Предложение есть функция истинности элементарных предложений. (Элементарное. предложение – функция истинности самого себя.)
5. 01. Элементарные предложения-аргументы истинности предложения.
5. 02. Само собой напрашивается смешение аргументов функции с индексами имен. Я узнаю значение знака настолько же из его аргумента, насколько и из его индекса. В расселовском +с, например, «с» есть индекс, указывающий на то, что весь знак есть знак сложения количественных чисел. Но этот способ символизации основывается на произвольном соглашения, и можно было вместо +с выбрать другой простой знак, но в выражении «~р» «р» – не индекс, а аргумент: смысл выражения «~р» не может быть понят, если до этого не понят смысл «р». (В имени Юлий Цезарь «Юлий» есть индекс. Индекс всегда является частью описания объекта, к имени которого мы его присоединяем. Например, Цезарь из рода Юлиев.) Смешение аргумента и индекса, если я не ошибаюсь, лежит в основе теории Фреге о значении предложений и функций. Для Фреге предложения логики были именами, а их аргументы – индексами этих имен.
5. 1. Функции истинности можно упорядочивать в ряд. Это есть основоположение теории вероятностей.
5. 101. Функции истинности каждого определенного количества элементарных предложений могут быть написаны в схеме следующего вида. Те возможности истинности аргументов истинности этой схемы, которые подтверждают предложение, я буду называть основаниями истинности.
5. 11. Если основания истинности, общие для некоторого количества предложений, представляют – в то же время основания истинности некоторого определенного предложения, то мы говорим, что истинность этого предложения следует из истинности упомянутых предложений.
5. 12. В частности, истинность предложения «p» следует из истинности другого – «q», если все основания истинности второго являются основаниями истинности первого.
5. 121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого; р следует из q.
5. 122. Если р следует из q, то смысл «р» содержится в смысле «q».
5. 123. Если бог создает мир, в котором истинны некоторые определенные предложения, то он тем самым создает мир, в котором верны предложения, следующие из них. И подобно этому, он не мог бы создавать такого мира, в котором предложение «р» было бы истинно, не создавая всей совокупности его объектов.
5. 124. Предложение утверждает каждое предложение, следующее из него.
5. 1241. «p. q» есть одно из тех предложений, которые утверждают «р» и которые в то же время утверждают «q». Два предложения друг другу противоположны, если нет осмысленного предложения, которое утверждает их обоих. Каждое предложение, которое противоречит другому, отрицает его.
5. 13. Тот факт, что истинность одного предложения следует из истинности других предложений, мы усматриваем из структуры предложений.
5. 131. Если истинность одного предложения следует из истинности других, то это выражается теми отношениями, в которых находятся между собой формы этих предложений; и мы не нуждаемся в том, чтобы ставить их в эти отношения, связывая предварительно друг с другом в одно предложение, так как эти связи являются внутренними и существуют постольку, и лишь постольку, поскольку существуют эти предложения.
5. 1311. Если мы заключаем от р V q и ~р к q, то отношение между формами предложений «p\/q» и «~р» здесь затемняется способом обозначения. Но если мы, например, вместо «pVq» напишем «р / q – /- р / q и вместо «~р» – «~p/р» (р/q==ни р, ни q), тo внутренняя связь станет очевидной. (Тот факт, что можно заключить от (x) fx к fa, показывает, что общность существует также и в символе « (x) fx».)
5. 132. Если р следует из q, то я могу заключить от q к р; вывести р из q. Способ вывода всегда познается из обоих предложений. Только они могут оправдывать вывод. «Законы вывода», которые должны – как у Фреге и Рассела – оправдывать выводы, не имеют смысла и были бы излишни.
5. 133. Все выводы происходят априори.
5. 134. Из одного элементарного предложения не может следовать никакое другое.
5. 135. Никаким образом нельзя заключать из существования какого-либо одного положения вещей о существовании другого, полностью отличного от первого.
5. 136. Нет причинной связи, которая оправдывает подобный вывод.
