Кратко о развитии геометрии в Древней Греции до Евклида

Ученые и философы Древней Греции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Востока. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Милетского, основателя ионийской школы. Ионийцы, населявшие территорию, которая граничила с восточными странами, первыми заимствовали знания Востока и стали их развивать. Ученые ионийской школы впервые подвергли логической обработке и систематизировали математические сведения, позаимствованные у древневосточных народов, в особенности у вавилонян. Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки приписывают немало геометрических открытий. Об отношении Пифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к “Началам” Евклида следующее: “Он изучал эту науку (т. е. геометрию), исходя от первых ее оснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления”. Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы, еще построение пяти правильных многогранников:

1) тетраэдр, имеющий 4 грани, 4 вершины, 6 ребер;

2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер

3) октаэдр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;

4) додекаэдр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;

5) икосаэдр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.

Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник - фигуру, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.

Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пифагора не сохранилось. Ему приписывается создание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.

В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное 5,2. Число это не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio - отношение).

Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие о числе как основе всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа - число - не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения. Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теория отношений Евдокса.

Постулаты Евклида

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

«Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,

Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2. Линия есть длины без ширины

Определение 3. Границы линии суть точки.

Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

Постулаты

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.

Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Александрийская школа.

Герон Александрийский

К числу представителей Александрийской школы в начале второго периода ее существования надо отнести Герона Александрийского, жившего, вероятно, в I в. до н. э. Герон был выдающимся греческим инженером и ученым. Он известен многими своими изобретениями, работами геодезического характера, а также ма­тематическими работами, относящимися главным образом к вопросам геометри­ческой метрики. Из его работ, имеющих значение для математики, можно отме­тить «Метрику» и «О диоптре». В «Метрике» приводятся правила и указания для точного и приближенного вычисления площадей и объемов различных фигур и тел; среди них имеется и формула для определения площади треугольника по трем его сторонам, вошедшая в математику под именем формулы Герона. Кроме того, в этой работе указываются примеры решения квадратных уравнений и приближен­ного вычисления квадратных и кубических корней. Характерной особенностью «Метрики», выделяющей ее из ряда работ других греческих геометров, предшест­вовавших Герону, служит то обстоятельство, что в ней обычно правила даются без доказательств, а лишь выясняются на отдельных примерах. Это значительно снижает достоинства работы и, несомненно, является признаком недостаточной научной подготовки её автора. Но в области практических, приложений матема­тики Герон превосходит многих своих предшественников. Лучшей иллюстрацией этого является его работа «О диоптре». В этом труде излагаются методы различ­ных ра­бот геодезического характера, причем землемерная съемка производится с помо­щью изобретенного Героном прибора диоптры. Этот прибор является прооб­разом современного теодолита. Главной его частью служила линейка с укреплен­ными на концах ёе визирами. Эта линейка вращалась по кругу, который мог зани­мать и го­ризонтальное, и вертикальное положение, что давало возможность наме­чать на­правления как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Для пра­вильно­сти установки прибора к нему присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя фактически в употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе недоступны наблюдателю; провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой линии; найти разность уровней между двумя пунктами; измерить площадь простейшей фигуры, не вступая на из­меряе­мую площадку.

Сочинения Герона давали его современникам богатый материал, практиче­ское использование которого вполне удовлетворяло вопросам строительства и земледелия, а потому эти сочинения пользовались большим успехом в продолже­ние многих столетий.

Никомах, Менелай

В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, из­ложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изу­чение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чи­сел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мис­тику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха яв­ляется раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, ука­зание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 1³ = 1; 2³ = 3 + 5; 3³ = 7 + 9 + 11; 4³ = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.

Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Алек­сандрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Мене­лая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь пря­мая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произве­дение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».

Клавдий Птолемей

Ко II в. относится деятельность Клавдия Птолемея. Оп работал главным об­разом в области астрономии, причем его астрономические наблюдения относятся ко времени между 125 и 151 г. (Как астроном Птолемей разработал геоцентриче­скую систему мира, согласно которой Земля неподвижно покоится в центре мира, а все не­бесные светила движутся вокруг нее. Эта система была опровергнута Н. Копер­ником в его гелиоцентрической системе мира, полагающей, что центром Вселен­ной является Солнце, вокруг которого обращаются Земля и другие пла­неты, при­чем все планеты вращаются вокруг своих осей.) В своих работах он не­вольно сталкивался с понятиями тригонометрического характера, а потому ему удалось внести значительный вклад и в развитие тригонометрии. В своих астро­номических работах Птолемей уже не разделял часы на дневные и ночные, как это делали египтяне, а считал их равными по своей продолжительности. Окружность он разделял на 360 градусов и каждый градус делил еще пополам. Диаметр же ок­ружности он делил на 120 градусов, полагая, таким образом, что длина окружно­сти в 3 раза больше ее диаметра; при этом каждый градус диаметра подразделял на 60 равных частей, а каждую из этих частей вновь разделял на 60 частей. В бо­лее позднее время эти подразделения градуса получили у римлян наименования partes minutae primae и partes minutae sekundae, что в переводе означает «части меньшие первые» и «части меньшие вторые». От этих латинских слов нами и за­имствованы названия для единиц измерения углов и времени — минута и секунда.

Главная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в XIII книгах» или сокращенно «Мэгистэ» (в пер. с греч. «величай­шая»). В историю она вошла под названием «Альмагест», которое дали ей впо­следствии арабы.

