Правомерен ли пангеометризм?

Скажи мне, чертежник пустыни,

Сыпучих песков геометр,

Ужели безудержность линий

Сильнее, чем дующий ветр?

О. Мандельштам [1933]

Для Канта пространство было априорной формой внешнего созерцания – субъективным условием чувственности. Отсюда следовала возможность геометрии как априорного синтетического знания. Соответственно, время было априорной формой внутреннего созерцания нас самих и нашего внутреннего состояния [Кант, 1964]:

…в самом деле, время не может быть определением внешних явлений: оно не принадлежит ни к внешнему виду, ни к положению и т. п.; напротив, оно определяет отношение представлений в нашем внутреннем состоянии (с. 138).

В наши дни – после Эйнштейна – время геометризировалось. Появилась тенденция говорить не о пространстве и времени в отдельности, а о геометрии в ее абстрактном проявлении. Геометрия оказывается тем исходным априорным синтетическим знанием, которое делает возможным созерцание как внешнего, так и внутреннего мира. Различные геометрии раскрывают различные ракурсы видения Мира. Образы геометрий, несмотря на всю их абстрактность, легко созерцаемы. В них человек может отражать предметность Мира: мы можем говорить о пространствах движений, признаков, смыслов, решений, цветов, сновидений… Но на самом деле это не разные пространства, а только разные экспликации часто разных геометрий. Геометризация оказывается средством концептуализации . Способность геометризировать – это какая-то удивительная, фундаментальная особенность сознания человека. Обращение к мере как к проявлению числа – это на самом деле путь к геометризации. Осознавать – значит локализовать нечто в пространстве в соответствии с требованиями той или иной геометрии, в том числе и динамической геометрии с изменяющимися свойствами. В широком понимании локализация – не просто фиксация, это воплощение чего-то мыслимого в геометрический образ.

Кант, по-видимому, был тем первым мыслителем, который понял организующую наше сознание роль пространства и времени. Но, конечно, он не мог предвидеть того, что априори человеку задано не просто обыденно понимаемое пространство, а сама способность к геометризации. И теперь мы можем сказать, что в плане гносеологическом посткантовская наука дала человеку не только и не столько отдельные конкретные гипотезы (они приходят и уходят), сколько расширила саму созерцательную способность, открыв возможность свободного построения новых форм созерцания бытия через многообразие геометрий.

Попробуем теперь хотя бы весьма схематично рассмотреть геометризационные концептуализации в разных областях знаний.

Физика

После обобщений Дж. Уилера стало возможным говорить о том, что развитие физики может рассматриваться как раскрытие Мира через его геометрическое осмыслeние. Так, скажем, в дополнение к книге [Уилер, 1962] включена статья Ч. Мизнера и Дж. Уилера Классическая физика как геометрия: гравитация, электромагнетизм, неквантованный заряд и масса как свойства искривленного пространства . В этой работе детально рассматривается возможность чисто геометрического описания электромагнетизма. При этом здесь происходит обращение к пространству с многосвязанной топологией, допускающей существование двух или более топологически различных путей, связывающих две какие-либо точки. В таком пространстве электромагнетизм описывается с помощью топологии и теории гармонических векторных полей. По-видимому, одно из направлений дальнейшего развития физики будет связано с обращением к локализации в неметрических топологически нетривиальных пространствах с вариабельной топологией. Хотя все же сейчас геометродинамика Уилера вряд ли может считаться достаточно обоснованной. Скорее можно говорить о программе исследования, чем о завершенной теории. Мы не можем здесь излагать современное состояние развития этой программы (см., например, [DeWitt, 1983], [ДеВитт, 1984]), для нас достаточно рассмотрения ее исходных позиций.