5. 1361. События будущего не могут выводиться из событий настоящего. Вера в причинную связь есть предрассудок.
5. 1362. Свобода воли состоит в том, что будущие действия сейчас не могут быть познаны. Мы могли бы их знать только в том случае, если причинность была бы внутренней, необходимостью, как и необходимость логического вывода. Связь здания и познанного есть связь логической необходимости. («А знает, что р имеет место» не имеет смысла, если р есть тавтология.)
5. 1363. Если из того, что предложение для нас очевидно, не следует, что оно истинно, то очевидность также не является оправданием для нашей веры в его истинность.
5. 14. Если какое-либо предложение следует из другого, то последнее говорит больше, чем первое; первое меньше, чем последнее.
5. 141. Если р следует из q и q из р, то они являются одним и тем же предложением.
5. 142. Тавтология следует из всех предложений: она ничего не говорит.
5. 143. Противоречие есть то общее у предложений, что ни одно предложение не имеет общим с другими. Тавтология есть общее всех тех предложений, которые не имеют друг с другом ничего общего. Противоречие исчезает, так сказать, вне всех предложений, тавтология – внутри них. Противоречие есть внешняя граница предложений, тавтология – их лишенный субстанции центр.
5. 15. Если Иr – количество оснований истинности предложения «r», а Иrs – количество тех оснований истинности предложения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», то мы назовем отношение Иrs: Иr мерой вероятности, которую предложение «r» дает предложению «s».
5. 151. Пусть в схеме, подобной той, которая приведена выше за № 5. 101, Иr – количество «И» в предложении «r»; Иrs – количество тех «И» в предложении s, которые стоят в одинаковых столбцах с «И» предложения r. Тогда предложение « r « дает предложению «s» вероятность Иrs: Иr.
5. 1б11. Нет никакого особого объекта, свойственного вероятностным предложениям.
5. 152. Предложения, которые не имеют общих друг с другом аргументов истинности, мы называем независимыми друг от друга. Два элементарных предложения дают друг другу вероятность 1/2. Если р следует из q, то предложение q дает предложению «р» вероятность 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности. (Применение к тавтологии и противоречию.)
5. 153. Предложение само по себе ни вероятно, ни невероятно. Событие наступает или не наступает; среднего не дано.
5. 154. В урне было одинаковое количество белых и черных шаров (и только их). Я вытаскиваю один шар за другим и кладу их в урну обратно. Тогда я могу установить опытом, что число вынутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании. Это, следовательно, не математический факт. Если я теперь говорю: одинаково вероятно, что я вытяну-как белый шар, так и черный, то это означает: все известные мне обстоятельства (включая и гипотетически принимаемые естественные законы) придают наступлению одного события не больше вероятности, чем наступлению другого. Это означает, что они дают – как легко понять из вышеприведенных разъяснений – каждому событию вероятность, равную 1/2. Проверить я могу только то, что наступление этих двух событий не зависит от обстоятельств, которых я не знаю более подробно.
5. 155. Единица вероятностного предложения такова: обстоятельства – о которых я больше ничего не знаю – дают наступлению определенного события такую-то и такую-то степень вероятности.
5. 156. Таким образом, вероятность есть обобщение. Она включает общее описание формы предложения. Только за неимением достоверности мы нуждаемся в вероятности. Когда мы знаем факт не полностью, но, однако, знаем что-то о его форме. (Хотя предложение, действительно, может быть не полным образом определенного положения вещей, но оно всегда какой-нибудь полный образ.) Вероятностное предложение является как бы извлечением из других предложений.
5. 2. Структуры предложении стоят друг к другу во внутренних отношениях.
5. 21. Мы можем подчеркнуть эти внутренние отношения в нашем способе выражения, изображая предложение как результат операции, которая образует его из других предложений (оснований (Basen) операций).
5. 22. Операция есть выражение отношения между структурами их результатов и их оснований.