В «Альмагесте» Птолемей вычисляет величины хорд всех дуг от 0° до 180^о, причем значения хорд даны для дуг через каждую ½°. Для выполнения этой ра­боты Птолемей вводит свою теорему, которая в истории математики носит назва­ние теоремы Птолемея и формулируется так: произведение длин диагоналей впи­санного в круг четырехугольника равно сумме произведений длин его противопо­ложных сторон. Из этой теоремы Птолемей подучил следствия, позволяющие по данному диаметру окружности и по двум хордам, стягивающим дуги a и b, вы­числить хорды, стягивающие дуги a + b и a - b. Пользуясь полученными соотно­шениями, а также используя уменье вычислять стороны вписанных в круг пра­вильных фигур (треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника и деся­тиугольника), Птолемей и составил свою таблицу хорд, предшественницу совре­менных таблиц синусов.

В истории математики Птолемей известен также тем, что он первый усом­нился в очевидности постулата Евклида о параллельных прямых и делал попытки доказать его справедливость, тем самым положив начало длинному ряду подоб­ных же попыток позд­нейших геометров, пока Лобачевский не показал безуспеш­ность таких доказательств, разъяснив их невозможность.

Папп

Последним крупным геометром Александрийских школ следует признать геометра III в. Паппа. Ему принадлежало, как полагают значительное число сочи­нений, из которых сохранилось лишь «Математическое собрание», да и то не в полном виде (из восьми книг этого сборника полностью утрачена первая и не хва­тает части второй).

«Математическое собрание» Паппа имеет для истории математики большое значение: оно содержит обзор трудов предшественников Паппа, развивает некото­рые их идеи, комментирует эти труды. Благодаря этому для нас сохранились све­дения о многих математических работах древних, которые не дошли в подлинни­ках до нашего времени. Кроме того, в работе Паппа имеются и некоторые новые и оригинальные открытия. Так как Папп не всегда называет авторов приводимых им теорем, то нам трудно судить, какие теоремы принадлежат ему самому и какие - другим авторам. Но по отношению к некоторым из них считают несомненным, что они принадлежат Паппу. Многие из этих теорем имеют значительный теоре­тический и практический интерес. Теорема Паппа об инволю­ции точек читается так: «Если на двух прямых, лежащих в одной плоскости, взять по три точки: на первой прямой точки 1, 5 и 3, а на второй—2, 4 и 6, то точки пересечения пар пря­мых 1—2 и 4—5, 2—3 и 5—6, 3—4 и 6— 1 лежат на одной прямой МN (рис. 1).

Большое применение имеет теорема, которая впоследствии была переоткрыта Паулем Гюльденом (1577—1643), а потому и носит имя последнего: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг какой-нибудь лежащей в ее плоскости прямой, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной при вращении ее центром тяжести. Интересна предложенная и изучен­ная Паппом спираль, которая описывается точкой, движущейся вдоль дуги чет­верти окружности, когда эта дуга вращается около диаметра. Из других теорем, доказанных Паппом, приведем ещё такие: «Центр тяжести треугольника принад­лежит также другому треугольнику, вершины которого лежат на сторонах данного и разделяют эти стороны в одном и том же отношении»; «Прямая, соединяющая противоположные концы параллельных диаметров двух кругов, имеющих внеш­нее касание, проходит через точку касания». Паппу приписывается также решение задачи о проведении через той точки, лежащие на одной прямой, трех прямых, об­разующих треугольник, вписанный в данный круг.

Диофант

К числу александрийских ученых относятся алгебраист Диофант, живший, вероятно, в III в. Жил он 84 года. Последнее сведение почерпнуто из эпиграммы некоего Метродора, помещенной в так называемой «Греческой антологии». Со­держание эпиграммы таково:

«Диофант прожил 1/6 своей жизни в детстве, 1/12 в юности, следующую за­тем 1/7 часть своей жизни был холостяком; через 6 лет после женитьбы у него ро­дился сын, который умер на 4 года ранее своего отца и дожил до возраста, вдвое меньшего, чем лета его отца».

Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда геометрическая терминоло­гия. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подхо­дит с особым методом. Это выявляет огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда- Из 13 книг «Арифме­тики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем ос­новное внимание обращает на не­определенные уравнения.

Алгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «син­копированной алгебры», то есть к тому времени, ко­гда в алгебр переходили от чисто риторического изложения (то есть словесного) к использованию более крат­ких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изо­бражения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S', а когда это неиз­вестное употребляется во множественном числе, то упомяну­тое обозначение уд­ваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синко­пированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак, а для ра­вен­ства — буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а чи­сло­вые коэффициенты — после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда приходилось ум­ножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользо­вался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает при­бавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

При решении уравнений Диофант признавал только положительные ра­цио­нальные ответы, и притом для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело два рациональных и положитель­ных корня. Ка­ким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно, так как в сохранив­шихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравне­ния 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим обра­зом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по од­ному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант достигал того, чего мы до­биваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвест­ных — в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние матема­тики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.

Теон и Гипатия

Учеными, завершившими цикл математиков Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия (370—415).

Теон проделал большую работу, комментируя труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам историков, она обладала большими зна­ниями в области математики и философии и комментировала труды Архимеда. Диофанта и Аполлония. Она является первой известной в истории математики женщиной-математиком. Ей принадлежат также философские труды по толкова­нию Платона, Аристотеля я других греческих философов. До нашего времени не сохранилось ни одного из трудов Гипатии. Высокая ученость и красноречие, кото­рыми обладала Гипатия, ее деятельное участие в общественных делах города соз­дали ей популярность в Александрии, но вместе с тем вызвали ненависть со сто­роны христианских религиозных фанатиков к ученой «язычнице». В 415 г. она по подстрекательству епископа Кирилла была растерзана толпой христианских изу­веров. Последователи и ученики Гипатии, которым удалось спастись от преследо­вания, бежали в Афины.