Глава 6. философия познания 2 страница
Под индукцией понимают умозаключение от частного к общему, когда на основе знания о части предметов делается вывод о свойствах всего класса в целом. При этом можно выделить такие виды индукции: полная индукция, когда делается вывод о свойствах данного объекта на основе перебора всех объектов данного класса. Это совершенно достоверное знание. Всякая наука стремится к его получению и использует в роли доказательства достоверности её выводов, их неопровержимости; неполная индукция, когда общий вывод делается из посылок, не охватывающих всех объектов или аспектов данного класса. В ней присутствует, таким образом, момент гипотезы. Её доказательность слабее предыдущей, ибо нет правил без исключения.
Исторически первой была так называемая перечислительная (или популярная) индукция. Она используется, когда на опыте замечена какая-нибудь регулярность, повторяемость, о чём и формулируют суждение. Если не будет опровергающих примеров, то тогда делается общий вывод в форме умозаключения. Такую индукцию относят к полной. Полную индукцию иначе называют еще научной, так как она даёт не только формальный результат, но и доказательство неслучайности найденной регулярности. Такая индукция позволяет «уловить» и причинно-следственные связи. Пример полной индукции: последовательно проверенные металлы, один, другой, третий и т. д., обладают электропроводностью, из чего следует вывод, что все металлы электропроводны и т. д. Пример неполной индукции: последовательно взятые, каждое четное число делится на два, и хотя их всех бесконечно большое множество, мы все же делаем вывод о кратности всех четных чисел двум, и т. п.
Дедуктивным называется умозаключение, в котором вывод о свойствах объекта и о нём самом делается на основании знания общих свойств и характеристик всего множества. Роль дедукции в современном научном познании и знании резко возросла. Это связано с тем, что современная наука и инженерная практика сталкиваются с объектами, недоступными обычному чувственному восприятию (микромир, Вселенная, прошлое человечества, его будущее, очень сложные системы разного рода и др.), поэтому всё чаще приходится обращаться к мыслям, нежели к наблюдениям и экспериментам. Особое значение дедукция имеет для формализации и аксиоматизации знания, построения гипотез в математике, теоретической физике, теории управления и принятия решений, экономике, информатике, экологии и др. Классическая математика – типично дедуктивная наука. Дедукция отличается от других методов тем, что при истинности исходного знания она даёт истинное же выводное знание. Однако нельзя и переоценивать силу дедукции. Прежде чем её применять, надо получить истинное исходное знание, общие посылки, а поэтому особое значение остается за методами получения такого знания, о которых говорилось выше.
Идеализация. Для целей научного познания, конструирования, проектирования и преобразования широко используются так называемые «идеальные объекты». Они не существуют в действительности, принципиально не реализуются на практике, но без них невозможны теоретическое знание и его приложения. К их числу относятся точка, линия, число, абсолютно твердое тело, точечный электрический заряд, заряд вообще, идеальный газ, абсолютно черное тело и многие другие. Науку без них нельзя представить. Мысленное конструирование таких объектов называется идеализацией.
Чтобы идеализация протекала успешно, необходима абстрагирующая деятельность субъекта, а также другие мыслительные операции: индукция, синтез и др. При этом мы ставим себе следующие задачи: мысленно лишаем реальные объекты некоторых свойств; наделяем мысленно эти объекты определенными нереальными предельными свойствами; именуем полученный объект. Чтобы выполнить эти задачи, прибегают к многоступенчатому абстрагированию. Например, отвлекаясь от толщины реального предмета, получают плоскость; лишая плоскость одного измерения, получают линию; лишая линию единственного её измерения, получают точку, и т.п. А как перейти к предельному свойству? Расположим, к примеру, известные нам тела в ряд в соответствии с увеличением их твердости. Тогда, в пределе, мы получим абсолютно твёрдое тело. Примеры легко можно продолжить. Такой идеальный объект, как несжимаемость, сконструирован теоретически, когда свойство сжимаемости принимается равным нулю. Абсолютно черное тело мы получим, если припишем ему полное поглощение поступающей энергии.