5. 23. Операция есть то, что должно произойти с предложением, чтобы образовать из него другие.
5. 231. И это, естественно, зависит от их формальных свойств, от внутреннего подобия их форм.
5. 232. Внутреннее отношение, упорядочивающее ряд, эквивалентно операции, благодаря которой один член возникает из другого.
5. 233. Операция впервые может выступать там, где одно предложение возникает из другого логически значимым способом, т. е. там, где начинается логическая конструкция предложения.
5. 234. Функции истинности элементарных предложений являются результатами операций, которые имеют своими основаниями элементарные предложения. (Эти операции я называю операциями истинности.)
5. 2341. Смысл функции истинности р есть функция смысла р. Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. д. – суть операции. (Отрицание делает противоположным смысл предложения.)
5. 24. Операция проявляется в переменной; она показывает, как из одной формы предложения можно получить другую. Она дает выражение различию форм. И общим между основаниями и результатом операции как раз и являются сами основания.
5. 241. Операция характеризует не форму, а только различие форм.
5. 242. Та же самая операция, которая выводит «q» из «p», выводит из «q» из «p» и так далее. Это может быть выражено только тем, что «р», «q», «r» и т. д. Являются переменными, которые дают общее выражение определенным формальным отношениям.
5. 25. Наличие операции не характеризует смысла предложения. Операция ведь ничего не утверждает, утверждает только ее результат, а это зависит от оснований операции. (Операцию и функцию не следует путать друг с другом.)
5. 251. Функция не может быть своим собственным аргументом, а результат операции может быть ее собственным основанием.
5. 252. Только так возможен переход от члена к члену в формальном ряду (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда). (Рассел и Уайтхед не признавали возможности этого перехода, но всегда его употребляли.)
5. 2521. Повторное применение операции к своему собственному результату я называю ее последовательным применением («0' 0' 0', а») есть результат трехразового последовательного применения «0' « к «а»). В подобном же смысле я говорю о последовательном применении многих операций к определенному количеству предложений.
5. 2522. Общий член формального ряда а, О', а, О' О' а... я пишу поэтому так: «[а, x, О', х]». Это выражение в скобках есть переменная. Первый член выражения в скобках есть начало формального ряда, второй – форма произвольного члена х ряда и третий – форма того члена ряда, который непосредственно следует за х.
5. 2523. Понятие последовательного применения операции эквивалентно понятию «и так далее».
5. 253. Одна операция может аннулировать результат другой. Операции могут друг друга аннулировать.
5. 254. Операция может исчезать (например, отрицание в «~ ~ p». ~ ~р=р).
5. 3. Все предложения представляют результат операций – истинности с элементарными предложениями. Операция истинности есть способ возникновения функции истинности из элементарных предложений. Согласно природе операции истинности, таким же образом как из элементарных предложений возникают их (дикции истинности, из функций истинности возникают новые. Каждая операция истинности создает из функций истинности элементарных предложений новую функцию истинности элементарных предложений, т. е. предложение. Результат каждой операции истинности над результатами операций истинности над элементарными предложениями является снова результатом одной операции истинности над элементарными предложениями. Каждое предложение есть результат операции истинности над элементарными предложениями.
5. 31. Схемы № 4. 31 имеют значение также тогда, когда «р», «q», «r» и т. д. не являются элементарными предложениями. И легко увидеть, что пропозициональный знак в № 4. 42 выражает одну функцию истинности элементарных предложений, даже если «р» и «q» являются функциями истинности элементарных предложений.
5. 32. Все функции истинности являются результатами последовательного применения конечного количества операций истинности к элементарным предложениям.
5. 4. Здесь становится ясным, что нет «логических объектов», «логических констант» (в смысле Фреге и Рассела).
5. 41. Ибо все те результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, тождественны.
5. 42. Очевидно, что V, É и т. д. не являются отношениями в смысле правого и левого. Возможность перекрестного определения логических «первичных знаков» Фреге и Рассела уже показывает, что они не являются «первичными знаками» и не обозначают никаких отношений. И очевидно, что «É», которое мы определяем через «~» и «V» тождественно тому, посредством чего мы определяем «\/» с помощью «~», и что это «V» тождественно с первым, и так далее.
