А. Применение импликации к рыцарям и лжецам

109. О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что A высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то B — рыцарь».

Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?

110. У A спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».

Докажите, что A придется съесть свою шляпу.

111. A утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два — четыре». Кто такой A: рыцарь или лжец?

112. A заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два — пять». Кто, по-вашему, A: рыцарь или лжец?

113. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если B — рыцарь, то я лжец». Кто A и кто B?

114. Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:

A: Если X виновен, то Y виновен.

B: Либо X не виновен, либо Y виновен.

Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)

115.

У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:

A: B — рыцарь.

B: Если A — рыцарь, то C — рыцарь.

Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?

Б. Любовь и логика

116.

Предположим, что следующие два высказывания истинны:

1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.

2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.

Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?

117.

Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».

Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?

118.

На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: «Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?» Я отвечаю: «Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда».

О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?

119.

На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее.

1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.

2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.

3) Я либо люблю и Диану и Марцию, либо не люблю ни одну из них.

4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.

Кого из девушек я люблю?

Не кажется ли вам, что логики — народ глуповатый? Уж кому, как не мне, знать, люблю я или не люблю Бетти, Джейн, Еву, Маргарет, Сью, Марцию, Диану и всех прочих. Разве для этого непременно нужно сесть за стол и что-то прикинуть на бумаге? Не сочли бы вы странным, если бы жена, спросив у своего высокоученого мужа: «Милый, ты меня любишь?» — услышала бы в ответ: «Минуточку, дорогая», после чего муж уселся бы за письменный стол и после напряженных вычислений через час сказал бы: «Ты знаешь, милая, выходит, что я тебя люблю»?

В этой связи мне вспоминается история, якобы приключившаяся с Лейбницем. Однажды великий философ стал размышлять, не жениться ли ему на некоей даме. Взяв лист бумаги, он разделил его на две части и на одной подробно перечислил все достоинства дамы, а на другой — ее недостатки. Недостатков оказалось больше, и Лейбниц решил воздержаться от женитьбы.

120.

Эта задача, хотя и проста, но несколько неожиданна. Предположим, что я либо рыцарь, либо лжец и высказываю два следующих утверждения:

1) Я люблю Линду.

2) Если я люблю Линду, то я люблю Кати.

Кто я: рыцарь или лжец?

121. Новый вариант старинной пословицы.

Старинная английская пословица гласит: «Под приглядом котел не закипит». Как я установил, это утверждение ложно. Однажды мне довелось приглядывать за котлом, стоявшим на раскаленной плите, и котел закипел.

А что если мы исправим старинную пословицу, например, так: «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать»?

Как, по-вашему, истинно или ложно такое утверждение?

В. Есть ли сокровища на этом острове?

Задачи двух предыдущих групп были связаны в основном с условными высказываниями, то есть с высказываниями вида «Если P истинно, то Q. Задачи этой группы связаны главным образом с высказываниями вида „P истинно в том и только в том случае, если Q истинно“. Оно означает, что если P истинно, то Q истинно, и если Q истинно, то P истинно. Иначе говоря, если одно из двух высказываний P, Q истинно, то другое также истинно. Оно означает также, что высказывания P и Q либо оба истинны, либо оба ложны. Сложное высказывание „P в том и только в том случае, если Q“ принято обозначать P <⇒ Q».

Таблица истинности для P <⇒ Q имеет следующий вид:

PQP <⇒ Q1ИИИ2ИЛЛ3ЛИЛ4ЛЛИВысказывание «P в том и только в том случае, если Q» иногда читают как «P эквивалентно Q» или как «P и Q эквивалентны». Отметим два следующих факта:

Факт 1. Любое высказывание, эквивалентное истинному высказыванию, истинно.

Факт 2. Любое высказывание, эквивалентное ложному высказыванию, ложно.

122. Есть ли сокровище на этом острове?

На некотором острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух о том, что на нем зарыты сокровища. Вы прибываете на остров и спрашиваете у одного из местных жителей (назовем его A), есть ли золото на его острове. В ответ на ваш вопрос A заявляет: «Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь».

Наша задача подразделяется на две части:

а) Можно ли определить, кто такой A — рыцарь или лжец?

б) Можно ли определить, есть ли сокровища на острове?

123.

В предыдущей задаче коренной житель A острова рыцарей и лжецов добровольно снабдил вас информацией. Предположим, что теперь вы спросили у A: «Эквивалентно ли высказывание о том, что вы рыцарь, высказыванию о том, что на этом острове спрятаны сокровища?» Если бы A ответил «да», то задача свелась бы к предыдущей. Предположим, что A ответил «нет». Могли бы вы в таком случае сказать, спрятаны ли сокровища на острове?

124. Как я разбогател.

К сожалению, история, которую я хочу вам поведать, не соответствует истине. Но поскольку она интересна, то мне все равно хочется рассказать ее вам.

В океане (в каком именно — не помню) неподалеку друг от друга расположены три острова: A, B и C. Мне удалось разузнать, что по крайней мере на одном из них закопаны сокровища, но на каком именно, осталось невыясненным. Острова B и C были необитаемы, население острова A составляли рыцари и лжецы. Не исключено, что среди местных жителей встречались и нормальные люди, но сказать с уверенностью, был ли на острове хоть один нормальный человек, я не берусь.

