Математика. Теоретическое обобщение оснований и системы математического знания Евклидом и философия

Евклид (к. 4 века до н.э. – перв. пол. 3 века до н. э.). Евклид – выдающийся математик, о жизни которого мало что известно; неизвестны даже ни точные даты его рождения и смерти, ни название города, в котором он родился, ни имена его родителей. Название его главного труда – «Элементы» (Stocheja), часто переводят – «Начала».

Лишь кое-что об обстоятельствах его жизни можно узнать из комментариев Прокла к первой книге «Элементов». Прокл сообщает, что расцвет деятель­ности Евклида приходится на время царствования Птоле­мея I и что Архимед упоминает его имя в первой своей книге. Затем Прокл пересказывает известный анекдот о том, что будто бы Птолемей спросил Евклида: «Нет ли в геометрии более краткого пути, чем [тот, который из­ложен] в „Элементах"?» Евклид же ответил, что «в геометрии не существует царской дороги». Еще сообщается, что Евклид был моложе учеников Платона, но старше Архимеда. Прокл сообщает также, что Евклид был платоником и хорошо знал фило­софию Платона и что именно поэтому он закончил свои «Элементы» изложением свойств так называемых «плато­новских тел» (т. е. пяти правильных многогранников). На этом основании можно предположить, что Евклид учился в Афинах в школе академиков. По приглашению Птолемея I Евклид в 310 году до н.э. стал сотрудником александрийского Мусейона. Там он проработал более 30 лет, можно думать, – до конца жизни или почти до конца жизни. «Элементы» создавались и в качестве лекций для учеников. Предполагают, что у него учился, в частности, Конон из Самоса, астроном и математик середины третьего века до н.э., с которым сотрудничал и был в дружбе Архимед, когда он тоже проживал в Александрии и работал в Мусейоне.

Евклид обобщает и развивает в своём труде «Элементы» («Начала») три раздела математики: геометрию, геометрическую алгебру и арифметику. Его труд состоит из 13 книг.

Первые четыре книги «Элементов» посвящены планиметрии – геоме­трии на плоскости и в них излагается тот же материал, который, как полагают, по большей части уже имелся в труде Гиппократа Хиосского, математика-пифагорейца к. VI – V вв. до н.э. Но Евклид не просто повторял Гиппократа, а дополнял и развивал то, что было известно во времена этого его предшественника.

Новизной особенно отличается первая книга с ее определениями (гипотезами), постулатами (требованиями) и аксиомами в начале – исходными положениями геометрии, которые сами не доказываются, но из которых потом выводятся все остальные положения – теоремы – геометрии. Приведем главнейшие опреде­ления (гипотезы) из начала первой книги:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Концы же линии – точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же поверхности – линии.

Приведем и аксиомы из начала первой книги:

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляют равные, то и целые бу­дут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые
будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

Определения и аксиомы ничего не говорят о существовании определяемого ими объекта. Отличие опре­делений от аксиом состоит в том, что определения имеют более специальный характер, ими фиксируются именно геометри­ческие объекты, аксиомы же могут иметь значение и для геометрии, и для арифме­тики, т. е. носят более общий характер.

Дадим теперь список некоторых постулатов (требований) оттуда же:

1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки
провести прямую.

2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по
прямой.

3. И из всякого центра всяким расстоянием описать
круг.

4. И что все прямые углы равны.

5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с той стороны, с которой углы меньше двух прямых.

Постулаты являются положениями, в которых ставятся требования что-либо отыскать, либо построить. В этой связи Прокл в комментариях к «Элементам» отмечал, что цитированные положения в пунктах 4 и 5 не являются постулатами, а представляют собой аксиомы.

Постулат 5, а на самом деле аксиома, – одна из знаменитых евклидовских аксиом. Более привычна для нас следующая ее формулировка: «Через данную точку можно провести лишь одну прямую линию, параллельную данной прямой». В истории математики не раз предпринимались попытки доказать эту аксиому. Карл Гаусс в 1816 г. предположил, что её можно заменить другой аксиомой. Это сделал Н.И. Лобачевский (1792 – 1856) Однако открытие Лобачевского, ставившее под вопрос евклидовско-ньютоновское понимание пространства, не сразу получило признание. Оно было признано окончательно после того, как Бернхард Риман (1826 – 1866) своей теорией многооб­разий (1854) доказал возможность существования многих неевклидовых геометрий. Сам Б. Риман заменил аксиому Евклида на аксиому об отсутствии параллельных линий вообще, из чего вытекало, что сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых углов. Позже Феликс Клейн (1849 – 1925) показал, как соотносятся между собой неевклидовы геометрии и геометрия Евклида. Геометрия Евклида справедлива для поверхностей с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского – для поверхностей с положительной кривизной, а Римана – с отрицательной.

Если постулаты или требования есть задание на нахождение практического способа решения задачи, и не обязательно одного способа, то теорема – это теоретическое решение задачи по нахождению и обоснованию того, что определенное свойство принадлежит определенному объекту необходимым образом, т.е. теорема требует доказательства. Теоремы первой книги «Элементов» устанавливают свой­ства треугольников, параллелограммов, трапеций. В конце первой книги излагается теорема Пифагора.

