Вписанные и описанные четырехугольники

Равенство треугольников

· Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны (первый признак равенства треугольников – по двум сторонам и углу между ними)

· Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (второй признак равенства треугольников – по стороне и двум к ней прилежащим углам)

· Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников – по трем сторонам)

Подобие треугольников

· Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны (первый признак подобия треугольников – по двум углам)

· Если в двух треугольниках две пары сторон пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны (второй признак подобия треугольников – по двум сторонам и углу между ними)

· Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны (третий признак подобия треугольников – по трем сторонам):

· Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответственные стороны (обобщенная теорема подобия). В частности, радиусы описанной или вписанной окружностей, периметры, со- ответственные высоты, медианы, биссек- трисы двух подобных треугольников от- носятся как соответственные стороны

Площадь треугольника

· Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту

· Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними: S = a*b*sinÐC.

· Площадь треугольника равна S = (p( p - a)(p - b)(p - c))^(1/2), где p = полупериметр (формула Герона).

· Площадь треугольника равна S = pr , где r – радиус вписанной в треугольник окружности, p – полупериметр.

· Площадь треугольника равна S=abc/4R , где R - радиус описанной около треугольника окружности

· Если треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k

Прочее

· Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны

· Параллельные прямые отсекают на сторонах угла (на двух прямых) пропорциональные отрезки (обобщенная теорема Фалеса).

· Две параллельные прямые, пересекаемые рядом прямых, исходящих из одной и той же точки, рассекаются ими на пропорциональные отрезки

· Если при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей):

а) внутренние накрест лежащие углы равны;

б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°;

в) соответственные углы равны, то прямые параллельны (признаки параллельности двух прямых)

· Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то:

а) внутренние накрест лежащие углы равны;

б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°;

в) соответственные углы равны (обратные теоремы)

Медиана

· Во всяком треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

· В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

· Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы, а также радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

· Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

· Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников

· Если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, то

S AMC = S BMC = S AMB =(1/3) * S ABC

Высота

· Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр)

· Высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на 2 подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному.

· В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой

· Свойства перпендикуляра и наклонной. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то:

а) любая наклонная больше перпендикуляра;

б) равные наклонные имеют равные проекции (и обратно);

в) из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (и обратно).

· Свойство серединного перпендикуляра. Если какая-нибудь точка лежит на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка, то она одинаково удалена от концов этого отрезка (и обратно)

· Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам

Биссектриса

· Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (свойство биссектрисы угла)

· Во всяком треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности.

· Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (свойство биссектрисы треугольника)

· В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

· Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны

Окружности

· Во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр окружности, вписанный в треугольник, лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

Вневписанной в треугольник окружностью называется окружность, к которой являются касательными одна из сторон треугольника и продолжения двух его других сторон

· Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, имеющей длину a, выражается формулой:

r=S/(p-a)

где S и p – площадь и полупериметр треугольника.

· Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника.

· Во всяком треугольнике отношение любой стороны к синусу противоположного ей угла постоянно и равно диаметру описанной около треугольника окружности (обобщенная теорема синусов)

· В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC.

· В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника:
AK = p.

2) Окружность и круг

· Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.

· Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам

· Длины касательных, проведенных из одной точки вне круга к окружности, равны между собой

· Через точку, лежащую на окружности, можно провести лишь одну касательную к этой окружности.

· Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

· Если через точку M вне окружности провести две секущие, то произведения длин секущих на их внешние части будут равны (теорема о секущей)

· Если через точку M вне окружности провести секущую и касательную, то произведение длины секущей на ее внешнюю часть будет равно квадрату длины касательной (теорема о секущей и касательной)

· Если через точку M внутри окружности провести две пересекающиеся хорды AD и BC, то произведения отрезков этих хорд будут равны (теорема о хордах)

· Величина вписанного угла равна половине дуги, заключенной внутри угла

· Угол, составленный касательной и хордой, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой

· Угол (составленный пересекающимися хордами) с вершиной внутри окружности равен полусумме соответствующих дуг

· Угол, составленный секущими к окружности, с вершиной вне окружности равен полуразности соответствующих дуг

· Формула длины окружности: L = 2pR , где R – радиус окружности, p– постоянная, не зависящая от окружности

· Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r =O1O2.

· Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2.

· Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

Многоугольники

· Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n - 2), или p(n - 2) радиан.

· Площадь любого четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними.

· Внутренний угол правильного многоугольника равен 180*(n-2)

· Пусть a – длина стороны правильного n-угольника, S – его площадь, r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей. Эти величины связаны фор- мулами:

S=n*a*r/2

a=2*R*sin(П/n)

r=R*cos(П/n)

Параллелограмм– это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны попарно равны.

2. Противоположные углы попарно равны.

3. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

5. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

7. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

8. Две диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника.

9. Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.

10. Высоты обратно пропорциональны соответственным сторонам.

11. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 12. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

13. Середина любого отрезка с концами на противоположных сторонах параллелограмма лежит на прямой, проходящей через середины двух других сторон.

Ромб -– это параллелограмм, у которого все стороны равны

1. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

4. Диагонали ромба являются его осями симметрии.

5. Высоты ромба равны.

6. В ромб можно вписать окружность.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
1. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

2. Диагонали прямоугольника равны.

3. Около прямоугольника можно описать окружность.

4. Радиус описанной окружности равен R = d/2, где d – диагональ прямоугольника.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны (основания) которого параллельны, а две другие (боковые стороны) – не параллельны.

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна полусумме оснований

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

2. Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

3. Средняя линия трапеции делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам.

4. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны друг другу, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, т.е. имеют равные площади

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основании равны между собой.

2. Диагонали равны.

3. Проекция диагонали на большее основание равна средней линии.

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна средней линии и площадь трапеции равна квадрату высоты.

Вписанные и описанные четырехугольники

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны друг другу

Центр окружности вписанной в четырехугольник, лежит в точке пересечения биссектрис всех внутренних углов данного четырехугольника

Около четырехугольника можно описать окружность в том и только том случае, если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180°.