
'Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Кн. 1. Разд. 2. Гл. 2. Кантовская антиномия... Т. 1. С. 314. 'Там же.
7 Там же.
8 Там же. С. 315.
другого континуума. Однако если сохраняется непрерывность, то С будет одновременно окончанием одной части и началом другой и. таким образом, любая граница будет содержать свое собственное снятие. В этом смысле любой континуум (пространство, время, движение) бесконечен в том двойном смысле, что невозможно положить предел его разделению или определить границы его распространения:
Каковы бы ни были движение, число, пространство, время, всегда есть большее и меньшее...1
Такое определение бесконечности отличается от обычно приводимого, согласно которому бесконечность — это такая величина, больше которой или меньше которой быть не может. Это второе определение выглядит как соответствующее сущности бесконечно малой в том виде, как она используется в исчислении бесконечно малых, поскольку бесконечно малая находится у такого предела исчезновения, за которым уже ничего нет. Тем не менее бесконечно малая, используемая при исчислении бесконечно малых, еще не перешла предел, за которым уже ничего не существует. И она все еще является какой-то величиной. Но поскольку уже не может быть найдено меньшей величины, бесконечно малая уже не является определенной величиной: действительно, всегда можно найти величину меньшую, чем любая данная величина. Поэтому бесконечно малая и должна определяться как наименьшая возможная величина: она есть именно такая величина, меньшая, чем любая данная величина, то есть остающаяся всегда возможной за пределами этой величины. Таким образом, нельзя подразумевать под бесконечно малой наименьшую, реально данную величину, какой была бы, например, неделимая, то есть реальный предел деления. В действительности нет реального предела делению, так что наименьшая величина никогда не реальна, но лишь возможна.
Очевидно, что тот же анализ подходит и для бесконечно большой величины. Если она является таким количеством, больше
'Паскаль Б. О геометрическом уме и об искусстве убеждать // Стрельцова Г. Я. Паскаль и европейская культура. С. 442.
которого не может быть найдено, она, следовательно, уже не является определенным количеством, поскольку, какое бы определенное количество мы ни брали, всегда можно найти еще большее количество. Поэтому "невозможна никакая бесконечная данная величина"2. Таким образом, проясняется парадокс теории множеств о бесконечных множествах. Поскольку бесконечность неисчислима, то можно, если угодно, сказать, что бесконечное множество равно подмножеству, образованному частью его составляющих, например, что бесконечное множество целых чисел равно бесконечному множеству четных чисел. Однако, поскольку речь не идет об определенных количествах, равенство также не имеет количественно определенного значения. Так что и равенство бесконечного множества целых чисел и бесконечного множества четных чисел не может означать, что целое равно части, поскольку бесконечное множество чисел не может образовать целое. Ведь целое
— "это то, у которого ничто не отсутствует"3, а множество чисел является бесконечным, поскольку всегда найдется число большее, чем любое данное число:
Выходит, что бесконечное противоположно тому, что [о нем обычно] говорят: не то, вне чего ничего нет, а то, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконечное... Итак, бесконечное есть там, где, беря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним4.
Бесконечность пространства, времени, движения и вообще количества является, таким образом, не завершенной совокупностью, но всего лишь той величиной большей любого определенного количества, которая всегда остается возможной за пределами любой данной величины.
Пространство и время не образуют бесконечностей, данных в реальности. А не образовывать реальную бесконечность
— это определение конечного. Такое определение конечного не исключает беско-
2 Кант И. Критика чистого разума. Кн. 2. Отд. 2. Гл. 2. Первое противоречие трансцендентальных идей // Соч. Т. 3. С. 408.
'Аристотель. Физика. III 6, 207 а 8—9 // Соч. Т. 3. С. 119.
4 Там же. 206 b 33—207 а 2; 207 а 7—8.