Во второй книге раскрываются основы геометрической алгебры. Так, произведение двух величин истолковывается здесь как площадь прямоугольника, построенного на двух отрезках.

Третья книга посвящена свойствам круга, каса­тельных и хорд.

В четвертой книге рассматриваются и строятся правиль­ные многоугольники с числом сторон 3, 4, 5, 10, 15.

Пятая и шестая книги посвящены теории пропорций, причем как соизмеримых (рациональных), так и несоизмеримых (иррациональных) величин и применению этой теории к решению алгебраических задач. Здесь Евклид опирается на вклад Евдокса в данный раздел математики. Евдокс, как мы помним, – математик и астроном из круга Платона, как и упоминаемые ниже математики Архит и Теэтет..

Седьмая, восьмая и девятая книги посвящены ариф­метике как теории целых и рациональных чисел, разра­батывавшейся еще пифагорейцами V в. до н.э. Но, кроме того, в этих книгах Евклид использует также не дошед­шие до нас сочинения Архита. Здесь Евклид доказывает, в частности, теорему о том, что существует бесконечное множество простых чисел.

В десятой книге подытоживается исследование Теэтетом квадратичных иррациональностей

В одиннадцатой книге излагаются основы стерео­метрии.

В двенадцатой книге излагается метод исчерпывания Евдокса, с помощью которого доказываются теоремы о площади круга и объеме шара, а также выводятся соотношения объемов пирамид и конусов с объемами призм и цилиндров.

Основные результаты тринадцатой книги, посвящен­ной пяти правильным многогранникам, принадлежат Теэтету.

В состав «Элементов» позже кто-то включил еще четырнад­цатую и пятнадцатую книги, принадлежавшие не Евклиду, а другим, позже жившим авторам.

Как очевидно даже из этого краткого изложения содержания «Элементов» Евклида, его математическая теория своими предпосылками и рядом идей и аспектов содержания обязана в первую очередь платоновско-пифагорейской математической традиции. И нетрудно догадаться, что импульсы для евклидовских теоретических обобщений и создания им математической теории исходили соответственно, прежде всего, от философского учения Платона и его школы. Действительно, существо математического теоретизирования состоит в доказательствах теорем с помощью особого метода, а именно – с помощью гипотетико-дедуктивного метода. Творческие импульсы для развития такого рода теоретизирования и опыт подобного теоретизирования содержались в философии Платона и его школы, включающей в себя пифагорейскую компоненту, а также, конечно, в аристотелевской логике, являющейся по преимуществу хорошо разработанной методологией дедуктивных выводов. Из данных источников эти творческие импульсы и опыт и были восприняты Евклидом.

Математическое доказа­тельство в «Элементах» Евклида является способом представления того или иного положения как с очевидностью истинного. При этом Евклид вполне намеренно избегает удостоверения в очевидной истинности путем наг­лядной демонстрации каких-либо чувственно воспринимаемых фигур, что было обычным приёмом у более ранних математиков. Евклид вместо наглядной демонстрации стремится пользоваться для удостоверения истинности математического положения исключительно демонстрацией прозрачно ясного хода мысли от интуитивно очевидных определений-гипотез и аксиом к теоремам. Но, как показал Платон, в этом математика родственна философии. И Платон, как мы помним, требовал от математиков чисто мысленных обоснований свойств математических объектов, упрекая тех математиков, которые апеллировали к чувственным предметам, в том, что они действуют чуждым математике образом. Техника такого чисто мысленного обоснования определенных положений есть платоновская диалектика выведения видовых понятий из понятий родовых, развитая Аристотелем в его дедуктивной логике.