Заметим, что абстрагирование от любого из свойств есть обязательно приписывание ему противоположного свойства, причем прежнее отбрасывается, иначе мы не получим идеального объекта.
Аналогия. Это один из методов познания, когда из сходства некоторых признаков, аспектов у двух или более объектов делают вывод о сходстве других признаков и свойств этих объектов.
Построим аналогию. Известно, что Солнце – рядовая звезда нашей Галактики, в которой порядка 100 млрд таких звезд. У этих светил много общего: огромные массы, высокая температура, определённая светимость, спектр излучения и т. д. У них есть спутники – планеты. По аналогии с нашей солнечной системой ученые делают вывод, что кроме нашей, в Галактике есть еще обитаемые миры, что мы не одиноки во Вселенной. Аналогия не даёт абсолютной достоверности для вывода: в ней всегда есть элемент догадки, предположения, и только опыт и практика могут вынести окончательный приговор той или иной аналогии.
Формализация. Сам этот термин неоднозначен и применяется в разных значениях. Первое – как метод решения специальных проблем в математике и логике. Например, доказательство непротиворечивости математических теорий, независимости аксиом и др. Вопросы такого рода решаются путем использования специальной символики, что позволяет оперировать не с утверждениями теории в их содержательном виде, а с набором символов, формул разного рода. Второе – в широком смысле – под формализацией понимается метод изучения разнообразных проблем путем отображения их содержания, структуры, отношений и функций при помощи различных искусственных языков: математики, формальной логики и других наук.
В чем состоит роль формализации в науке? Прежде всего формализация обеспечивает полноту обозрения определенных проблем, обобщенность подхода к ним. Далее благодаря символике, с чем формализация неизбежно связана, исключаются многозначность (полисемия) и размытость терминов обычного языка. В результате чего рассуждения становятся чёткими и строгими, а выводы доказательными. И, наконец, формализация обеспечивает упрощение изучаемых объектов, заменяет их исследование изучением моделей: возникает как бы моделирование на основе символики и формализмов. Это помогает успешнее решать различные познавательные, проектировочные, конструкторские и другие задачи. Из сказанного видно, что формализация связана с моделированием, она связана также с абстрагированием, идеализацией и другими методами.
Моделирование. Моделирование как мощный и эффективный метод применяется эмпирически в виде макетов и на теоретическом уровне в виде знаковых построений. Различают аналоговое моделирование, когда оригинал и модель описываются одинаковыми математическими уравнениями, формулами, схемами и т. п. Сложнее – знаковое моделирование. Здесь в роли моделей – заместителей реальных объектов – служат числа, схемы, символы и др. Собственно, и технический проект в значительной своей части выражается именно таким способом. Но этот вид моделирования получает дальнейшее своё развитие благодаря математике и логике в виде логико-математического моделирования. Здесь операции, действия с вещами, процессами, явлениями, свойствами и отношениями заменены знаковыми конструкциями, структурой их отношений, выражением на этой основе динамики объектов и их функций.
Ещё одним шагом вперед стало развитие модельного представления информации на компьютерах: компьютерное моделирование. Построенные при этом модели опираются на дискретное представление информации об объектах. Открывается возможность моделировать в режиме реального времени, строить виртуальную реальность.
Аксиоматический метод. Это – метод организации наличного знания в дедуктивную систему. Он широко применяется в математике и математизированных дисциплинах. При использовании этого метода ряд простых идей, ранее доказанных или очевидных, вводится в основы теории в виде исходных положений. В математике их называют аксиомами, в теоретической физике и химии – «началами» или принципами. Всё остальное знание – все теоремы, все законы и их следствия – выводятся из них по определенным логическим правилам, т.е. дедуктивно.
