Правильные многогранники в нашей жизни
§ 1. Многогранники вокруг нас
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.
Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих
объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.[10]
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию.
§ 2. Правильные многогранники в искусстве
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''
Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер на переднем плане своей гравюры «Меланхолия» изобразил додекаэдр. В 1525 году он написал трактат, в котором представил, пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы
Сальвадор Дали использует в своей картине «Тайная вечеря» додекаэдр, который служит своеобразным «окном» в окружающий мир и подчеркивает важность этого события.
Примеры задач
Задача 1 Можно ли десять городов соединить между собой непересекающимися дорогами так, чтобы из каждого города выходило пять дорог, ведущих в пять других городов?
Решение Предположим, что города можно соединить между собой дорогами так, как указано в задаче. В таком случае, если какие-то два города окажутся не соединенными дорогой непосредственно, то найдётся третий город, который уже будет непосредственно соединён с каждым из них. Изобразив на плоскости города точками, а дороги — дугами, получим, что любые две точки соединены цепочкой дуг. Так как в каждой точке сходятся пять дуг, то общее число дуг равно ½·5·10 = 25. Согласно теореме Эйлера эти дуги делят плоскость на 2 + 25 – 10 = 17 областей. Каждая из этих семнадцати областей ограничена по крайней мере тремя дугами, так как в противном случае нашлись бы два города, непосредственно соединённые по крайней мере двумя дорогами, а это противоречит условию задачи. Следовательно, число дуг не меньше ½·3·17 = 25,5. Таким образом, исходное предположение приводит нас к противоречию, и города нельзя соединить между собой так, как это требуется в задаче.[11]
Задача 2 Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?
Решение Предположим, что это сделать можно.
Изобразим дома синими, а колодцы — чёрными точками и каждую синюю точку соединим дугой с каждой чёрной точкой так, чтобы девять полученных дуг попарно не пересекались. Тогда всякие две точки, изображающие дома или колодцы, будут соединены цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти девять дуг разделят плоскость на 9–6+2=5 областей. Каждая из пяти областей ограничена по крайней мере четырьмя дугами, так как по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не меньше ½·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение неверно.[12]
Задача 3 Докажите, что на всякой карте найдётся страна, граничащая не более чем с пятью странами.
Решение. Если число стран на карте не превосходит шести, то утверждение задачи очевидно. Мы докажем, что на карте, имеющей более шести стран, найдутся даже четыре страны, каждая из которых граничит не более чем с пятью странами. Окрасим вершины и дуги исходной карты в чёрный цвет, а красной краской отметим в каждой стране по одной точке. Всякие две отмеченные точки, лежащие в соседних странах (то есть странах, имеющих общую граничную дугу), соединим внутри этих стран красной дугой так, чтобы красные дуги попарно не пересекались. Тогда всякие две красные точки будут соединены цепочкой дуг, и так как никакие две построенные дуги не будут соединять одни и те же точки, то каждая страна на карте, состоящей из точек и дуг красного цвета, будет ограничена не менее чем тремя дугами. Если какая-то страна на этой карте ограничена более чем тремя дугами, то на её границе можно выбрать две вершины, не соединённые дугой, и соединить их красной дугой внутри этой страны. Повторяя несколько раз эту операцию, мы получим красную карту, на которой каждая страна ограничена ровно тремя дугами. Так как, кроме того, на этой карте никакие две дуги не соединяют одни и те же вершины и так как число вершин больше трёх, то из каждой вершины выходят не менее чем три дуги. Обозначим через n число дуг, через l — число стран, через m — число всех вершин красной карты и через a — число вершин, из которых выходят менее чем шесть дуг. Тогда получим3l = 2n, (1)
3a + 6(m – a) ≤ 2n. (2)
Из формулы (1) и теоремы Эйлера, применённой к системе точек и дуг красного цвета, следует, что2n = 6m – 12,
3a + 6(m – a) ≤ 6m – 12.
которое показывает, что a≥4. Остаётся заметить, что если некоторая страна на чёрной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти дуг, и потому, в силу неравенства a≥4, на чёрной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.[13]
Задача 4 Можно ли семиугольник разрезать на выпуклые шестиугольники?