Однако Евклид именно творчески воспринимает импульсы, идущие от философии Платона и его школы. Платон, как мы помним, выводил специфику математики из онтологически толкуемой им природы числа как высшей сущности (или как одного из родов высших сущностей – идей). А из этого вытекает и определённое понимание специфики математических доказательств. По Платону, математическое доказательство потому должно быть чисто мысленным, что исключительно идеально число. Отсюда выстраиваемая им иерархия дисциплин: высший уровень – арифметика как теория числа как такового, затем – геометрия как число, трансформированное в пространственные фигуры, а потому уже с некоторой примесью материи, а в самом низу – астрономия, которая отображает и идеальные числовые структуры, и материальные структуры телесного космоса в их связи. Чистое математическое мышление, математическое доказательство только в той степени правомерно соединять с обращением к эмпирически наглядным подтверждениям, в какой число, так сказать, «погрузилось» в материю. Но само по себе математическое доказательство всё равно должно оставаться чистым мышлением. Евклид всё-таки иначе понимает природу математики и, соответственно, специфику математического доказательства. Из комментариев Прокла к первой книге «Элементов» известно, что между академиком Спевсиппом и математиком Менехмом, позицию которого разделял Евклид, состоялся спор, подобный тому, который в своё время состоялся между Платоном, с одной стороны, и математиками Архитом и Евдоксом – с другой. Это был спор о том, необходимо ли специальное доказательство существования математических объектов. Спевсипп, как и ранее Платон, доказывал, что математические объекты существуют как идеальные сущности и в качестве таковых являются предметами чистой мысли, не требующими специальных доказательств своего существования для того, чтобы судить об их свойствах. Математики, в их числе – и Евклид, напротив, полагали, что такое специальное доказательство необходимо, а в геометрии оно заключается в требовании специального геометрического построения, предполагающего и наглядность: прежде, чем окажется возможным доказательство их свойств, должно быть доказано, что они существуют, поскольку их можно построить. От того, что при построении геометрических фигур они приобретают наглядность, нисколько не терпит ущерба собственно математический статус этих объектов. Постулаты в системе теоретического обоснования Евклидом математического знания и являются как раз требованиями доказательства существования математических объектов. Трудно утверждать из-за состояния источников по поводу взглядов Архита и Евдокса с какой-либо определенностью то, что можно в связи с упомянутой дискуссией достаточно определенно утверждать, по крайней мере, по поводу взглядов Евклида. А именно то, что в данной дискуссии проявилось иное, чем у Платона и философов его школы, понимание Евклидом онтологического статуса и специфики математического теоретизирования и доказательства. Это иное понимание объясняется тем, что хотя Евклид и платоник, но, прежде всего, он специалист-математик. Он понимает математические объекты не как отдельные от мира вещей идеальные сущности, а как количественные свойства самих вещей, которые можно отвлечь от вещей только мысленно и только этим-то и определяется необходимость чисто мыслительной формы математического теоретизирования и доказательства. Всё это похоже на, как мы должны помнить, аристотелевское понимание статуса математических объектов и особенностей математического теоретизирования, которое Аристотель выдвинул в качестве альтернативы платоновской трактовке математических объектов. Но Аристотель не вполне отказался от платоновского типа онтологизации математических объектов, ибо у него, как и у Платона, число представляется самой высокой математической сущностью, сущностью, составляющей не свойства вещей, а сущность, относящуюся к метафизической реальности. Вследствие чего он и сохранял платоновскую иерархию арифметики, геометрии и астрономии. И вследствие чего он и считал математику, несовместимой с физикой: математика, де, метафизическая дисциплина, имеющая дело с идеальными сущностями, обладающими неподвижным бытием, а физика изучает тела и их движения. Евклид же вовсе не предполагает, что математические дисциплины находятся в отношениях иерархии, арифметика и геометрия у него вполне равноправны. Числа у него лишены всякого метафизического ореола, который придаётся им Платоном и его философской школой, а также Аристотелем. Тем более лишены числа у Евклида какого-либо пифагорейского мистического ореола. Не отделяет он и целые числа от иррациональных, в отличие от Платона, помещающего первые в высшей занебесной реальности, а вторые спускающего в поднебесный мир вещей и телесного космоса, в котором телесность будто бы искажает цельную природу числа. Евклид ставит целые и иррациональные числа в один ряд, благодаря чему и оказывается способным – вслед за Евдоксом – конструктивно решить проблему несоизмермости и иррациональности в знаменитом четвертом определении V книги «Элементов»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга».

Нужно сказать еще, что, по Евклиду, математика вовсе не несовместима, вопреки Аристотелю, с физикой, а как раз, напротив, – полностью совместима. Пространство объектов математики, предполагаемое Евклидом это не метафизическое, а именно физическое пространство. Причем, если нельзя сказать, что его физика не аристотелевская (в целом аристотелевской физика оставалась почти до Нового времени), то можно утверждать, что его математика предполагает не аристотелевское пространство как пространство сплошной совокупности материальных мест, а пустое пространство – безграничное, изотропное, трехмерное, т.е. пространство, в котором вещи можно фиксировать и исчислять посредством его математики. То, что Евклидом предполагается пустое и безграничное пространство очень хорошо видно, например, из первого, второго и третьего постулатов первой книги «Элементов»: из требований провести прямую через всякие две точки, непрерывно продолжать ограниченную прямую по прямой и из всякого центра всяким расстоянием описать круг. В плане предполагания пустого пространства Евклид следует представлениям, характерным, как мы отмечали, в эту эпоху для большинства философских школ, даже для аристотеликов-перипатетиков. И это, как мы тоже отмечали, представление о пространстве, перспективное в смысле возможностей развития преднауки по направлению к науке Нового времени с её ньютоновским математически-физическим пространством как пустым вместилищем вещей и событий. Этот будущий образ пространства, действительно, как теперь видим, является евклидовско-ньютоновским образом.

В заключение следует отметить, что, по Евклиду, математика не просто совместима с физикой, но даже необходима физике. Дело в том, что сам Евклид занимался также и физическими проблемами – проблемами оптики, и известно, что он полагал необходимым исследовать эти проблемы с помощью математики. Можно думать, что Евклид был близок к пониманию математики как инструмента физики, а, значит, в частности, – и как инструмента астрономии.