Утверждение аксиоматического метода в науке связывают с появлением знаменитых «Начал» Евклида. Основные требования к данному методу таковы: непротиворечивость аксиом, т. е. в системе аксиом или начал не должны одновременно присутствовать некоторое утверждение и его отрицание; полнота, т. е. аксиом без следствий не должно быть и их количество должно дать нам все следствия или их отрицания; независимость, когда любая аксиома не должна быть выводима из других. К данной системе добавить больше нечего.
Достоинства аксиоматического метода состоят в том, что аксиоматизация требует точного определения используемых понятий и строгости рассуждений. Она упорядочивает знание, исключает из него ненужные элементы, устраняет двусмысленность и противоречия, позволяет по-новому взглянуть на прежде достигнутое знание в рамках определённой теоретической системы. Правда, применение этого метода ограничено, и в рамках математики он тоже имеет определенные границы. В выяснении этого вопроса выдающуюся роль сыграла доказанная Гёделем теорема о принципиальной неполноте развитых формальных систем знания. Суть её в том, что в рамках данной системы можно сформулировать такие утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть без выхода из данной аксиоматизированной системы в метатеорию. Для всей математики такую роль играет арифметика. Результат Геделя привел к краху иллюзии математиков о всеобщей аксиоматизации математики.
Формы познания. Формами называют различные результаты познавательной деятельности, в которых представлено и организовано научное и техническое знание. Среди них – факт, гипотеза, закон, принцип, теория.
Факт. Факты образуют живую ткань любого знания. В науке и технике – они воздух, которым дышит учёный, исследователь. Но факты ещ надо добыть, описав их на языке теории, передать их смысл и оформить в виде истинных суждений. Субъект познания обращен к объектам и получает в виде итога знание в форме фактических суждений. Вместе субъект–объект–знание образуют так называемый «золотой треугольник познания».
В научном мышлении факт выражен в виде единичного суждения, даже если речь идёт о совокупности многих объектов. Но описание факта в науке всегда, как говорят методологи, «теоретически нагружено», т. е. связано с определенной концепцией и теоретическими терминами. Подчеркнём: в самой действительности никаких фактов нет, они – в головах людей.
Факты можно подразделить в целом при сравнении их друг с другом на однородные: скажем, все случаи притяжения тел к Земле, рождения живых существ и их смерти, необходимой связи людей друг с другом в обществе; неоднородные: как трение тел, магнетизм, питание живых существ, парламентские выборы в сравнении друг с другом. Массовидные - для групп и совокупностей любого рода вроде взаимодействий частиц материи, молекул газа, демографических процессов. Фундаментальные, как переход тепла от более нагретого тела к менее нагретому, и нефундаментальные: характер ветвления кроны дерева, размещение в городе торговых точек, поломка машины.
Однородные факты могут быть обобщены, когда познание схватит более глубокую сущность с помощью тех или иных методов познания. Так, фундаментальный закон природы – закон сохранения энергии – на деле сформулирован путём обобщения законов сохранения механической, тепловой и электрической энергии. Известный физик Макс Борн писал: «Всё наше познание природы начинается с накопления фактов, многочисленные факты обобщаются в простые законы, а последние в свою очередь обобщаются в более общих законах».
Гипотеза. Эта форма научного познания ведёт на основе фактов разного рода через предположение, возможное объяснение к научной теории. В современной науке гипотезы – это своеобразные локомотивы науки. Вместе с тем в истории науки гипотез, не ставших законами, принципами и теориями, – бесчисленное множество. Поэтому говорят, что наука – это кладбище гипотез. Эти гипотезы, которые вызывались в воображении исследователей теми или иными реальными проблемами, равно как и химерическими тоже – такими, как создание «вечного» двигателя - сами подталкивали к сбору новых фактов.