Уместно также сказать несколько слов и о новом подходе к теории гравитации, развиваемом А.А. Логуновым и его школой [Логунов, Мествиришвили, 1984]. В основе этого подхода, в противоположность общей теории относительности, лежит специальный принцип относительности, которому придается всеобщее значение, из чего следует его применимость к гравитационным явлениям. Гравитационное поле получает физический (а не чисто геометрический) смысл в духе Фарадея – Максвелла. Это позволяет, опять-таки в отличие от общей теории относительности, не отказываться от законов сохранения энергии импульса и момента количества движения в замкнутой системе. Вот как сами авторы формулируют свою задачу:

Образно говоря, наша задача заключается прежде всего в том, чтобы, не покидая пространства Минковского, с помощью тензорного гравитационного поля и принципа геометризации построить эффективное полевое риманово пространство со строгим соблюдением законов сохранения материи (с. 4).

Биология

В этой работе мы попытались рассмотреть один из возможных подходов к геометрической экспликации эволюционизма – преимущественно биологического, обращаясь к представлению о вероятностном пространстве. Это далеко не первая попытка построения геoметризированного языка для символического описания развития живого. Ранее мы уже кратко упоминали работы Н. Рашевского и Р. Розена, направленные на создание абстрактной биологии как топологической экспликации живого. Большой интерес здесь представляет и подход Уоддингтона [1970 a]:

Если попытаться дать математическое определение фенотипа, то будет ясно, что он представляет собой функцию, зависящую от времени. Далее, это должна быть функция не только трех пространственных переменных, поскольку нас интересует нечто большее, чем просто геометрия организма. Нам потребуется ввести свою переменную для каждой (химической или геометрической) составной части системы, которая имеет отношение к рассматриваемым вопросам (с. 18).

Он вводит представление о многомерном фазовом пространстве, отвечающем всему многообразию признаков фенотипа [там же]:

…в пределах этого пространства фенотип будет представлен некой фигурой, начинающейся в точке, соответствующей строению яйца и простирающейся вдоль временнóй оси. Теоретически такая фигура может принять форму ограниченного непрерывного листа, например треугольную форму. В таком случае мы обнаружили бы, что через некоторое время после оплодотворения состав фенотипа непрерывно изменяется по мере перехода от одного состояния к другому. Эмпирически установлено, что в норме этого не происходит. В изучаемых нами организмах мы обычно находим ряд обособленных и отличающихся друг от друга органов – печень четко отличается от почки как по своему местоположению, так и по строению, оба эти органа отличаются от сердца и т. д. Это означает, что изображающая фенотип фигура должна разветвляться на ряд отдельных субконфигураций, каждая из которых простирается отдельно по временнóй оси. Не умаляя общности наших рассуждений, можно изобразить каждую из этих субконфигураций в виде отдельных линий. Таким образом, фенотип можно представить в виде ветвящейся системы траекторий, распространяющихся в фазовом пространстве вдоль временнóй оси (с. 18–19).

Далее вводится понятие креода – канализованной траектории, притягивающей ближайшие траектории. Так появляется возможность говорить на символическом языке о целенаправленной саморегуляции, делающей траектории эпигенеза[111]устойчивыми по отношению к условиям, пытающимся их изменить. На языке абстрактных пространств состояний Уоддингтон формулирует проблемы, имеющие значение для ближайшего будущего теории эволюции. Одна из них звучит так: существуют ли биологические архетипы, имеющие протяженность по эволюционной шкале времени? Его ответ на этот вопрос таков:

Не существует «архетипа лошади» или «архетипа двукрылых», но есть «архетип семейства лошадей с заключенной в нем характеристикой направлений, по которым легко может пойти эволюционное изменение» (с. 31).

Эти высказывания Уоддингтона, хотя они и делаются им с большой осторожностью, опять имеют номогенетическую окрашенность.

Известный французский тополог Р. Том обратил внимание на то, что представления Уоддингтона о «структурной устойчивости», «креодах» и «эпигенетическом ландшафте» хорошо укладываются в разработанную им топологическую теорию устойчивости дифференцируемых функций и отображений. Он также исходит из представления о том, что морфогенетические процессы можно в какой-то степени понять, не касаясь свойства субстрата форм и природы действующих сил. В самом общем виде свой подход Том формулирует в следующих словах [1970]:

При анализе любого естественного процесса сначала приходится вычленять те части области, в которых процесс обладает структурной устойчивостью, – «креоды» процесса, островки детерминизма, разделенные зонами, где процесс не детерминирован или структурно неустойчив. Вводя динамические модели, мы пытаемся затем разложить каждый креод на «элементарные креоды», связанные с тем, что я называю «элементарными катастрофами», после чего объединяем эти элементарные креоды в глобальную устойчивую фигуру под действием некой присущей динамической системе сингулярности – «организующего центра». Что касается организации различающихся между собой креодов, то эта проблема представляется более сложной, поскольку она в принципе не детерминирована. Среди всех возможных конфигураций различных креодов одни более устойчивы, чем другие: это те креоды, которые являются наиболее «важными». Эта трудная проблема по существу сравнима с расшифровкой текста на незнакомом языке (с. 148).

