Предмет и отличительные особенности математики

Математика это особая наука, ее трудно отнести к одному из традиционно различаемых направлений в познании — к наукам естественным, гуманитарным или техническим. По словам В.А. Мейдера, ее можно отнести ко всем этим направлениям, ибо со всеми науками она находится в диалектическом единстве[1].

Философия математики является восхитительной ветвью философии. Согласно Б. Расселу, «проблема, которую Кант положил в основу своей философии, а именно, "Как возможна чистая математика?", интересна и трудна, и любая философия, если она не полностью скептическая, должна найти какое-то ее решение»[2].

В мировоззрении математика играет весьма существенную роль. Она формирует духовную культуру человека, взаимодействуя с философией, поэзией, музыкой, скульптурой. В ее огромном саду «каждый найдет букет себе по вкусу» (Д. Гильберт), ибо в самой математике эти элементы культуры непосредственно содержаться и тем самым стимулируют интерес ученых.

В системе культуры математика занимает важное и почетное место. Ее значимость в развитии наук и техники постоянно возрастает. Это обусловлено тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и усвоение, а во-вторых, развитие многих наук предполагает широкое использование аппарата и методов математики. Математизация той или иной науки, начиная со времен Пифагора, есть объективная закономерность ее развития. Да и сам термин «математика» восходит к греческому (матэма), что означает «познание, знание путем рассуждения, наука»[3].

Пифагорейцы называли свои исследования «математа» и делили их на четыре части («квадривиум»): арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Древнегреческие философы считали, что в основаниях Вселенной и в самой деятельности человека лежат математические отношения. Не случайно Платон в «Государстве» писал, что правители, воины (стражи), философы, ремесленники, купцы и торговцы должны изучать квадривиум для усвоения «войскового строя», «для постижения сущности», для понимания законов Вселенной и «стройных созвучий». Знание геометрии, пояснял он, необходимо «при устройстве лагерей, при стягивании и развертывании войск», а также в разных других «военных построениях как во время сражения, так и в походах...».

Математика один из самых мощных и универсальных методов познания. Думается, что одно из самых точных высказываний, определяющих ее место в системе наук, принадлежит датскому физику Н. Бору (1885—1962): «Математика — это больше, чем наука, это — язык». В отличие от языка других наук над языком математики усилиями многих поколений ученых воздвигнуто достаточно стройное здание дедуктивных построений. Поэтому высказывание Бора можно дополнить: «Математика — это больше, чем язык, это язык с воздвигнутым над ним зданием дедуктивных построений».

Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается качественно-количественная определенность сторон реального мира, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. С созданием «машинной математики» объектом изучения науки стала общая теория языков, теория исчисления предметов произвольной природы.

Сущность математического мышления во многом определяется символизацией и действиями над символами по строгим правилам логики. Современная математика обладает довольно богатым символическим языком, представляющим собой своеобразную «стенографию абстрактной мысли» (Луи де Бройль). Зачатки этого языка можно связать с вавилонскими клинописными числами, с исследованиями древнегреческих ученых — Героном (ок. I в.) и К. Птолемеем (ок. 90 — ок. 160), в творчестве которых наметился поворот к вычислительной математике, расширению понятия числа, к отказу от геометрической алгебры. С особой силой эта тенденция проявилась у Диофанта Александрийского (ок. III в.), которого по праву считают основоположником буквенной алгебры. Свое введение к «Арифметике» он начинает с описания символики: задает символы для неизвестного и первых шести его степеней как положительных, так и отрицательных, а также знаки действия.

Таким образом, изменение характера математического творчества явилось одной из причин возникновения, развития и совершенствования символического (знакового) языка науки[4]. Со времен Диофанта он позволял компактно представить информацию о свойствах материальных и идеальных объектов, выразить соотношения между ними. Знаки взяли на себя важнейшие функции человеческого интеллекта — запоминание, вычисление, рассуждение. И если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный ее язык — это язык алгоритмов и программ. Он становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы.

По отношению к другим наукам язык математики, по мнению В.И. Мейдера, позволяет осуществить описание и систематизацию их эмпирических и теоретических данных, сформулировать и в знаковой форме выразить внутринаучные законы, построить математическую модель класса задач, осуществить ее (модели) решение, исследовать и сверить (по возможности) это решение с натурным экспериментом и т. п[5].

Вместе с тем очень важно иметь в виду, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он, во-первых, является вторичным по отношению к тем природным системам и процессам, качественно-количественные характеристики которых отражаются этим языком; во-вторых, математический язык не порывает связей с многообразным «живым» (естественным) языком, выступающим исторически первым средством выражения и хранения знаний человека о мире; в-третьих, во всякой научной области, подвергающейся математизации, человек имеет дело с «двуязычностью» — естественным языком и математическим (искусственным). И если математический язык удовлетворяет требованиям однозначности, точности и строгости, то язык естественный «реалистичен». Он вселяет в человека уверенность о том, что действительно постигается объективная реальность. В силу этого математик стремится синтезировать достоинства того и другого языка.

Начиная с Г.Галилея (1564—1642), провозгласившего, что грандиозная книга природы написана на математическом языке, а знание ее (природы) есть математические формулы, и до наших дней этот язык остается одним из важнейших средств построения естественных и технических наук. Математика выступает одним из эвристических источников представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории.

