Второе же больно напоминает драгоценный камень.

Направление - математика

Тема: «Драгоценный камень геометрии»

Марченков Дмитрий Юрьевич,

МБОУ СОШ № 1

ЗАТО Озерный Тверской области

11 класс

Научный руководитель:

Бородич Ирина Сергеевна

учитель математики

МБОУ СОШ № 1 ЗАТО Озерный

Аннотация

Данная работа посвящена одному из классических геометрических утверждений «Золотое сечение». Данное утверждение рассмотрено в теоретическом и прикладном аспекте (природе, человеческом организме, скульптуре, архитектуре, живописи) В работе рассматривается содержание самого явления, те тайны, которые его окутывают и попытка разгадки математической тайны. Данная работа снабжена доказательной базой и прекрасными иллюстрациями к работе.

Содержание

1. Введение. – 4стр.

2. Актуальность 4стр.

3. Цели и задачи – 4 стр.

4. Сущностный контекст «Золотого сечения». – 4 стр.

5. История изучения «Золотого сечения». – 9 стр.

6. Раскрытие тайны «Золотого сечения» - 14стр.

7. Прикладное значение «Золотого сечения». – 15стрн.

8. Заключение. – 22 стр.

9. Список литературы. – 23 стр.

Геометрия владеет двумя сокровищами,

одно из них – это теорема Пифагора,

А другое – деление отрезка

В среднем и крайнем отношении.

Первое можно представить мерой золота,

второе же больно напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Анхель де Куатьэ

Введение.У нынешнего поколения сформировалось мнение, что геометрия – это сухой предмет, который развивает только логику, ум, а искусство воздействует лишь на духовную сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и искусство - это «лед и пламень»

Конечно: «О вкусах не спорят», - сколько раз каждому из нас доводилось слышать эту фразу, а то и произносить ее. Соглашаясь с ней, мы тем самым готовы защитить любое безобразие, какое только может позволить себе человеческое воображение. Упадок эстетики, невнимание к красоте - это всегда упадок человечества, которое уже не хочет ни мечтать, ни стремиться к прекрасному.

Хочется верить, что чувство прекрасного, гармонии мира живет в каждом человеке - надо только, научиться им пользоваться.

Наверное, трудно найти надежную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был смыслом жизни.

Актуальность.Важность изучения данного материала определяется глубоким содержанием проблемы, необходимым для того, чтобы,

определившись в данном представлении, можно ощутить красоту математичес-

кой науки, тяжкий путь открытий истин и загадок в истории человечества возможность изученных достижений в теории и практике.

Цель:

Изучить одну из сложнейших загадок геометрии «Золотое сечение», его теоретическое и прикладное значении.

Задачи:

· Собрать имеющуюся информацию по вопросу «Золотого сечения».

· Проанализировать информацию по контексту проблемы.

· Проанализировать историю исследования «Золотого сечения».

· Представить прикладное значение «Золотого сечения

Сущностный контекст «Золотого сечения»

Первое «Золотое сечение».

Пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a : b = b : c или с : b = b : а.

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ и она равна:

Если отрезок ab принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям

Золотой прямоугольник обладает многими интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то получится снова золотой прямоугольник. И так можно продолжать до бесконечности. Если соединить вершины квадратов плавной линией, то получается кривая, называемая золотой спиралью.

Второе «Золотое сечение»

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д.
Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Отношение большей части к меньшей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

и, наоборот, отношение меньшей части к большей

Число называется также золотым числом.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных.

Математические свойства:

· — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения , откуда, в частности, следуют соотношения:

· — представляется через тригонометрические функции:

Обобщенное «Золотое сечение»

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал. Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же “двоичный” ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2= 1 + 1; 4= 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2= 1 + 1, 3= 2 + 1, 5= 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и “двоичный” ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n)= S (n – 1) + S(n – S – 1).

Очевидно, что при S= 0 из этой формулы мы получим “двоичный” ряд, при S= 1 – ряд Фибоначчи, при S= 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

Нетрудно показать, что при S= 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, многократно подтверждены. Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах. помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами. принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S> 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят “с головы на ноги” исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были “открыты” числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа. Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа. В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной, – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему “иррациональная” арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и “Фибоначчиевой” арифметики