Мне посчастливилось раздобыть карту островов, составленную знаменитым капитаном Марстоном — пиратом, славившимся своими причудами (он-то и запрятал сокровища). К карте была приложена записка, разумеется зашифрованная. Когда я ее расшифровал, то выяснилось, что она состоит лишь из двух предложений. Вот что в ней значилось:

(1) На острове A нет сокровищ.

(2) Если среди жителей острова A встречаются нормальные люди, то сокровища закопаны на двух островах.

Я поспешил на остров A. Мне было достоверно известно, что обитатели этого острова знают о зарытых сокровищах все до мелочей. Король острова догадался, зачем я прибыл в его владения, и в недвусмысленных выражениях разрешил мне задать лишь один вопрос любому из наугад выбранных мною его подданных. Способа установить, на кого пал мой выбор — на рыцаря, лжеца или на нормального человека, у меня не

было.

Мне необходимо было придумать такой вопрос, чтобы, получив ответ, я мог указать на один из островов и быть уверенным, что сокровище закопано на нем.

Какой вопрос следовало мне задать островитянину?

125.

Случилось мне как-то раз побывать на другом острове рыцарей, лжецов и нормальных людей. По слухам, на том острове были закопаны несметные сокровища, и я хотел разузнать, как обстоит дело в действительности. Король острова (рыцарь) любезно представил меня трем своим подданным A, B и C и сообщил мне, что не более чем один из них нормальный человек. Любому из них разрешалось задать два вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет».

Можно ли при помощи двух таких вопросов выяснить, запрятаны ли на острове сокровища?

126. Умеете ли вы рассуждать логически?

Предположим, что население двух соседних островов составляют только рыцари и лжецы (на островах нет ни одного нормального человека). Вам говорят, что на одном острове проживает четное, а на другом — нечетное число рыцарей. Вам также сообщают, что на острове с четным числом рыцарей закопаны сокровища, а на острове с нечетным числом рыцарей сокровищ нет.

Вы выбираете наугад один из островов и отправляетесь туда. Все обитатели острова знают, сколько рыцарей и сколько лжецов живет среди них. Вы беседуете с тремя обитателями A, B и C острова и получаете от них следующие заявления:

A: Число лжецов на этом острове четно.

B: На нашем острове сейчас находится нечетное число людей.

C: Я рыцарь в том и только в том случае, если A и B однотипны.

Предположим, что вы не рыцарь и не лжец и что, когда вы были на острове, других гостей на нем не было. Спрятаны ли на острове сокровища?

Решения

109–112. Эти четыре задачи основаны на использовании одной и той же идеи, которая сводится к следующему. Пусть P — любое высказывание, а A — любой обитатель острова рыцарей и лжецов. Тогда если A высказывает утверждение: «Если я рыцарь, то P», то он должен быть рыцарем, а высказывание P должно быть истинным! B это трудно поверить, и мы докажем наше удивительное утверждение двумя способами.

1. Предположим, что A — рыцарь. Тогда высказывание «Если A — рыцарь, то P» должно быть истинным (так как рыцари всегда говорят правду). Следовательно, A — рыцарь, и верно, что если A — рыцарь, то P. Из этих двух фактов мы заключаем, что P должно быть истинно. Таким образом, приняв в качестве посылок предположение о том, что A — рыцарь, мы получаем в качестве заключения высказывание P. Тем самым (с учетом факта 4 об импликации) мы доказали, что если A — рыцарь, то P. Но именно это и утверждал A! Следовательно, A должен быть рыцарем. А так как мы доказали, что если A — рыцарь, то P, то заключаем, что P должно быть истинно.

2. Другой способ убедиться в истинности нашего утверждения состоит в следующем. Напомним, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Поэтому если A не рыцарь, то высказывание «Если A — рыцарь, то P» автоматически становится истинным и, следовательно, не могло бы принадлежать лжецу. Значит, если кто-нибудь, о ком известно, что он может быть либо рыцарем, либо лжецом, высказывает такое утверждение, то он может быть только рыцарем и высказывание P должно быть истинным.

Применим этот принцип к нашим задачам. Начнем с задачи 109. Если в качестве P принято высказывание «В — рыцарь», то ясно, что A должен быть рыцарем, а его высказывание истинным. Следовательно, B — рыцарь, и мы получаем ответ: A и B — оба рыцари.

В задаче 110 в качестве P выберем высказывание «А придется съесть свою шляпу». Мы видим, что A должен быть рыцарем и что ему придется съесть свою шляпу. (Тем самым доказано, что хотя рыцари обладают несомненными достоинствами и добродетелями, они тем не менее могут быть глуповатыми.)

Ответ к задаче 111: A — рыцарь.

Правильное заключение, к которому можно прийти в задаче 112: автор опять мистифицирует читателей! Условия задачи противоречивы: высказывание «Если я рыцарь, то дважды два — пять» не может принадлежать ни рыцарю, ни лжецу.

