Лінійні операції над векторами

Елементи векторної алгебри

Векторні і скалярні величини

Означення 1. Величини, які цілком характеризуються їхніми числовими значеннями, називають скалярними величинами (температура, густина , об’єм та ін.).

Означення 2. Величини, які характеризуються не тільки їхніми числовими значеннями, а і напрямом, називають векторними величинами(переміщення, швидкість, прискорення, сила та ін).

Скалярні величини задаються за допомогою дійсних чисел або зображаються у вигляді точок числової осі.

Для зображення векторних величин застосовують вектори.

Означення 3. Вектором називають відрізок, що сполучає дві задані точки простору, причому зазначається, яка з них є початком, а яка кінцем. За напрям вектора вибирають напрям від його початку до кінця. Напрям вектора, як правило, позначають стрілкою, яка ставиться в кінці вектора (рис.1).

A B

Рис. 1

Позначають вектор або однією півжирною буквою, або однією чи двома світлими буквами із стрілочкою над ними: a, , . Якщо вектор позначений двома буквами, то перша позначає його початок, а друга – його кінець.

Означення 4. Довжину відрізка, який зображує вектор, називають модулемвектора. Модуль вектора позначають так .

Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, то вектор називають одиничним вектором і його часто позначають через .

Означення 5. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називаютьнуль-векторомі позначають .

Модуль цього вектора дорівнює нулю, а його напрям невизначений.

Означення 6.Вектори, які лежать на одній прямій або паралельних прямих, називаютьколінеарними(рис. 2).

Рис. 2

Означення 7. Вектори називаються рівними, якщо вони мають рівні модулі, а напрями співпадають.

Це записують так: .

Означення 8. Два вектори називають протилежними, якщо вони протилежно направлені і мають одинакові модулі.

Це записують так: або .

Означення 9. Вектори, які лежать в одній площині або в паралельних площинах, називають компланарними (рис. 3).

Рис.3

Лінійні операції над векторами

Додавання векторів.Сумою двох векторів і називають такий третій вектор , який сполучає початок вектора і кінець вектора при умові суміщення кінця вектора і початку вектора .

Коротко записують .

За означенням суми двох векторів випливає, що вектор можна знайти як діагональ паралелограма, побудованого на векторах і , як на сторонах (рис 4). Таке правило додавання двох неколіне арних векторів називають правилом паралелограма.

=

Рис. 4

Віднімання векторів. Різницею двох векторів називають такий третій вектор , який треба додати до вектора , щоб дістати вектор , тобто , якщо (рис. 5).

Рис. 5

Множення вектора на число.Добутком m або m вектора на числоm називається новий вектор, довжина якого дорівнює , а напрямок співпадає з напрямком при m>0 и протилежно ,якщо m<0.

Означення 10. Одиничним вектором вектора, або його ортом, називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці і який має той самий напрям, що і даний вектор.

Довільний вектор може бути представлений у вигляді добутку двох співмножників – його довжини і одиничного вектора , тобто .

Означення 11.Два вектори, зв’язані співвідношенням , де l деяке число, називаються колінеарними або паралельними (рис. 6).

Рис. 6

Приклад 1. Дано =4; ; . Знайти .

Розв’язання. Побудуємо за правилом паралелограма та (рис.7).

Рис. 7

Використовуючи властивості діагоналей та сторін паралелограма, отримаємо: ; ; ; .

Проекція вектора на вісь

Нехай в декартовій системі координат Oxy вектор заданий двома точками A(x_a; y_a; z_a) і B(x_b; y_b; z_b).

Означення 12.Проекцією вектора на вісь Ox називається різниця між абсцисами кінця і початку вектора .

Проекцію вектора на вісь Ox позначають пр_Ox . Аналогічно визначають проекції вектора на осі Oy і Oz (рис. 8).

Z

В

А

Y

A^’

B^’

X

Рис. 8

Таким чином, ПР_OХ , ПР_OY , ПР_OZ .

Скориставшись теоремою Піфагора можна знайти проекції вектора на площину. Наприклад, проекція вектора на площину XOY можна знайти за формулою

ПР_XOY .