Современная биология превратила естественный отбор в некий исключительный принцип – deus ex machina – всех биологических явлений; единственная ее ошибка состоит в том, что она при этом рассматривает организм (или вид) как некий несводимый функциональный элемент. На самом деле устойчивость организма или вида сама зиждется на конкуренции между «полями», между еще более простыми «архетипами», борьба которых порождает структурно устойчивую геометрическую конфигурацию, обеспечивающую регуляцию, гомеостаз обмена веществ и устойчивость размножения. Именно анализируя эти подчиненные, более глубоко скрытые структуры, мы сможем лучше понять механизмы, определяющие морфогенез организма и эволюцию вида. «Борьба» происходит не только между организмами или видами, но также в каждый момент в любой точке отдельного организма (с. 157).

Обратим здесь внимание также на книгу Р. Тома [Thom, 1975], в которой философские аспекты его подхода к проблеме морфогенеза формулируются так:

Я думаю, однако, что с эпистемологической точки зрения именно геометрическое наступление на проблемы морфогенеза не только оправдано, но, возможно, даже необходимо. Провозгласить, что живое существо является глобальной структурой, – это значит только констатировать очевидный факт и не значит принимать виталистическую философию: в виталистической метафизике как раз неприемлемым оказывается объяснение локальных феноменов через глобальные структуры. Следовательно, биолог должен с самого начала постулировать существование локального детерминизма, чтобы объяснить все частичные микрофеномены в живом существе, а затем попытаться интегрировать все локальные детерминизмы в согласованную устойчивую глобальную структуру. С этих позиций фундаментальная проблема биологии становится топологической, поскольку топология есть именно та математическая дисциплина, которая занимается переходом локального в глобальное.

Доведя этот тезис до предела, мы могли бы рассматривать все проявления живого как манифестации геометрического объекта, поля жизни (champ vital), аналогичного гравитационному или электромагнитному полям; тогда живые существа становились бы частицами или структурно устойчивыми характеристиками этого поля, а феномены симбиоза, хищничества, паразитизма, сексуальности и др. являлись бы взаимодействиями и соединениями этих частиц. В таком случае первоочередной задачей становится геометрическое описание этого поля, определение его формальных свойств и законов его эволюции, тогда как вопрос о предельной природе этого поля – может ли оно быть объяснимо в терминах известных полей или инертной материи – остается чисто метафизическим (с. 151–152).

Отметим здесь, что работы Тома[112], несмотря на всю их абстрактность, не были отторгнуты биологами. Том принимал участие в знаменитых симпозиумах по теоретической биологии, организованных Международным обществом биологических наук, труды которых вышли под редакцией Уоддингтона [1970 а].

В плане историческом здесь уместно упомянуть и другие менее абстрактные попытки биологической экспликации представлений о поле . Отметим прежде всего, что в нашей стране известный эмбриолог А.Г. Гурвич начал развивать представление о биологическом поле еще в 1912–1922 гг. В более поздней книге [Гурвич, 1944] он утверждал, что источником биологического поля являются биохимические процессы, происходящие в клеточных ядрах. Он постулировал наличие прямого (не опосредованного средой) межклеточного взаимодействия, что, правда, не подтвердилось в прямых экспериментах [Белоусов, Чернавский, 1982]. Важно отметить, что Гурвич отказывался высказываться по поводу физической природы морфогенетического поля. Дальнейшее развитие идей Гурвича мы находим в книге Л.В. Белоусова [1971]. Рассматривая процесс формообразования зародыша, он опять-таки приходит к идее морфогенетического поля, формально хорошо удовлетворяющего ряду данных, хотя физико-химическая природа поля остается неясной. Для нас существенным оказывается то, что у Белоусова возникает необходимость обращения к представлению о пространственном распределении чувствительности в эмбриогенезе [Белоусов, 1971]:

