Философия и проблема обоснования математики

Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие парадоксов и становление современной проблемы обоснования математики.

Логицистская установка Г.Фреге. Критика психологизма и кантовского интуиционизма в понимании числа. Трудности концепции Г.Фреге. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б.Рассел и А.Уайтхед). Результаты К.Геделя и А.Тарского. Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

Идеи Л.Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Праинтуиция как исходная база математического мышления. Проблема существования. Учение Л.Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская критика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.

Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие финитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивсти арифметики. (Г.Генцен, П.Новиков, Н.Нагорный). Теоремы К.Геделя и программа Гильберта: современные дискуссии.

Философско-методологические и исторические проблемы

Математизации науки

Прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. Математика как язык науки. Уровни математизации знания: количественная обработка экспериментальных данных, построение математических моделей индивидуальных явлений и процессов, создание математизированных теорий.

Специфика приложения математики в различных областях знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией категорий, теорией катастроф, теорией фракталов, и др. Проблема поиска адекватного математического аппарата для создания новых приложений.

Математическая гипотеза как метод развития физического знания. Математическое предвосхищение. «Непостижимая эффективность» математики в физике: проблема рационального объяснения. Этапы математизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика. Проблема единственности физической теории, связанная с богатыми возможностями выбора подходящих математических конструкций. Постклассическая фаза (аксиоматические и конструктивные теории поля и др. Перспективы математизации нефизических областей естествознания. Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуальное и метафорическое применения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании. «Моральные применения» теории вероятностей – иллюзии и реальность.

Математическое моделирование: предпосылки, этапы построения модели, выбор критериев адекватности, проблема интерпретации. Сравнительный анализ математического моделирования в различных областях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-методологический анализ. Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении сложными социально-экономическими системами: возможности, перспективы и ограничения. ЭВМ и математическое моделирование. Математический эксперимент.

Рекомендуемая основная литература:

1. Канке В.А. Философия математики, физики, химии, биологии. М., 2011.

2. Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия / Пер. с итал. А.Л. Сочкова, С.М. Антакова. Под общ. ред. проф. Я.Д. Сергеева. Н.Новгород, 2012.

3. Яшин Б.Л. Математика в контексте философских проблем: Учебное пособие. М., 2012.

Дополнительная литература:

1. Антология философии математики / Отв. ред. и сост. А.Г. Барабашев и М.И. Панов. М., 2002.

2. Бесконечность в математике: философские и методологические аспекты / Под ред. А.Г. Барабашева. М., 1997.

3. Вейль Г. О философии математики. Изд. 2-е, стеротипное. М., 2005.

4. Вечтомов Е.М. Философия математики. Киров, 2004.

5. Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Отв ред. М.И. Панов. М., 1987.

6. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984.

7. Математика и опыт. Под ред. Барабашева А.Г. М., 2002.

8. Михайлова Н.В. Системный синтез программ обоснования современной математики. Мн., 2008.

9. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001.

10. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М., 1984.

11. Светлов В.А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия. М., 2006.

12. Стили в математике. Социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб., 1999.

13. Философия математики и технических наук / Под общ. ред. проф. С.А. Лебедева: Учебное пособие для вузов. М., 2006.

14. Целищев В.В. Онтология математики: объекты и структуры. Новосибирск, 2003.

15. Целищев В.В. Философия математики. Ч. 1. Новосибирск, 2002.