Периоды развития математики

Первый период (период зарождения математики), истоки которого теряются в глубине веков, продолжался до VI—V вв. до н.э. В то время проходил процесс накопления человеком математического знания, создавались приемы счета, устная и письменная нумерация, системы счисления. Так как такая «рецептурная» арифметика и геометрия необходимы были для простейшего счета хозяйственных предметов и измерения земельных площадей, то говорить о математике как науке в тот период нет достаточных оснований.

Во второй период (период элементарной математики), длившийся с VI—V вв. до н. э. по XVI в. включительно, осуществлялась систематизация накопленных математических знаний и разработка методов доказательства. Представители греческой математической культуры (Фалес, Пифагор, Платон, Аристотель и др.) характеризовались более рациональным складом мышления по сравнению с их предшественниками из стран Древнего Востока. В творчестве Евклида (III в. до н. э.) эта особенность еще более усиливается. Его система, изложенная в «Началах», была исторически первой математической (точнее, геометрической) системой, определившей создание соответствующего стиля мышления. Она знаменовала собой первую интенсивную революцию в математике, качественную перестройку и упорядочение накопленного математического знания.

Логические средства, которые применил Евклид, — это формальная логика Аристотеля. Его образец мышления, построенный по схеме «определения — аксиомы — теоремы», получил отражение в творчестве многих поколений ученых, но прежде всего в исследованиях Архимеда, Аполлония, Менелая, Птолемея, Диофанта.

Во второй период развития математики формируются тригонометрия и алгебра, расширяется понятие числа, устанавливаются связи между арифметикой и геометрией. Математика выделяется в самостоятельную науку, предметом которой являются операции с постоянными величинами (числами, геометрическими фигурами). Правда, здесь следует помнить, что уже в греческой математике имелись примеры изучения связей между переменными величинами (зависимость площади круга от его радиуса, синус угла, применение в неявном виде понятия предела при определении длины окружности и т. п.).

Идея движения, вошедшая в математику, позволила следующим образом определить ее предмет в третьем периоде: математика есть наука об изменениях величин и геометрических преобразованиях.

К концу третьего периода (середина XIX в.) достаточно богатыми были алгебраические теории (возникает алгебра логики, линейная алгебра, топологическая алгебра, дифференциальная алгебра и т. п.), теория чисел, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, теория функций действительного переменного и др. В изменении стиля математического мышления было «повинно» определенное противопоставление «чистой» (теоретической) и «прикладной» математики. Формулы и математические преобразования (выкладки) часто уступали место непосредственному рассуждению. Нарождалась так называемая «математика понятий», и французский математик Э. Галуа (1811—1832) явился одним из первых и наиболее блестящих ее представителей, с именем которого связаны исследования о разрешимости уравнений произвольной степени. Рассматривая уравнение, которое необходимо было решить, он связывал с ним некоторую группу операций и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Так как различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

В этот период формируется и современное представление о математической строгости, а на мировой арене появляются русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821— 1894), Я.М. Ляпунов (1911-1973), А.А. Марков (1903-1979) и др.

Таким образом, с середины XIX в. можно говорить о четвертом периоде развития математики — периоде современной математики. Он характеризуется созданием новых областей и теорий математики: неевклидовой геометрии, топологии; теории групп, векторного и тензорного исчислений, функционального анализа, теории множеств.

Характерные черты современной математики:

♦ восхождение ко все более высоким степеням абстракции и идеализации;

♦ доминирующий структурный подход к пониманию предмета математики, аксиоматическое построение теорий, усиление геометрических методов исследования;

♦ интенсивный процесс расширения предмета исследования в науке;

♦ глубокая диалектическая связь между фундаментальными разделами и теориями математики;

♦ возникновение новых средств вычислений, методов исследования и доказательства;

♦ развитие знаковой символики и средств оперирования специальными математическими знаками;

♦ компьютеризация математики, то есть процессы, происходящие в науке под воздействием внедрения и использования ЭВМ;

♦ изучение математических объектов вместе с отображениями этих объектов друг в друге;

♦ исследование математических систем путем выявления в них различного рода математических структур;

♦ высокая эффективность (почти универсальность) применения аппарата и методов математики в естественных, технических и гуманитарных науках.

X. Патнэм в работе «Разум, истина и история» дает краткий перечень традиционных и современных взглядов в философии математики:

Логицизм - математика есть логика в чужом одеянии;

логический позитивизм -математические истины суть истины благодаря правилам языка;

формализм - теория множеств и неконструктивная математика суть просто «идеальное» — и само по себе не несущее смысла—расширение «реальной» — конечной и комбинаторной — математики;

платонизм - согласно Геделю, реально существуют математические объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он приобретает все лучшую интуицию относительно поведения таких объектов;

холизм - В. Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки, и необходимость квантификации над математическими объектами в случае достаточно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетельство в пользу «постулирования множеств с той же степенью обоснования, какую мы имеем при всяком онтологическом постулировании»; множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе научного исследования;

квазиэмпирический реализм - идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике;

модализм - мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур;

интуиционизм - принятие математических утверждений как значимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относительно истин, например бивалентности.

Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и продолжать исследования, которые представляют собой определенную смесь последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в некотором смысле (в другой классификации) являются самостоятельными. Так, Дж. Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще тремя направлениями, полагая при этом, что в целом этот список покрывает все направления в философии математики:

номинализм - программа X. Филда;

структурализм - программа С. Шапиро и М. Резника;

натурализм - программа П. Мэдди.

Само многообразие направлений не должно вызывать удивления, поскольку это довольно распространенное явление в современной аналитической философии.