Действительно, поскольку гены сами по себе могут быть отнесены лишь к «активирующим» факторам… они могут вызывать локальные эффекты лишь при наличии созданного ранее усложняющими факторами или внешними неоднородностями неравномерного пространственного распределения чувствительности элементов зародыша к действию генов. Но такое распределение мы как раз и обозначаем как «фон» (с. 156).

Создается впечатление, что раскрытию биологического смысла морфогенетического поля в значительной степени мешает биологическая парадигма, требующая вложить в это абстрактное понятие слишком конкретное физически осязаемое содержание. Понятие о поле заимствовано из физики, и к нему надо относиться с той степенью легкости, которую допускает абстрактно ориентированная мысль физиков. Что, к примеру, могут физики сказать о субстанциальности гравитационного поля?

И все же в работе [Белоусов, Чернавский, 1982] отмечается, что в последнее время возрождается интерес биологов к проблеме морфогенетических полей (см., например, работу [French et al., 1976], в которой предлагается формальная модель для регулирования пространственного паттерна в эпиморфных полях). В соответствии с этой моделью клетка использует двухмерную полярную координатную систему для оценивания своего положения в развивающихся органах.

Отметим здесь и статью Р. Левина Почему развитие так нелогично ? [Lewin, 1984], где кратко рассматриваются широко известные исследования С. Бреннера, посвященные детальнейшему изучению развития маленького червячка, тело которого состоит всего из 959 клеток, из которых 302 образуют его нервную систему. В этой статье мы читаем:

Наши достижения – полное описание анатомии и последовательности клеточных поколений, генетика и подходы к молекулярной биологии и биохимии, – это превосходное и обнадеживающее начало. Но понимание того, как информация, закодированная в генах, соотносится со средствами, с помощью которых клетки собирают себя в организм, т. е. как происходит «картирование генетического пространства на организменное пространство», – до сих пор еще не достигнуто (с. 1327).

И здесь опять мы видим, что остается нерешенной геометрическая проблема, – нет языка , задающего формирование на организменном пространстве. Может быть, таким языком окажется язык вероятностных представлений, позволяющий с помощью дискретных величин параметров функций распределения изменять веса, задаваемые на поле морфофизиологических признаков?

И если так, то это и есть та нелогичность в развитии, которую подчеркивает Левин, вынося данный вопрос в заглавие статьи.

Здесь также хочется обратить внимание на исследование по криобиологии. Х. Моровиц [Morovitz, 1967] пишет о том, что большое количество биологических систем, находившихся при температуре, близкой к абсолютному нулю, после нагревания сохраняют неизменной свою биологическую активность. Обобщая эти результаты, можно утверждать, что биологическая информация задается пространственным структурированием:

На молекулярном уровне информация может храниться двумя способами – либо в молекулярной структуре, в основном в спецификации ковалентных или вторичных связей, либо в динамических процессах, таких как поток промежуточных продуктов или проводимость электрических пульсов. При абсолютном нуле все процессы прекращаются, и система является чистой структурой. Эта структура сохраняет всю релевантную биологическую информацию (нагревание есть дезорганизующий процесс в термодинамическом смысле) (с. 46).

Языкознание и текстология

Естественным для нас оказалось обращение к представлению о семантических полях в их вероятностном истолковании в языкознании [Налимов, 1979] при попытке объяснить, почему люди понимают друг друга, используя язык, слова которого не имеют атомарного смысла. Возможны, конечно, и другие пути геометризации языковой реальности. Здесь мы опять упомянем Р. Тома [1975], который, опираясь на топологические представления, считает возможной пространственную интерпретацию практически для любых языковых выражений. В рассматриваемой выше работе автор составляет список сингулярностей элементарных катастроф[113], дает им языковые интерпретации, образующие морфологии – архетипы, через которые раскрывается семантика и синтактика простейших фраз французского языка (фраз, описывающих пространственно-временные процессы, и фраз, описывающих состояние предмета).