113. A должен быть рыцарем, а B — лжецом.

Докажем прежде всего, что только рыцарь может высказать утверждение вида «Если P, то я лжец». Напомним, что истинное высказывание следует из любого высказывания. Значит, если высказывание «Я лжец» истинно, то полное высказывание «Если P, то я лжец». также истинно. Но если я лжец, то никакое истинное высказывание не могло бы принадлежать мне. Следовательно, высказывая утверждение «Если P, то я лжец», я должен быть рыцарем.

Итак, A должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если B — рыцарь, то A — лжец (потому что A настаивает на истинности этого высказывания). Тогда B не может быть рыцарем, так как в противном случае A должен бы быть лжецом, а он им не является[2]. Следовательно, B — лжец.

114. A в действительности утверждает: «Не верно, что X виновен, а Y не виновен». Но это то же самое, как если бы A утверждал: «Либо X не виновен, либо Y виновен». Следовательно, A и B в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому A и B должны быть однотипными.

115. Предположим, что A — рыцарь. Тогда B также рыцарь (по утверждению A). Следовательно, высказывание B «Если A — рыцарь, то C — рыцарь» истинно. Но (по предположению) A — рыцарь. Следовательно, C — рыцарь (в предположении, что A — рыцарь).

Итак, мы доказали, что если A — рыцарь, то C — рыцарь[3]. Именно это и утверждал B. Следовательно, B — рыцарь. Значит, высказывание A о том, что B — рыцарь, истинно, поэтому A также рыцарь. Итак, мы доказали, что если A — рыцарь, то C — рыцарь. Следовательно, C также рыцарь. Значит, все трое — рыцари.

116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.

Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.

Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.

117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение «Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн» должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.

Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.

118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть P — высказывание «Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет». Нам известно:

1) Если P истинно, то я люблю Еву.

2) Если я люблю Еву, то P истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание P, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.

119. Я должен любить всех трех девушек. Доказать это можно разными способами. Приведем один из них.

По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.

120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными. Следовательно, я не могу быть лжецом.

121. Сказать: «P ложно, если не Q» — то же самое, что сказать: «Если P, то Q». (Например, высказывание «Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной» эквивалентно высказыванию «Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной».) Следовательно, «исправленный» вариант пословицы «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать» эквивалентно утверждению «Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают», а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.

122. Определить, кто такой A — рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.

Для решения этой и других задач серии «Есть ли сокровища на этом острове?» установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если P», то P должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий — рыцарь или лжец).

Пусть K — утверждение о том, что говорящий — рыцарь. По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K — истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий — лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий — рыцарь или лжец, P должно быть истинно.

Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Если я рыцарь, то P», то мы можем заключить, что он рыцарь и что P истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если P», то мы можем заключить, что P истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.

123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.

Пусть G — утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а K — утверждение о том, что A — рыцарь. Отвечая на ваш вопрос отрицательно, A тем самым заявляет, что G не эквивалентно K. Предположим, что A — рыцарь. Тогда G действительно не эквивалентно K. Так как A — рыцарь, то K. истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению K, должно быть ложным.

С другой стороны, предположим, что A — лжец. Тогда G в действительности эквивалентно K (поскольку лжец сказал, что G и K не эквивалентны). Но K — ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению K. Таким образом, независимо от того, кто такой A — рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.

Примечание. Из двух последних задач (122 и 123) следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по «рыцарям и лжецам». Предположим, что P — любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) известно подлинное значение истинности высказывания P. Тогда, задав носителю знаний один-единственный вопрос, вы можете установить, истинно P или ложно. Достаточно спросить: «Эквивалентно ли высказывание „вы рыцарь“ высказыванию „P истинно“?» Получив утвердительный ответ, вы поймете, что P истинно. Получив отрицательный ответ, вы будете знать, что P ложно.

Тот же принцип используется и в решениях трех следующих задач. Мы будем называть его фундаментальным принципом.

124. Нам заранее известно, что на острове A нет никаких сокровищ, что сокровища зарыты либо на острове B, либо на острове C и что если на острове A есть хоть один нормальный житель, то сокровища зарыты и на острове B, и на острове C.

У выбранного наугад островитянина я спросил: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что сокровища зарыты на острове B?»

Предположим, что на мой вопрос островитянин ответил утвердительно. Если он либо рыцарь, либо лжец, то сокровища (в силу фундаментального принципа, установленного в решении предыдущей задачи) зарыты на острове B. Если же он нормальный человек, то сокровища зарыты на островах B и C, поэтому на острове сокровища заведомо имеются. Таким образом, утвердительный ответ на мой вопрос означает, что на острове B есть сокровища.

Предположим, что островитянин на мой вопрос ответил отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то (в силу фундаментального принципа) сокровищ на острове B нет. Значит, сокровища должны быть на острове C. С другой стороны, если он нормальный человек, то сокровища зарыты и на острове B, и на острове C. Следовательно, на острове C зарыты сокровища. Таким образом, отрицательный ответ на мой вопрос означает, что на острове C есть сокровища.

125. Чтобы решить эту задачу, достаточно дважды воспользоваться фундаментальным принципом (объяснение его см. в решении задачи 123).

