Тела Пуансо и архимедовы тела

Если использовать не только обычные правильные многоугольники, но и звёздча­тые многоугольники и разрешить им пере­секаться, то можно получить очень красивые звёздчатые правильные многогранники. В 1810 году французский математик Л. Пуансо (1777 – 1859), геометрические работы которого относятся к звёздчатым многогранникам, построил четыре правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додека­эдр, большой звёздчатый додекаэдр, боль­шой додекаэдр и большой икосаэдр. Два из них знал И.Кеплер (1517—1630), а 1812 году французский математики О.Коши доказал, что кроме пяти «Платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

А вот Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников («архимедовы тела»), каждый из которых ограничен недоимёнными правильными многоугольниками, причём в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу. Интересно отметить, что на протяжении более 2 тыс. лет со времён Архимеда считалось, что полуправильных многогранников 13. Но совсем недавно, в середине 20-го столетия, был открыт еще один равноугольно полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней «8-угольной чаши» на 45°. Новый многогранник получил название псевдоархимедова тела. Иногда его называют «многогранник Ашкинузе» в честь одного из первооткрывателей этого нового типа многогранника – российского ученого В.Г.Ашкинузе. Примером такого многогран­ника является футбольный мяч, часто появляющийся на экранах телевизоров. Он со­ставлен из пяти шестиугольников.

Многогранники в различных областях культуры и науки

Многогранники в живописи

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симмет­ричностью, что дало возможность венгерско­му инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика».

Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы.

Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи (1452-1519). Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции».

Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471-1528). В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен многогранник, гранями которого являются треугольники и пятиугольники. В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках.

Известный голландский художник Маурица Эшер (1898-1972) написал картину – фантазию на тему

«Правильные

многогранники».

А испанский художник Сальвадор Дали использовал символ Вселенной в своей картине «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Очень интересно об этом произведении писала Завадская: «В нём воплощено философско-религиозное и эстетическое кредо Дали. Здесь воздух и свет, и конструкция, и сон, и явь, и надежда, и сомнение. В центре большого полотна (167×288) изображен Христос в трех ипостасях – как сын, сошедший на Землю, он сидит за столом со своими учениками, но потом мы замечаем, что он вовсе и не сидит за столом, а погружен по пояс в воду – то есть крестится водой, или духом святым, тем самым воплощая вторую ипостась троицы, а над ним призрачно высится мужской торс, словно часть композиции «Вознесение» – возвращение к Богу Отцу. Апостолы изображены низко склонившими головы на стол – они словно поклоняются Христу (или спят!) – в этом случае есть аллюзия на евангельский текст, содержащий просьбу Христа не спать, пока он молит Бога: «Чашу мимо пронеси».

2.2 Мнимая «Космографическая тайна» И.Кеплера

А вот среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). (Приложение 2). В начале своего научного пути И. Кеплер, для которого правильные многогранники были любим предметом изучения, сделал мнимое открытие, которое на первых порах принесло ему много славы, но от которого впоследствии пришлось отказаться. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела его к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. По мнению Кеплера, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Своё «открытие» Кеплер изложил в первом крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» – «Космографическая тайна» (1596). Оно состояло в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой движется Меркурий (его орбита принимается за окружность), описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; затем идёт додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем описывается тетраэдр на сфере Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.

Позже Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришёл к «законам Кеплера». Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны и поныне.

2.3 Теория четырёх стихий мироздания

Теория четырёх стихий мироздания вызывают сегодня лишь вежливую улыбку. Но в ней есть мудрость и она удивительно современна.

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В.Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.