Косвенные логические выводы.

Непрямые (косвенные) правила выводов

Теперь перейдем к рассмотрению основных косвенных (непрямых) правил. Напомним, что ими устанавливается следующее: если могут быть построены такие-то и такие-то выводы, то может быть построен и такой-то вывод. Как увидим, специфическим свойством косвенных правил вывода является использование положений, которые являются добавочными допущениями.

Начнем с правила введения импликации (ВИ):

(При записи ВИ и некоторых других правил мы будем использовать квадратные «горизонтальные» скобки, в которых для получения вывода помещаются добавочные допущения и следствия из них. Находящиеся в скобках выражения – это, образно говоря, строительные леса, которые можно убрать после построения вывода.) Правило ВИ устанавливает, что если на основании множества посылок П (возможно, пустого) и добавочного допущения A мы получим некоторое B в качестве следствия, то можно заключить о выводимости из П импликации A® B. Данное правило обобщает опыт умозаключений, многократно встречающихся в нашей умственной деятельности

Второе основное непрямое правило называется правилом сведения к абсурду (СА): Правило СА устанавливает, что если при посылках П (их множество, как и при ВИ, может быть пустым) и добавочном допущении A получаются два противоречащих друг другу высказывания B и Ø B, то данное допущение должно быть отвергнуто как ложное и признано, что из П выводится отрицание допущения – ØA. Если к посылкам в предыдущем примере присоединить добавочное допущение pÙØs, то применив к нему правило УК, а затем, трижды правило УИ, мы получим два противоречивых утверждения – Øs и s. Следовательно, в соответствии с правилом СА, из посылок выводится заключение:

«Неверно, что в данной местности увеличивается количество кошек, но не создаются благоприятные условия для повышения урожая клевера». Таким образом, правило СА также соответствует естественному ходу рассуждений.

С помощью названных основных правил можно получать производные правила. При изложении выводного процесса, в результате которого получается то или иное правило, напротив каждой строки условимся указывать, на основании чего мы к этому правилу приходим. Например, запись:

A « B (УИ: 2, 4) будет означать, что шестая строка с выражением A«B получается на основании правила удаления импликации, примененного к выражениям, находящимся во второй и четвертой строках. В традиционной логике выводы по этому правилу называются условно-категорическими силлогизмами отрицающего модуса, (латинское название - modustollens. В них выводится отрицание основания условного суждения, если истинно отрицание его следствия.

Перечислим наиболее употребительные производные правила:

Правила отрицания слабой дизъюнкции:

Ø(A Ú B) ØA Ù ØB

------------- -------------

ØA Ù ØB Ø(A Ú B)

Правила отрицания конъюнкции:

(A Ù B) A Ú B

------------- -------------

A Ú B (A Ù B)

Правило контрапозиции:

A ® B

--------------

B ® A

Правила взаимосвязи дизъюнкции и импликации:

A ® B A Ú B

------------- -------------

A Ú B A ® B

Правила отрицания импликации:

Ø(A ® B) A ÙØB

------------- -------------

A Ù Ø B Ø(A ® B)

Правило сложной контрапозиции:

(A Ù B) ® C

-----------------------

(A Ù C) ® B

Правило импортации:

A ® (B ® C)

--------------------

(A Ù B) ® C

Правило экспортации:

(A Ù B) ® C

---------------------

A ® (B ® C)

Правило «рассуждения по случаям»:

A Ú B

A ® C

B ® C

-------------

C

Правило конструктивной дилеммы:

A ® B

C ® D

A Ú C

------------

B Ú D

Правило деструктивной дилеммы:

A ® B

C ® D

B Ú D

-----------------

ØA Ú ØC

Правила конструктивной и деструктивной дилеммы используются при построении разделительно-условных силлогизмов. По правилу конструктивной дилеммы происходит переход от утверждения альтернатив как оснований условных высказываний к утверждению дизъюнкции их следствий, а по правилу деструктивной – от дизъюнкции отрицаний следствий к дизъюнкции отрицаний оснований.

Правила выводов находятся в однозначном соответствии с логическими законами. Всегда можно определить и сформулировать логический закон, соответствующий тому или иному правилу вывода. Так, правило, по которому получено заключение «Если неверно, что завтра воскресенье, то неверно, что сегодня суббота», на основании посылки «Если сегодня суббота, то завтра воскресенье» можно сформулировать следующим образом: «Из высказываний вида A®B можно выводить высказывание вида B®A». Ему соответствует логический закон (A®B)® (B ®A).