Один вопрос понадобится вам, чтобы установить, кто из трех островитян заведомо не нормальный человек. Обращаясь к A, вы спрашиваете его: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что B — нормальный человек?» Предположим, что A отвечает утвердительно. Если A либо рыцарь, либо лжец, то (в силу фундаментального принципа) B должен быть нормальным человеком. Значит, C — не нормальный человек. Если же A не рыцарь и не лжец, то он должен быть нормальным человеком, и тогда C снова не может быть нормальным человеком. Таким образом, утвердительный ответ на ваш вопрос означает, что C — не нормальный человек.

Предположим, что A отвечает отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то B — не нормальный человек (в силу фундаментального принципа). Если же A — не рыцарь и не лжец, то B, как и в предыдущем случае, не может быть нормальным человеком, так как A — нормальный человек. Таким образом, отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что B — не нормальный человек.

Итак, получив от A утвердительный ответ, вы обращаетесь со вторым вопросом к C. Если же на ваш первый вопрос A отвечает отрицательно, то со вторым вопросом вам надлежит обратиться к B. И в том и в другом случае вы знаете, что обращаетесь со вторым вопросом либо к рыцарю, либо к лжецу. Вы спрашиваете (тот же вопрос был задан вами островитянину A в задаче 122): «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что на этом острове зарыты сокровища?» Утвердительный ответ означает, что на острове есть сокровища, отрицательный — что их нет.

126. Не будь у вас «на вооружении» фундаментального принципа, решить эту задачу было бы довольно трудно. Но фундаментальный принцип позволяет без труда «расправиться» с задачей. Я предполагаю, что вам известны следующие свойства целых чисел: сумма двух четных чисел четна, сумма двух нечетных чисел также четна. Следовательно, вычитая четное число из четного числа или нечетное число из нечетного числа, вы получаете четноечисло. (Например, 12-8=4, 13-7=6.)

Из высказанного C утверждения (в силу фундаментального принципа) следует, то A и B однотипны, то есть они либо оба рыцари, либо оба лжецы. Следовательно, их высказывания либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что оба высказывания истинны. Тогда по утверждению A на острове имеется четное число лжецов. По утверждению B на острове (вместе с вами) находится нечетное число людей. Но вы не рыцарь и не лжец, и, кроме вас, других гостей на острове нет. Поэтому, вычитая четное число лжецов из четного числа рыцарей и лжецов, вы получаете четное число рыцарей. Следовательно, в данном случае сокровища зарыты где-то на острове. Предположим теперь, что оба утверждения ложны. Это означает, что на острове находится нечетное число лжецов и нечетное число рыцарей и лжецов (так как всего на острове вместе с вами находится четное число людей). Следовательно, число рыцарей снова должно быть четным, и сокровище, как и в предыдущем случае, должно быть зарыто где-то на острове.

IX. Беллини или Челлини?

В гл. 5 мы рассказали о шкатулках Порции. История эта имеет продолжение. Напомним, что Беллини всегда гравировал на крышках шкатулок своей работы истинные надписи, а Челлини украшал шкатулки своей работы ложными высказываниями. У Беллини и Челлини были сыновья, которые переняли у отцов секреты мастерства и также стали делать изящные шкатулки. Сыновья пошли по стопам отцов: наследники Беллини гравировали на крышках своих шкатулок только истинные высказывания, а сыновья Челлини — только ложные.

Других мастеров по изготовлению шкатулок, кроме Беллини и Челлини, в Италии эпохи Возрождения не было: каждая шкатулка была работы либо Беллини, либо Челлини, либо сына Беллини, либо сына Челлини.

У знатоков и любителей старины шкатулки, изготовленные Беллини и Челлини (особенно отцами), ценятся необычайно высоко.

А. Чьей работы шкатулка?

127.

Однажды мне в руки попала шкатулка, на крышке которой выгравирована надпись:

Эта шкатулка не была сделана ни одним из сыновей Беллини

Чьей работы эта шкатулка: Беллини, Челлини или кого-нибудь из их сыновей?

128.

В другой раз мне довелось увидеть шкатулку, на крышке которой красовалась надпись, позволявшая заключить, что шкатулка была работы Челлини.

Какую надпись мог выгравировать знаменитый мастер на крышке шкатулки?

129.

Особенно высоко ценятся шкатулки с надписями, по которым можно установить, что шкатулки изготовлены Беллини или Челлини, но нельзя определить, кем именно. Однажды мне посчастливилось держать в руках такую шкатулку. Какая надпись могла украшать ее крышку?

130. От великого до смешного.

Предположим, что вам удалось найти шкатулку со следующей надписью на крышке:

Эту шкатулку сделал я

К какому заключению вы бы пришли на основании такой надписи?

131. Флорентийский патриций.