Решение Предположим, что какой-то семиугольник удалось разрезать на выпуклые шестиугольники. Обозначим число тех вершин шестиугольников, которые лежат внутри исходного семиугольника, через m, а число оставшихся вершин (то есть лежащих на границе семиугольника) — через m'. В качестве дуг, соединяющих вершины, выберем прямолинейные отрезки сторон многоугольников, удовлетворяющие следующему условию: отрезок должен соединять две вершины и не проходить через остальные вершины. Обозначим через n число таких дуг и через l — число областей, на которые эти дуги делят плоскость (число l на единицу больше числа шестиугольников). Ясно, что любые две вершины окажутся соединёнными цепочкой дуг. В силу теоремы Эйлераm + m' – n + l = 2. (3)
Так как внешняя область ограничена m' дугами, а каждая из остальных — не менее чем шестью дугами, то2n ≥ 6(l – 1) + m'. (4)
Из некоторых вершин на границе семиугольника выходят только две дуги. Обозначим число таких вершин через a. Из всякой другой вершины выходят по крайней мере три дуги, так что
3m + 3(m' – a) + 2a ≤ 2n.
Отсюда в силу равенства (3)
n ≤ 3l + a – 6.
Сравнивая это неравенство и неравенство (4), мы получаем2a – m' ≥ 6. (5)
Так как на границе семиугольника найдутся по крайней мере две вершины, из которых выходят дуги, ведущие внутрь семиугольника, то m' – a ≥ 2. Из этого неравенства и неравенства (5) следует, что a ≥ 8.
С другой стороны, так как семиугольник разрезан на выпуклые многоугольники, то всякая вершина, из которой выходят две дуги, является вершиной семиугольника, и потому a ≤ 7. Таким образом, семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.[14]
Заключение
Зачастую, теме «Правильные многогранники» уделяется не слишком пристальное внимание на школьных уроках. Считается, что данная тема является лишь одним из аспектов математики и не имеет практического применения. В своей работе я постарался опровергнуть данное суждение, посвятив практическому применению Платоновых тел одну из глав своего проекта. На мой взгляд, данная тема далеко не является узкопрофильной – на протяжении работы над проектом я постоянно натыкался на стыки данной темы с другими областями знаний – алгебры, биологии, географии, искусства и живописи.
Обобщая научную информацию по обозначенной проблеме, можно сформулировать следующие выводы:
1. В исследованиях правильных многогранников можно проследить два основных этапа:
I этап: Исследования до н.э.
II этап: исследования в XVI – XIX вв.
2. На первом этапе главным содержанием стала 13 книга «Начал» Евклида, а которой ему не удалось решить проблему построения правильных многогранников, но удалось дать им первоначальную характеристику и теоретическое обоснование.
3. В рамках второго этапа исследований была сформулирована пусть и ошибочная гипотеза Кеплера, кроме того была решена проблема построения правильных многогранников.
4. Можно проследить следующую особенность: на каждом этапе вначале выдвигались неверные теории, которые впоследствии вели к открытиям
5. Разрыв между первым и вторым этапом составляет ни много ни мало полторы тысячи лет – разумно предположить, что в это время еще не существовало возможности для создания теорий в области Платоновых тел
Приложение №1
«Элементы теории правильных многогранников»
Тетраэдр и его свойства
n Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.
n Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.
n Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.
Таким образом,
Тетраэдр имеет
Грани,
Вершины
и 6 ребер.
n Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
n Радиус описанной сферы: 
n Радиус вписанной сферы: 
n Площадь поверхности: 
n Объем тетраэдра: 
Гексаэдр и его свойства
n Куб составлен из шести квадратов.
n Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.
n Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.
Таким образом, куб имеет
Граней,
Вершин
Ребер.
n Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
n Радиус описанной сферы: 
n Радиус вписанной сферы: 
n Площадь поверхности куба: S = 6a²
n Объем куба: V = a³
Октаэдр и его свойства
n Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.
n Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.
n Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.
Таким образом,
Октаэдр имеет
Граней,
Вершин
Ребер.
n Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
n Радиус описанной сферы: 
n Радиус вписанной сферы: 
n Площадь поверхности: 
n Объем октаэдра: 
Икосаэдр и его свойства
n Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.
n Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.
n Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.
Таким образом,
Икосаэдр имеет
Граней,
Вершин
Ребер.
n Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
n Радиус описанной сферы: 
n Радиус вписанной сферы: 
n Площадь поверхности: 
n Объем икосаэдра: 
Додекаэдр и его свойства
n Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.
n Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников.
n Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов.
n Таким образом,
Додекаэдр имеет
Граней,
Вершин
Ебер.
n Радиус описанной сферы: 
n Радиус вписанной сферы: 
n Площадь поверхности: 
n Объем додекаэдра: 
Приложение №2
«Исследования правильных многогранников в период до нашей эры
»
Евклид Платон
Приложение №3
Исследования правильных многогранников в XVI – XIX вв.
Леонард Эйлер Иоганн Кеплер
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные это:
|
Приложение №4