В своем развитии гипотеза как предположение проходит ряд стадий: накопления фактов; выдвижения простейшего предположения, часто на базе аналогии; накопления новых фактов; формулирования зрелой гипотезы и получения следствий из неё, вплоть до развертывания целой теории; подтверждения гипотезы или её опровержения. В последнем случае гипотеза превращается в закон, принцип в рамках аксиоматической системы или даже становится теорией. Всё зависит здесь от уровня общности гипотезы. Формально гипотеза – это суждение или связанная группа суждений, логическая система. Но настоящая научная гипотеза никогда не «берётся с потолка». Она связана со всем знанием о предмете, междисциплинарным знанием, методологией вроде логики и математики, и из них выводится.
Иногда гипотезу противопоставляют опыту, считая её интеллектуальной спекуляцией. Так, Исаак Ньютон говорил: «Гипотез не измышляю!». Однако он сам находился среди гипотез, как среди пчел в улье. Разве не было у него гипотезы о мировом эфире, о бесконечно большой скорости передачи взаимодействий, об абсолютных пространстве и времени? Другое дело, что Ньютон не осознавал их как гипотезы и считал очевидными. Мы слишком многое считаем очевидным и в итоге заблуждаемся!
Закон. Эта форма есть как бы ставшее, состоявшееся знание, чаще всего – результат индукции, аналогии, синтеза и подтверждения гипотез опытом. Закон науки схватывает повторяющееся, прочное, необходимое, существенное, устойчивое в массе явлений любой природы. Логическая форма закона – суждение. В математике его эквивалент – теорема.
Различают всеобщие, частные и конкретные законы. Для физического мира всеобщими законами будут законы симметрии или сохранения; частными будут законы отдельных областей физического: механики, теплоты, оптики; и духовного: психики, языка, мышления; о конкретных законах отдельных объектов мы узнаем нередко сами из практики. По их характеру выделяют качественные и количественные законы. Первые чаще всего можно встретить в сфере сложных систем: техники, экономики, управления и пр.
Необходимо разделить законы по их назначению: законы для описания и законы для объяснения. Описателен, например, закон всемирного тяготения, так как он не объясняет причину тяготения; напротив, объясняющий закон говорит о том, почему протекает данное явление, почему так-то устроен данный объект. Логическая форма последнего – «Если…, то…». При этом важно оговорить условия и разного рода ограничения. В методологии поэтому различают законы «дозволения» - их большинство, и законы «запрета», такие, как недостижимость абсолютного нуля температуры, невозможность передачи тепла от холодного тела к нагретому, разгон тела с массой покоя до скорости света. Вообще познание лишь тогда достигает глубины и совершенства, когда оно выходит на дорогу обобщений в объяснении многообразия действительности в форме законов.
Принципы. Вспомним теперь, что было сказано выше: закон – это нечто подобное математической теореме. Если же закон помещен не в конец, а в начало цепочки познания, то формально его роль такая же, как аксиомы в математике. То же самое можно проделать и с гипотезами: из них можно развернуть цепочку следствий. В итоге перед нами будет уже в аксиоматической теории то, что в естествознании и в технических теориях называют «принципом» или «началом». Иначе говоря, принцип – утверждение, однопорядковое с законом, но помещенное в начало цепочки умозаключений и выводов, а закон – следствие. Совокупность фундаментальных понятий, определений и принципов образует аксиоматику теории. Но в ряду начальных утверждений теории могут быть и фундаментальные факты, такие, как постоянство скорости света в теории относительности или дискретности действия в квантовой механике. Это - принципиальные факты.
Принципы совместно с научной картиной мира, специальной исследовательской программой и парадигмой - особым углом зрения на проблемы некоторой предметной области, фундаментальными понятиями, гипотезами и законами подводят нас к возможности развернуть научную теорию.
Научная теория. Под научной теорией как раз и понимают систему утверждений об объектах, связанных отношениями выводимости и зависимости. Научная теория – это не только форма познания, но это и главная единица теоретического знания, с которой сталкивается всякий, кто учится, исследует, конструирует, проектирует и действует. Говорят, что нет ничего практичнее, чем хорошая научная теория.