Один флорентийский патриций любил предаваться весьма изысканным и дорогостоящим забавам. Кульминацией званых вечеров была какая-нибудь игра, победителю которой вручался драгоценный приз. Прослышав про шкатулки Порции, патриций решил придумать очередную игру в том же духе. Он приказал изготовить три шкатулки — золотую, серебряную и свинцовую — и в одну из них положил драгоценный камень, который должен был стать наградой победителю. Своим гостям патриций объяснил, что каждая шкатулка изготовлена либо Беллини, либо Челлини (а не сыновьями знаменитых мастеров). Первого, кто догадается, в какой шкатулке спрятан драгоценный камень, и сможет доказать правильность своей догадки, ждет награда. Надписи на крышках шкатулок гласили:

На золотойНа серебрянойНа свинцовойЕсли драгоценный камень лежит в серебряной шкатулке, то ее изготовил БеллиниЕсли драгоценный камень лежит в этой шкатулке, то золотую шкатулку изготовил ЧеллиниШкатулку, в которой лежит драгоценный камень, изготовил ЧеллиниВ какую шкатулку патриций положил драгоценный камень?

Б. Пары шкатулок

В некоторых музеях шкатулки экспонируются парами. Именно так — в комплекте из одной золотой и одной серебряной шкатулок — их некогда изготовляли и продавали. Род Беллини был связан с семейством Челлини узами крепкой дружбы, и нередко над созданием одного комплекта из двух шкатулок Беллини и Челлини трудились сообща. Разумеется, каждую шкатулку делал только один мастер, но золотая и серебряная шкатулки даже в одном комплекте могли быть работы различных мастеров. Знаменитые мастера любили украшать свои шедевры надписями, по которым сообразительные потомки могли полностью или хотя бы частично определить, кто изготовил ту или иную шкатулку. Искусствоведы подсчитали, что существует 16 вариантов атрибуции шкатулок в каждом комплекте: золотую шкатулку мог изготовить Беллини, сын Беллини, Челлини и сын Челлини, причем в каждом случае любой из четырех мог оказаться создателем серебряной шкатулки.

132.

В одном музее мне довелось увидеть пару шкатулок, украшенных следующими надписями:

На золотойНа серебрянойОбе шкатулки в этом комплекте изготовлены членами семейства ЧеллиниНи одна из этих шкатулок не была изготовлена ни сыном Беллини, ни сыном ЧеллиниЧьей работы каждая из двух шкатулок?

133.

В другой раз мне случилось видеть пару шкатулок с надписями:

На золотойНа серебрянойЕсли эту шкатулку изготовил кто-нибудь из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку изготовил ЧеллиниЗолотую шкатулку сделал сын БеллиниЧьей работы каждая из двух шкатулок?

134.

Перед вами пара шкатулок с надписями на крышках;

На золотойНа серебрянойСеребряную шкатулку сделал сын БеллиниЗолотую шкатулку изготовил не сын БеллиниДокажите, что по крайней мере одна из этих двух шкатулок работы Беллини.

135.

Перед вами пара шкатулок с надписями:

На золотойНа серебрянойСеребряную шкатулку изготовил ЧеллиниЗолотую шкатулку изготовил не ЧеллиниДокажите, что по крайней мере одна из этих двух шкатулок работы сына Челлини.

136.

Взгляните теперь на две шкатулки, украшенные следующими надписями:

На золотойНа серебрянойСеребряную шкатулку изготовил сын БеллиниЗолотую шкатулку изготовил сын ЧеллиниДокажите, что по крайней мере одну из этих двух шкатулок изготовил либо Беллини, либо Челлини.

137.

История, о которой пойдет речь в этой задаче, поистине удивительна. Однажды я увидел две шкатулки, золотую и серебряную, и мне захотелось узнать, не была ли по крайней мере одна из них изготовлена Беллини. Прочитав надпись на одной шкатулке, я не смог вывести из нее, что по крайней мере одна из двух привлекших мое внимание шкатулок изготовлена Беллини. Каково же было мое изумление, когда, взглянув на надпись, украшавшую крышку другой шкатулки, я обнаружил, что она ничем не отличается от первой надписи. Но еще большее удивление охватило меня, когда выяснилось, что, прочитав вторую надпись, я мог утверждать со всей определенностью: «Обе шкатулки работы Беллини».

Какие надписи, по-вашему, могли украшать крышки шкатулок?

138.

В другой раз мне довелось видеть две шкатулки с одинаковыми надписями на крышках. Зная обе надписи, я смог прийти к заключению, что обе шкатулки изготовлены Челлини, хотя надпись на каждой шкатулке в отдельности не позволяла утверждать, что даже одна шкатулка изготовлена Челлини.

Какая надпись была, по-вашему, выгравирована на крышках шкатулок?

139.

Однажды мне довелось видеть две шкатулки с одинаковыми надписями на крышках. Из надписей следовало, что обе шкатулки были изготовлены одним мастером: либо Беллини, либо Челлини, но определить, кто из двух мастеров сделал их, было невозможно. Более того, надпись на одной шкатулке не позволяла прийти даже к такому заключению.

Какая надпись выгравирована на крышках шкатулок?

140.

Особенно высоко ценятся пары шкатулок, удовлетворяющие следующим условиям:

1) Из надписей на крышках можно заключить, что одна из шкатулок изготовлена Беллини, а другая — Челлини, но невозможно определить, какая из шкатулок чьей работы.

2) Надпись на крышке любой из двух шкатулок сама по себе не позволяет прийти к заключению, что шкатулки изготовлены либо Беллини, либо Челлини.

