Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

И их значения от некоторых углов.

Обозначим угол А соответствующей греческой буквой α.

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты— стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет а, лежащий напротив угла α, называется противолежащим (по отношению к углу α).

Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла α, называется прилежащим (по отношению к углу α).

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru 300 450 600
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Задания с решением

1. В треугольнике ABC угол C равен 90º, ВС=4, Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru . Найдите AB.

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Решение:

tgA= Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru ; тогда Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru откуда АС= Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru .

По теореме Пифагора АС2 +ВС2 =АВ2.

АВ2 = 33+16, АВ = 7

Ответ: 7

2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AB= Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru , АС=8. Найдите tg A.

Решение:

По теореме Пифагора АС2 +ВС2 =АВ2. 82 +ВС2 =( Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru )2

ВС2=80-64 ВС2=16 ВС=4

tgA= Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru = Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Ответ: 0,5

3. В треугольнике ABC угол C равен 90º , CH – высота, AB=27, Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru . Найдите BH.

Решение:

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

В треугольнике АВС Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru . Тогда Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru , откуда ВС=18

Угол А равен углу СНВ. Тогда в треугольнике СНВ Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru то есть Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru откуда НВ=12.

Ответ: 12

4. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru .

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru


Решение:

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Достроим угол АОВ до треугольника ОВА. Из рисунка видно, что ОВ=ВА, как гипотенузы равных треугольников, ВК делит основание ОА пополам, значит ВК – медиана, а значит и высота.

Из рисунка по теореме Пифагора находим Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru , Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru , тогда Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru .

В ответ надо записать Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Ответ: 2

Задания для самостоятельного решения

1. В треугольнике ABC угол C равен 90º , AB = 25, BC = 20. Найдите cosA.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AB = 25, BC = 20. Найдите sinA.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, CH – высота, АВ = 27, Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru Найдите AH.

4. В треугольнике ABC AC= BC=5, Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru . Найдите высоту CH.

5. Найдите тангенс угла AOB.

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

6. Найдите тангенс угла С, если стороны квадратных клеток равны Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru .

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

Занятие 4

Многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Основные понятия и свойства.

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике - student2.ru

ТЕОРЕМА Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180° (n-2), где n – число сторон

Параллелограмм. Основные понятия и свойства.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме противоположные углы равны.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме противоположные стороны равны.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме диагональ делит его на два равных треугольника.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°.

ТЕОРЕМА. Во всяком параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

ТЕОРЕМА. Точка пересечения диагоналей параллелограмма есть его центр симметрии.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

ТЕОРЕМА. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник параллелограмм.

ТЕОРЕМА. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник параллелограмм.

ТЕОРЕМА. Если в четырехугольнике диагонали делятся в точке пересечения пополам, то такой четырехугольник параллелограмм.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Наши рекомендации