Теория имеет сложную структуру. В её состав входит «ядро» или основания теории, т. е. система принципов и основных понятий. В формальных теориях в её состав включают правила операций над величинами и язык - термины и символы. Последний тип теорий – это высший, предельный тип. Он характерен для математики и математической логики – в основном дедуктивных по способу вывода теорем и следствий, а также приложений в практику. Вместе с тем никому еще не удалось выстроить теорию на одном-единственном принципе: как правило, их всегда несколько.
Выше уже говорилось о том, в каких отношениях должны находиться аксиомы или принципы теории. В целом в основаниях не бывает противоречащих друг другу принципов и лишних принципов, хотя могут быть и не все необходимые принципы. Это определяется вмешательством заданного многомерного пространства и его топологии. Заметим, что в основаниях теорий аксиоматического типа содержится также и всевозможное количество следствий, т. е. принципы – это «свёртка» всех возможных утверждений теории, их «консервы». Подобный концентрат информационно хорошо обозрим, он эвристичен, лишь бы мы сами владели техникой вывода и логикой. Заманчиво было бы уложить хотя бы крупные блоки информации о мире и о нас в подобные «свёртки»!
Теории можно подразделить, противопоставив описательный и объясняющий подходы и получить следующие разновидности: феноменологические; полуфеноменологические; объясняющие. В первых вообще не пытаются свести описание явлений (феноменов) к внутренним законам (фенология, описательная астрономия и др.). Вторые характерны для технического и технологического знания (теория машин и механизмов, электротехника, химические технологии и др.). Для них важнее всего прагматическая и прикладная стороны. Третий тип – это фундаментальные теории природы, общества и мышления от космологии и физики до социологии, психологии и логики.
Теории можно различать по их целям, методам и функциям: описательные, объясняющие, классифицирующие, жёстко детерминированные и статистические. Для нас важна классификация по уровню развитости, которая обусловлена неизбежным различием в фактуальной базе теорий, языке, методах получения знания и способах проверки его на достоверность. Тогда мы получим три типа теорий: эмпирические; математизированные; дедуктивные. Последний тип подразделяется по степени близости к идеальному виду на гипотетико-дедуктивные и аксиоматические теории. Можно заподозрить, что вся эта классификация отображает исторический ход развития теорий, который математика в общем-то в основном прошла: историкам науки это известно. Содержательные теории физики, теории управления и информатики близки к тому. Вместе с тем история науки не закончена, и предельным состоянием её был бы идеал единой аксиоматизированной и формализованной науки. Увы! Такое состояние знания есть явная асимптота процесса познания.
Контрольные вопросы
1. Каково отношение познания к действительности?
2. В чём заключается цель познания?
3. Что есть истина?
4. Каков источник познания?
5. Как понимают опыт представители эмпиризма?
6. Откуда берётся содержание мышления по версии рационалистов?
7. Какие функции выполняет в познании практика?
8. Какие методы познания и почему называют эмпирическими?
9. Какие методы познания и почему называют теоретическими?
10. В каких формах выражены результаты познания?
11. Почему достоверность любого знания относительна?
12. Что является идеалом познания?
Задания для самостоятельной работы
1. Покажите соотношение отражения объекта в процессе познания и освоения предмета человеком в процессе преобразования.
2. Охарактеризуйте познание как деятельность субъекта.
3. Оцените значение опыта и практики в познании действительности.
4. Проиллюстрируйте зависимость выбора метода от предметной области исследования и целей познания.
5. Покажите состав знания как результата познавательной деятельности.
6. Обозначьте границы теоретических спекуляций и интеллектуальной фантазии.
Дополнительная литература
1. Лекторский В.А. Эпистемология классическая и неклассическая / В.А. Лекторский.- М.: Едиториал УРСС, 2001.- 255 с.
