Прямое (декартово) произведение множеств
Любым двум объектам а и b поставим в соответствие их упорядоченную пару (а, b). Элемент а- первая координата (компонента) упорядоченной пары, элемент b- вторая координата.
Упорядоченные пары (а, b) и (с, d) называют равными, если а=с и b=d, в частности, (а, b)=(b, а) тогда и только тогда, когда а=b.
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое A B (читается «А прямо на В»), которое состоит из всех упорядоченных пар вида (a,b), где элемент а пробегает все множество А, элемент b пробегает все множество В, т.е. А В= .
Пример 1. Пусть A= , B= . Найти A B, B A.
Решение:
, т. е. операция не является коммутативной.
.
Определение 12. Упорядоченная n-ка вида (a1,a2,..,an) называется кортежем длины n.
Определение 13. Прямым (декартовым) произведением n множеств называется множество , состоящее из всех кортежей ( ) длины n таких, что , то есть
Для целого положительного числа n и множества А обозначают n-я декартова степень множества А.
В частности, - декартов квадрат множества A.
Пусть Ai , , - совокупность множеств. Тогда - декартово произведение множеств Ai , .