Интересным и, пожалуй, даже несколько неожиданным является высказывание филолога В.Н. Топорова [1983] о том, что текст есть пространство, а пространство есть текст. Приведем здесь отрывок из его работы, перекликающийся с нашими представлениями:

Пространство приуготовано к принятию вещей, оно восприимчиво и дает им себя , уступая вещам форму и предлагая им взамен свой порядок , свои правила простирания вещей в пространстве. Абсолютная неразличимость («немота», «слепота») пространства развертывает свое содержание через вещи. Благодаря этому актуализируется свойство пространства к членению, у него появляется «голос» и «вид» (облик), оно становится слышимым и видимым, т. е. осмысляемым (в духе идей прокловых «Первооснов теологии»). На этом уровне пространство есть некий знак, сигнал. Более того, вещи высветляют в пространстве особую, ими, вещами, представленную парадигму и свой собственный порядок – синтагму , т. е. некий текст . Этот «текст пространства» обладает смыслом , который может быть воспринят как сверху (чем-то вроде Единого в учении Прокла, тем, кому ничто не мелко ), так и снизу – через серию промежуточных эманаций, когда появляется субъект осмысления этого «текста пространства», принадлежащий уже к стандартному типу. В этом смысле можно говорить о пространстве как потенциальном тексте, его вместилище (таком, что оно взаимосвязанно со своим «наполнением»). Вместе с тем, реализованное (актуализированное через вещи) пространство в этой концепции должно пониматься как сам текст … (с. 279–280).

Тексты здесь выступают как результат понимания субъектом немых смыслов пространства. Это почти буквально совпадает с тем, что мы говорим об эволюционизме. У нас в роли субъекта, осмысляющего немые смыслы пространства, выступает сама Природа.

Высказывания Топорова перекликаются со словами о пространстве и времени самобытного писателя А. Кима [1984]:

Время считается существующим только потому, что происходит событие, а потом его нет. В пространстве происходят какие-то события – ну, скажем, чья-то жизнь проходит, – а это всего лишь видоизменяется само пространство, вот что называют временем, Лилиана. Видоизменение пространства и есть жизнь, а не печальная утрата времени, как мы думаем. Мы ведь ничего не утрачиваем. Пространство всегда остается там, где было, но только всегда меняет свой вид посредством наших жизней. И еще – благодаря движениям облаков, ветра, птиц, зверей, ручьев и падающих в море скал… Ты есть всего лишь часть видоизменяющегося мирового пространства, случайно названная именем Лилиана… (с. 187–188).

И это удивительно: такие представления спонтанно возникают у писателя, свободного от каких бы то ни было теоретических построений.

Сознание

В нашей книге [Nalimov, 1982] мы показали, что процессы, происходящие на глубинных уровнях сознания, надо рассматривать, обращаясь к вероятностно взвешенным семантическим полям. Это открывает возможность использования бейесовской логики, отличающейся гибкостью, но соответственно, конечно, и меньшей отчетливостью, чем логика Аристотеля. В вероятностных пространствах нам удалось построить образ личности, включая такие ее аспекты, как эго, метаэго, многомерность, гиперэго. В плане историческом отметим, что первая попытка геометрического представления личности была сделана еще Куртом Левиным [Lewin, 1936]. Он пытался решить эту задачу, обращаясь лишь к элементарным топологическим представлениям. Отказываясь от превалирующего в психологии классификационного метода осмысления личности, Левин пытается построить структурный образ личности. Интересна его стратиграфия личности в разных обстоятельствах: геометрия спокойного состояния, состояний стресса и сильного напряжения. Обратим здесь также внимание на топологические модели сознания Э. Зимана [Zeeman, 1965]. Опираясь на алгебраическую топологию, он пытается построить (хотя бы и весьма схематичную) модель, связывающую нейрофизиологическую деятельность мозга с такими проявлениями сознания, как память, обучение, цветное зрение, слуховое восприятие. В другой работе [3иман, Бьюнеман, 1970], обращаясь к топологически размытым толерантным пространствам, авторы дают геометрическую интерпретацию появлению неопределенности в памяти, мышлении и понимании смысла.