Однажды мне посчастливилось увидеть такую пару. (Насколько я могу понять, это была единственная в своем роде пара шкатулок.) Какие надписи могли, по-вашему, украшать крышки шкатулок?

141. Необыкновенное приключение.

В юности, еще до женитьбы, мне довелось побывать во Флоренции. Проглядывая от нечего делать какую-то местную газету, я неожиданно заметил объявление: «Срочно требуется логик» (к счастью, оно было напечатано на английском языке, так как итальянским я совершенно не владею). Из любопытства я отправился в музей, поместивший объявление, и там узнал, что логик понадобился для решения сложной проблемы. Дело в том, что сотрудники музея разыскали четыре шкатулки: две золотые и две серебряные. По ряду признаков удалось установить, что некогда шкатулки составляли два комплекта, но впоследствии их перемешали, и никто не мог сказать, какие шкатулки образуют пару. Я получил разрешение взглянуть на шкатулки и довольно быстро установил, какие из них входят в один комплект, за что мне было выплачено солидное вознаграждение. Кроме того, мне удалось установить, кто из мастеров изготовил каждую шкатулку, за что благодарная дирекция музея выплатила мне дополнительное вознаграждение (в качестве премии я, помимо всего прочего, получил целый ящик превосходного кьянти), а одна из красивейших девушек Флоренции в знак благодарности поцеловала меня[4].

Вот какие надписи были выгравированы на крышках четырех шкатулок:

На шкатулке A из золотаНа шкатулке B из золотаНа шкатулке C из серебраНа шкатулке D из серебраСеребряную шкатулку изготовил кто-то из семейства ЧеллиниЛибо серебряную шкатулку изготовил кто-то из семейства Челлини, либо обе шкатулки сделал БеллиниЗолотую шкатулку изготовил кто-то из семейства БеллиниЗолотую шкатулку изготовил кто-то из семейства Беллини, и по крайней мере одну из шкатулок сделал либо сын Беллини, либо сын ЧеллиниВозникают два вопроса.

а) Какая шкатулка была изготовлена в комплекте со шкатулкой A: C или D?

б) Чьей работы каждая из четырех шкатулок?

Решения

127. Шкатулка работы Беллини. Действительно, если бы ее сделал один из сыновей Беллини, то высказывание, выгравированное на крышке шкатулки, было бы ложным, что невозможно. Если бы шкатулка была работы либо Челлини, либо сына Челлини, то высказывание было бы истинным, что также невозможно. Следовательно, шкатулку изготовил Беллини.

128. На крышке шкатулки достаточно было бы выгравировать надпись: «Эту шкатулку изготовил сын Челлини».

129. «Эта шкатулка изготовлена либо Беллини, либо сыном Челлини».

130. Высказывание, выгравированное на крышке шкатулки, очевидно, истинно. Следовательно, шкатулку мог сделать либо Беллини, либо сын Беллини.

131. Первый шаг. Предположим, что свинцовая шкатулка работы Беллини. Тогда выгравированное на ней утверждение истинно, поэтому драгоценный камень находится в шкатулке, изготовленной Челлини. Следовательно, эта шкатулка не может быть свинцовой. Предположим теперь, что свинцовую шкатулку сделал Челлини. Тогда выгравированное на ее крышке утверждение ложно, поэтому драгоценный камень находится в шкатулке работы Беллини. Значит, и в этом случае патриций положил драгоценный камень не в свинцовую шкатулку. Тем самым доказано, что в свинцовой шкатулке драгоценного каменя нет и не может быть.

Второй шаг. Затем мы устанавливаем, что и в серебряной шкатулке драгоценного камня нет. Если бы драгоценный камень находился в серебряной шкатулке, то мы бы пришли к следующему противоречию.

Пусть патриций положил драгоценный камень в серебряную шкатулку. Предположим, что золотая шкатулка изготовлена Беллини. Тогда выгравированное на ее крышке утверждение истинно, а поскольку (по предположению) драгоценный камень находится в серебряной шкатулке, то серебряная шкатулка работы Беллини. Отсюда следует, что золотую шкатулку изготовил Челлини. Итак, если золотая шкатулка работы Беллини, то ее изготовил Челлини!

Предположим теперь, что золотую шкатулку сделал Челлини. Тогда утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно. Следовательно, серебряную шкатулку изготовил не Беллини. Значит, ее сделал Челлини. Но тогда утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно, из чего мы заключаем, что золотая шкатулка работы Беллини. Итак, если золотая шкатулка изготовлена Челлини, то ее сделал Беллини, что невозможно.

Полученные противоречия доказывают, что драгоценного камня нет и не может быть и в серебряной шкатулке. Следовательно, патриций положил его в золотую шкатулку.

132. Утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, не может быть истинным, так как в противном случаемы пришли бы к противоречию. Значит, золотая шкатулка изготовлена кем-то из семейства Челлини. Так как надпись на золотой шкатулке ложна, то обе шкатулки не могли быть изготовлены членами семейства Челлини. Следовательно, серебряную шкатулку сделал кто-то из семейства Беллини. Значит, утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, истинно, поэтому ни одна из шкатулок не была выполнена ни сыном Беллини, ни сыном Челлини. Следовательно, золотую шкатулку изготовил Челлини, а серебряную — Беллини.