2. Микешина Л.А. Философия познания : Полемические главы / Л.А. Микешина.- М.: Прогресс, 2002.- 623 с.
3. Моргунов Г.В. Инновационная сущность творчества : монография / Г.В. Моргунов.- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012.- 179 с.
4. Наука и техника в системе культуры : методическое пособие / Новосиб. гос. техн. ун-т; [сост. В.А. Колеватов, Е.Я. Букина, С.И. Чудинов].- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008.- 42,[1] с.: ил.
5. Орлов В.В. История человеческого интеллекта / В.В. Орлов.- Пермь: Изд-во ПермГУ, 2007.- 187 с.
6. Ушаков Е.В. Введение в философию и методологию науки : Учебник для вузов / Е.В. Ушаков.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: КноРус, 2008.- 584 с.
7. Философия естественных наук : Учебное пособие / Под общ. ред. С.А. Лебедева; Моск. гос. ун-т им М.В. Ломоносова.- М.: Академический проект; Мир, 2006.- 555,[1] с.- (Gaudeamus)(Учебное пособие для вузов).
Глава 7. Философия науки
Наука как социальный институт. Наука, которая в главе 1 была определена как форма мировоззрения, представляет собой более сложное явление духовной культуры. С древних времён наука обособляется в самостоятельный вид профессиональной деятельности, которой занимаются люди, посвятившие себя познанию сущности и законов существования действительности в различных сферах бытия: познанию природы в естествознании, социальных институтов и отношений в обществоведении, человека и его жизни в гуманитарной области знаний, изобретательской и конструкторской деятельности в технических науках.
Наука занимается не только собственно исследовательской деятельностью. На её основе создаются образовательные учреждения, формирующие в своей совокупности систему просвещения, которая распространяет знания, занимается обучением детей, подготовкой специалистов для различных областей общественной жизни – экономики, политики, идеологии, искусства и даже религии. Первые образовательные учреждения, в которых велись и научные исследования, появились ещё в эпоху Античности. Таковыми были школа Пифагора и Союз пифагорейцев, школа Сократа, Академия Платона, Лицей Аристотеля. В средние века появляются первые университеты - Болонский в Италии, Сорбонна в Париже во Франции, Кембридж и Оксфорд в Англии. В Новое время создаются профессиональные организации учёных: Королевское общество в Англии, Парижская академия наук во Франции, Берлинская академия наук в Германии, Российская Де сиянс (наук) Академия в России при Петре I.
В наше время функции познания и просвещения чаще всего разделены. Исключительно исследовательской деятельностью занимаются специализированные институты ряда Академий: Российской Академии наук, Российской Академии медицинских наук, Российской Академии сельскохозяйственных наук и т.п. Эти учреждения оформляются даже территориально: новосибирский Академгородок, научный центр Дубна, подмосковное Сколково и пр. Просвещением занимаются учреждения дошкольного, школьного и профессионального образования: детские сады, школы, гимназии, лицеи, колледжи. Совмещают образовательные и познавательные функции институты и университеты различного профиля: классические, технические, лингвистические, экономические, педагогические и т.д.
Наука как часть духовной культуры общества прошла вместе с ним длительный путь исторического развития. Она меняла свои содержание и форму в различные исторические эпохи в зависимости от того, какие элементы духовной культуры доминировали в тот или иной период эволюции общества, привлекали к себе первоочередное повышенное внимание людей и тем самым накладывали отпечаток на остальное содержание общественного сознания. Такое влияние испытывала на себе и наука, отчего менялся её характер в разные исторические времена.
Следует также отметить, что наука с древности и до середины XIX века была теснейшим образом связана с философией: настолько тесно, что философы и учёные – были одни и те же люди. Пифагор даже более известен как математик и космолог; Фалес был выдающимся физиком и геометром; Аристотель занимался ботаникой, зоологией, метеорологией, минералогией, а его физика была каноном наук о природе более чем тысячу лет, вплоть до Нового времени. И в эпоху Просвещения та же картина: великий физик и математик Исаак Ньютон основной свой научный труд назвал «Математические начала натуральной философии», выдающиеся математики Рене Декарт и Готфрид Лейбниц даже более известны как великие философы, и т.д.