Мы видим, как в современной психологии от основного направления недавно отщепилось новое, пока еще аппендиксное направление, известное под названием трансперсональная психология [114], – это попытка изучать сознание человека за пределами его дискретной капсулизации; в нашей терминологии, личность здесь оказывается возможным интерпретировать как некоторую проявленность семантического поля. Через это поле сознание взаимодействует с самим собой и с целостностью мира.

В связи с проблемой искусственного интеллекта обострился интерес к представлению о метрике пространств математического мышления. Вот что пишет по этому поводу математик Хофштадтер [Hofstadter, 1980]:

Каждый математик чувствует, что в математике существует некая метрика, объединяющая идеи, – что вся математика eсть сеть результатов, которые соединены между собой огромным количеством связей. Одни идеи этой сети связаны очень тесно; другие – требуют тщательно разработанных подходов, чтобы быть связанными. Две теоремы в математике иногда близки потому, что, зная одну теорему, легко доказать другую. В ином случае две идеи кажутся близкими, потому что они аналогичны или даже изоморфны друг другу. Слово «близкий» в математике имеет два разных смысла. Возможно, их много больше, чем два. Можно ли в этом чувстве математической близости усматривать объективность или универсальность, или оно есть просто случайный результат исторического развития – трудно определить. Нам кажется, что некоторые теоремы из различных областей математики весьма трудно связать, и мы могли бы утверждать, что они не связаны, – однако позднее что-то может заставить нас думать по-другому. Имей мы возможность ввести это высокоразвитое ощущение математической близости – «ментальную метрику математика»… – в программу, мы могли бы создать примитивного «искусственного математика» (с. 612).

Иными словами, искусственный интеллект мог бы быть сближен с математическим мышлением, если бы оказалось возможным осознать метрические свойства пространства мышления человека.

И если раньше, следуя Канту, мы могли говорить о том, что пространство есть форма созерцания внешнего Мира, то теперь, основываясь на сказанном выше, мы готовы идти дальше и говорить, что само сознание структурировано геометрически: экзистенциально человек геометричен. Этот вывод, как нам представляется, имеет принципиальное значение для философии.

Желая усилить аргументацию этого утверждения, мы обратим здесь внимание на геометрическую обусловленность зрительного восприятия. Наше зрительное восприятие – это не автоматическое перенесение внешнего Мира в наше сознание, а его сложное воспроизведение, отвечающее определенным геометриям. Эта тема обстоятельно рассмотрена в книге C.B. Петухова [1981]. Опираясь на приведенные в ней материалы, отметим прежде всего, что еще в сороковых годах Р. Лунебург [Luneburg, 1947, 1948, 1950][115]высказал экспериментально обоснованное утверждение о том, что пространство зрительного восприятия у человека характеризуется геометрией Лобачевского. Позднее это высказывание нашло широкий и благоприятный отклик. Особенно обстоятельная проверка концепции Лунебурга была осуществлена в работе [Kienle, 1964] в 1960-х годах. Серьезное применение геометрический подход нашел в цветоведении. Известный физик Э. Шрёдингер [Schrödinger, 1920], занимавшийся и теорией зрения, опирался на представления проективной геометрии при изучении физиологических законов смешения цветов. Г. фон Шеллинг [von Shelling, 1955; 1956 a, b; 1960; 1964] ввел неевклидову метрику для описания цветовосприятия и построил перцепционную теорию относительности по аналогии с представлением о пространственно-временном многообразии в специальной теории относительности. Г. Резников [Reznikoff, 1974] обратился к дифференциальной геометрии при изучении цветовосприятия. Даже из такого беглого обзора следует, что зрительное восприятие Мира – это его отображение через тексты нашего сознания, построенные на совсем нетривиальных геометриях.