133. Напомним, что если любой житель острова рыцарей и лжецов заявляет: «Если я рыцарь, то то-то и то-то истинно», то этот житель должен быть рыцарем, а «то-то и то-то» должно быть истинно. Исходя из аналогичных соображений докажем, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно.

Предположим, что золотая шкатулка изготовлена кем-то из семейства Беллини. Тогда надпись на ее крышке истинна: «Если эту шкатулку изготовил кто-нибудь из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку изготовил Челлини». Но золотую шкатулку (по предположению) изготовил либо отец, либо сын из семейства Беллини. Значит, серебряную шкатулку сделал Челлини. Итак, мы доказали, что если золотую шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку сделал Челлини[5]. Иначе говоря, мы доказали, что на крышке золотой шкатулки выгравировано истинное утверждение. Следовательно, золотая шкатулка действительно изготовлена кем-то из членов семейства Беллини. Поскольку ранее нами установлено, что если золотую шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Беллини, то серебряную шкатулку сделал Челлини. Полученный вывод относительно атрибуции (как говорят искусствоведы) золотой шкатулки позволяет прийти к заключению, что серебряная шкатулка изготовлена Челлини. Значит, надпись на крышке серебряной шкатулки ложна, поэтому золотую шкатулку сделал не сын Беллини. Но золотая шкатулка изготовлена кем-то из членов семейства Беллини. Следовательно, ее сделал Беллини. Итак, золотая шкатулка работы Беллини, а серебряная — Челлини.

134. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда серебряную шкатулку изготовил сын Беллини. Значит, утверждение, украшающее крышку серебряной шкатулки, истинно. Следовательно, золотую шкатулку изготовил не сын Беллини, а так как на ее крышке выгравировано истинное утверждение, то золотую шкатулку должен был сделать Беллини.

Предположим теперь, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно. Это означает, что серебряную шкатулку сделал не сын Беллини. Тем не менее утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, должно быть Истинным (так как ложное утверждение на крышке золотой шкатулки не мог выгравировать сын Беллини). Следовательно, серебряную шкатулку изготовил Беллини.

Итак, если надпись на крышке золотой шкатулки верна, то золотую шкатулку изготовил Беллини. Если надпись на золотой шкатулке не верна, то серебряная шкатулка работы Беллини.

135. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, истинно. Поскольку оно истинно, то серебряную шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Беллини. Значит, утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки («Серебряную шкатулку изготовил Челлини»), должно быть ложным. Но поскольку (по предположению) надпись на крышке серебряной шкатулки верна, то золотую шкатулку изготовил не Челлини. Итак, на крышке золотой шкатулки выгравировано ложное утверждение, но шкатулку сделал не Челлини. Значит, золотую шкатулку изготовил сын Челлини.

Предположим теперь, что утверждение, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно. Это означает, что золотую шкатулку сделал Челлини. Следовательно, надпись на ее крышке ложна, и серебряную шкатулку изготовил не Челлини. Итак, на крышке серебряной шкатулки выгравировано ложное утверждение, но сделал эту шкатулку не Челлини. Значит, серебряную шкатулку изготовил сын Челлини.

136. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда должна быть верной и надпись на крышке серебряной шкатулки, а это означало бы, что надпись на крышке золотой шкатулки не верна. Полученное противоречие доказывает, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно. Из него следует также, что серебряную шкатулку изготовил не сын Беллини. Значит, если надпись на крышке серебряной шкатулке не верна, то золотую шкатулку изготовил не сын Челлини, но так как утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно, то золотую шкатулку сделал Челлини.

Итак, если на крышке серебряной шкатулки выгравировано истинное утверждение, то серебряную шкатулку сделал Беллини. Если же это утверждение ложно, то золотую шкатулку сделал Челлини. Итак, мы доказали, что либо серебряную шкатулку изготовил Беллини, либо золотую шкатулку изготовил Челлини.

137. Эта задача, как и следующие три задачи, допускает много решений. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы украсить крышки шкатулок надписью: «Либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну из них сделал кто-то из членов семейства Челлини».

Ни отец, ни сын Челлини в этом случае не могли изготовить, ни одной из двух шкатулок, поскольку какую бы шкатулку они ли сделали, надпись на ее крышке оказалась бы верной, что невозможно. Следовательно, обе шкатулки изготовлены членами семейства Беллини. Значит, утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, истинны, поэтому либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одна шкатулка сделана кем-то из семейства Челлини. Последняя альтернатива ложна. Значит, обе шкатулки изготовлены Беллини.

138. Одно из решений состоит в следующем. На крышках шкатулок было выгравировано: «По крайней мере одна из этих шкатулок изготовлена сыном Челлини». Если бы эти утверждения были истинны, то по крайней мере одна шкатулка была бы работы сына Челлини. Но это невозможно, так как сын Челлини не гравирует на крышках своих шкатулок истинные утверждения. Следовательно, оба утверждения «по крайней мере одна из этих шкатулок изготовлена сыном Челлини» ложны. Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена сыном Челлини, из чего мы заключаем, что обе шкатулки сделал Челлини.