В наше время до философских высоких обобщений поднимались самые знаменитые учёные: Альберт Эйнштейн – создатель релятивизма, Нильс Бор – один из творцов квантовой механики и автор принципа дополнительности, Владимир Вернадский – творец теории ноосферы, Норберт Винер – создатель кибернетики и Илья Пригожин - творец синергетики. Поэтому рассмотрим во взаимосвязи специфику философии и характер науки в различные исторические эпохи.
Наука Античной эпохи. Античность (от лат. antiquus – древний) продолжалась с VI века до нашей эры по IV век нашей эры. В этот период мировоззрение общества было преимущественно натуралистическим, т.е. господствующим элементом в составе мировоззрения была природа. Люди античности не отделяли себя от природы и тем более не противопоставляли ей человеческий мир. Более того – считали себя частью природы и природными существами. Так, Аристотель определял человека как разумное политическое (от гр. politikos – городской) животное, общество уподоблял пчелиному рою или муравьиной семье, а мир человека рассматривал как образ и воплощение природного космоса, макрокосма: как микрокосм, которым должны управлять такие же непреложные законы, как законы движения светил на звёздном небе или необходимость и повторяемость восходов и закатов Солнца и смена сезонов года.
Философия в античную эпоху именно поэтому представляла собой по своей специфике космоцентризм, поскольку в качестве своего предмета рассматривала небесный и земной космос. Яркими образцами такой философии были материалистические учения: учение о стихиях Фалеса Милетского или Гераклита Эфесского, учение об атомах Демокрита и Эпикура, учение о бытии в поэтическом сочинении Парменида «Природа». Природное начало доминировало и в идеалистических учениях: учении о числах Пифагора, учении об идеях Платона, учении о материи и форме Аристотеля.
Наука Античности, так же как и философия, была по необходимости чисто умозрительной, т.е. имела теоретический характер. Тем не менее, кроме чисто философских учений, античные мыслители добились выдающихся научных результатов. Так, Пифагору принадлежит доказательство знаменитой теоремы о соотношении гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника, открытие иррациональных чисел, вычисление числа π (кстати – это первая буква его имени), выражающего отношение длины окружности к её радиусу. Пифагор изобрёл музыкальную гамму, разделив звучащую в унисон струну на семь интервалов в соответствии с числовыми пропорциями.
Открыл «золотое сечение» в делении геометрических фигур и создал космологическую модель строения мира, положив в её основу численные отношения радиусов сфер обращения планет как вписанных друг в друга правильных многогранников: тетраэдра, куба, пентаэдра, октаэдра и гекасаэдра.
Фалес Милетский в физике рассматривал взаимопревращение стихий – земли, воды, воздуха и огня – в зависимости от температуры и плотности. Сейчас мы это называем изменениями агрегатного состояния вещества – твёрдого, жидкого, газообразного и плазмы. В математике Фалес доказал теорему, названную его именем, о геометрическом подобии, и с её помощью измерил высоту египетских пирамид по длине их тени.
Аристотель создал античную физику, включавшую в себя статику – учение о свойствах рычага, и динамику – учение о движении, сутью которого было стремление всех природных тел к состоянию равновесия. Аристотелевская физика преподавалась в университетах Европы вплоть до XVII века и считалась образцом научной теории.
Греческий математик Евклид создал аксиоматическую геометрию, в которой на основе всего лишь пяти аксиом – положений принципиального характера, принимаемых без доказательств, из которых в качестве выводов чисто логическим путём, т.е. рассуждением получали тысячи теорем. Они рассматривались как истинное знание в силу их правильности, т.е. соответствия правилам математического доказательства.