Несколько перефразируя суждение Петухова [1981], мы можем сказать, что в нашем сознании при построении текстов, через которые мы воспринимаем Мир, происходит что-то очень похожее на то, что происходит в морфогенезе. Мы готовы увидеть в глубинах сознания те же геометрические образы , которые раскрываются в морфогенезе. Отсюда становится понятным, почему при механическом надавливании на глазное яблоко появляются в поле зрения фосфены – простые геометрические фигуры[116]. Хорошо известно, что человек, обращаясь к миру своего бессознательного, сталкивается прежде всего с геометрическими фигурами, обретающими статус символов-архетипов[117]. В качестве примера приведем постмедитационные картины художника Алексея Дьячкова (рис. 9—16 на цветной вкладке). Эти картины можно сопоставить, скажем, янтрам [118]– сложным тантрическим изображениям, построенным из абстрактных геометрических символов. Смысл и назначение янтр многоплановы. С одной стороны, они несут определенную метафорическую нагрузку, символизируя космическое единство, а с другой – являются инструментами, которые используются как в ритуальных действиях, так и в медитациях, направленных на погружение в глубины собственной психики для слияния своей личности с космическим началом. Просматривая книгу [Madhu Khanna, 1979], посвященную образам янтр, мы не без некоторого удивления отмечаем, что в тантрических конструкциях чаще всего основным элементарным символом оказывается все тот же треугольник, что и в картинах нашего художника. Одна из янтр воспроизведена на рис. 8. Может быть, все это связано с архаикой сознания, с теми его проявлениями, которые уходят корнями в далекое прошлое не только антропогенеза, но и филогенеза (поскольку одна из структурных составляющих нашего мозга, оказывающая влияние на сознание, сохраняет отпечаток далекого филогенетического прошлого)? Здесь, наверное, уместно напомнить то, что говорилось в начале нашей работы о роли числа три в мире живого. Треугольник есть простейшее геометрическое проявление этого числа.

Рис. 8. Смар-хара Янтра (деталь), «снимающая желания». Круг символизирует латентную энергию Кундалини, которая, будучи разбуженной, способна проникать сквозь последовательные слои духовной сущности, представленной пятью мужскими и женскими треугольниками, соответствующими пяти психическим оболочкам, которые окутывают глубинное «Я» [Madhu Khanna. Yantra. London: Thames and Hudson, 1979, p. 142].

Теперь мы можем дать чисто геометрическую интерпретацию символу тринитарности – единству троичного[119]. Треугольник (в математике симплекс – простейшая фигура на плоскости) примечателен тем, что три точки, образующие его вершины, с одной стороны, могут рассматриваться как отдельные самостоятельные элементы, с другой стороны, они образуют нечто целое: простейшую геометрическую фигуру. Отсюда, возможно, и идея тринитарности. В глубокой древности человек, или, скорее, его предок, впервые понявший это, сделал удивительный шаг – стал мыслить пространственно. И именно этот, решающий в эволюции человека шаг, как нам представляется, запечатлен в метафоре тринитарности.

Сейчас перед нами лежит статья [Dyer, Gould, 1983], посвященная ориентировке в полете медоносных пчел. Из нее мы узнаем, что пчелы – это прирожденные геометры. Одно из объяснений их способности ориентировки звучит так:

…пчелы выполняют в своем мозгу какие-то сложные операции, сравнимые с операциями сферической тригонометрии (с. 593).

Удивительно геометрическим оказывается и поведение эвфаузиевых рачков (родственных креветкам) [Зеликман, 1982]. Они обитают в поясе циркум-антарктического течения. Держатся по преимуществу в стаях, образующих определенные геометрические фигуры. Плотность населенности таких стай огромна: 10000 особей (каждая размером от 3 мм до 6 см) в одном кубическом метре воды. С борта парохода такая стая может выглядеть как вытянутая эллипсоподобная фигура или, скажем, как лентоподобная гантелевидная поверхность. Если корабль, идущий по морю, разбивает такое образование, то оно чаще всего немедленно восстанавливается. При приближении хищника стая мгновенно рассыпается, оставляя после себя облако линочных шкурок, и потом опять собирается. Наверное, можно привести и много других примеров геометрической упорядоченности движения животных, скажем, клин летящих журавлей… Не следует ли отсюда, что способность отдавать предпочтение отдельным геометрическим фигурам заложена уже в реликтовых формах сознания?