139. Крышки шкатулок могли бы украшать, например, такие надписи: «Либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну шкатулку сделал сын Челлини».

Докажем, что если эти надписи верны, то обе шкатулки изготовлены Беллини, а если не верны, то обе шкатулки изготовлены Челлини.

Предположим, что утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, истинны. Тогда (в соответствии с надписями) либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну из них изготовил сын Челлини. Последняя альтернатива отпадает (сын Челлини не мог бы выгравировать на крышке шкатулки своей работы истинное утверждение). Следовательно, обе шкатулки должны быть работы Беллини.

Предположим, что утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, ложны. В этом случае обе альтернативы, входящие в дизъюнкцию, ложны. В частности, ложна вторая альтернатива (утверждающая, что по крайней мере одну из шкатулок изготовил сын Челлини). Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена сыном Челлини. Поскольку оба утверждения все же ложны, то обе шкатулки были сделаны Челлини.

140. Одно из возможных решений состоит в следующем.

Надпись на крышке золотой шкатулки: «Эти шкатулки изготовлены Беллини и Челлини в том и только в том случае, если серебряную шкатулку изготовил член семейства Челлини».

Надпись на крышке серебряной шкатулки: «Золотую шкатулку изготовил член семейства Челлини».

Пусть P — утверждение о том, что шкатулки изготовлены Беллини и Челлини, а Q — утверждение о том, что серебряную шкатулку сделал член семейства Челлини. Надпись на крышке золотой шкатулки сообщает нам, что P эквивалентно Q, а из надписи на крышке серебряной шкатулки мы узнаем, что золотую шкатулку изготовил лжец, вследствие чего надпись на ее крышке ложна. Следовательно, одна из двух надписей истинна, а другая ложна.

Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда (поскольку мы доказали, что одна из двух надписей истинна, а другая ложна) надпись на серебряной шкатулке должна быть ложной. Значит, серебряную шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Челлини, поэтому Q истинно. Кроме того, так как надпись на золотой шкатулке истинна, P действительно эквивалентно Q. Следовательно, P должно быть истинно (так как Q истинно).

Предположим теперь, что надпись на золотой шкатулке ложна. Тогда надпись на серебряной шкатулке истинна. Следовательно, серебряная шкатулка не может быть работы Челлини, поэтому Q ложно и, кроме того, P не эквивалентно Q. Значит, и в этом случае P истинно.

Итак, независимо от принятых нами предположений P должно быть истинно, то есть одна из шкатулок изготовлена Беллини, а другая — Челлини.

141. Шкатулка A входит в один комплект со шкатулкой D, так, если бы мы попытались составить комплект из шкатулки A и шкатулки C, то пришли бы к следующему противоречию.

Предположим, что в одном комплекте со шкатулкой A была изготовлена шкатулка C. Пусть надпись на крышке шкатулки A истинна. Тогда надпись на крышке шкатулки C ложна. Но тогда ложна и надпись на крышке A, и мы приходим к противоречию. Пусть теперь надпись на крышке шкатулки A ложна. Тогда надпись на крышке шкатулки C истинна, из чего следует, что надпись на шкатулке A должна быть истинной, и мы опять приходим к противоречию. Значит, шкатулка C не входит в один комплект со шкатулкой A. Тем самым первая часть задачи решена.

Рассмотрим теперь пару шкатулок B и C. Предположим, что надпись на крышке C ложна. Тогда шкатулка B изготовлена кем-то из членов семейства Челлини, поэтому надпись на ее крышке ложна. Это означает, что ни одна из двух входящих в нее альтернатив не истинна. В частности, ложна первая альтернатива, а это означает, что шкатулку C изготовил кто-то из членов семейства, Беллини. Итак, если утверждение, выгравированное на крышке C, ложно, то шкатулку C сделал кто-то из членов семейства Беллини, что невозможно. Значит, надпись на крышке шкатулки C истинна, в силу чего надпись на крышке шкатулки B также истинна (так как надпись на C сообщает нам, что шкатулка B изготовлена кем-то из членов семейства Беллини). Но первая альтернатива, входящая в утверждение, выгравированное на крышке шкатулки B, не может быть истинной, поэтому истинна вторая альтернатива. Итак, шкатулки B и C изготовлены Беллини.

Рассмотрим теперь комплект шкатулок A и D. Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке шкатулки A, ложно. Тогда шкатулка D сделана членом семейства Беллини. Следовательно, выгравированное на ней утверждение истинно. Это означает, что шкатулку A изготовил кто-то из членов семейства Беллини, и мы приходим к противоречию. Итак, надпись на шкатулке A истинна, из чего мы заключаем, что надпись на шкатулке D ложна. Следовательно, по крайней мере одна из входящих в нее альтернатив ложна. Первая альтернатива истинна (гак как истинно утверждение, выгравированное на крышке шкатулки A). Значит, ложна вторая альтернатива. Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена ни сыном Беллини, ни сыном Челлини. Следовательно, шкатулку A сделал Беллини, а шкатулку D — Челлини.