5. 43. Заранее, однако, довольно трудно поверить в то, что из факта р должно следовать бесконечно много других фактов, а именно ~ ~р , ~ ~ ~ ~р и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное количество предложений логики (математики) следует из полдюжины «исходных предложений» (Grundgesetze). Но все предложения логики говорят одно и то же. А именно ничего.
5. 44. Функции истинности не являются материальными функциями. Если можно, например, получить утверждение через двойное отрицание, то содержится ли тогда отрицание в каком-либо смысле – в утверждении? Отрицает ли «~~р» ~р или оно утверждает р? Или то и другое? Предложение «~ р» не трактует отрицание как объект; возможность отрицания, пожалуй, предрешается уже в утверждении. И если бы существовал объект, называемый «~», то «~~р» должно было бы говорить нечто другое, чем «р». Так как одно предложение говорило бы о ~, другое – нет.
5. 441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если «~ ($ х). ~fx» говорит то же самое, что и « (х). fx, или если «~ ($ х). ~fxх = a» говорит то же самое, что и «f а».
5. 442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.
5. 45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.
5. 451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы «~ p» так же, как в предложениях вида – ~ p V q) «, « ($ х). ~fx « и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для у потребления в обоих случаях одного и того же способа символизации. (Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arith-metik») говорил относительно введения знаков через определения.)
5. 452. Введение нового знака в символизм логики должно быть всегда чревато последствиями. Ни один новый знак не должен вводиться в логике – так сказать, с совершенно невинной миной – в скобках или в сноске. (Так, в «Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда встречаются словесные определения и исходные предложения. Почему здесь внезапно появляются слова? Это нуждается в оправдании. Но оправдания нет и не может быть, так как этот процесс (внезапное появление слов. – Перев.) фактически не дозволен.) Но если введение нового знака является необходимо доказанным в каком-либо месте, то должны тотчас же спросить: где должен этот знак постоянно применяться? Отныне его место в логике должно быть выяснено.
5. 453. Все числа в логике должны допускать оправдание. Или – скорее – должно выявиться, что в логике нет никаких чисел. Нет никаких привилегированных чисел.
5. 454. В логике нет соседства, нельзя дать никакой классификации. В логике не может быть более общего- и более особенного.
5. 4541. Решения логических проблем должны быть простыми, так как они устанавливают стандарт простоты. Люди всегда догадывались, что должна быть дана область вопросов, ответы на которые априори симметричны и объединяются в законченные регулярные структуры. Область, в которой предложение достоверно: simplex sigillum veri.
5. 46. Если логические знаки вводятся правильно, то тем самым вводится смысл всех их комбинаций, следовательно, не только «pVq», но также и «~ (pV~q)» и т. д. Тем самым вводится результат всех возможных комбинаций скобок. И благодари этому становится ясным, что собственно общими первичными знаками являются не «p\/q», ($ х) f (x)» и т. д., а самая общая форма их комбинаций.
5. 461. Большое значение имеет тот кажущийся неважным факт, что логические псеадоотношения, как V и É, нуждаются в скобках, в отличие от действительных отношений. Употребление, скобок при этих псевдопервичных знаках уже Указывает на то, что они не являются в действительности первичными знаками. Все-таки, по-видимому, никто не верит, что скобки имеют самостоятельное значение.
5. 4611. Логические знаки операций являются пунктуациями.
5. 47. Ясно, что все то, что может быть сказано заранее о форме всех предложений вообще, может быть сказано за один раз (aufeinmal). Ведь все логические операции уже содержатся в элементарном предложении. Потому что «о» говорит то же самое, что и « ($ х) fх. х. == а». Где есть композиция, там есть аргумент и функция, а где есть они, там есть уже все логические константы. Можно было бы сказать: одна логическая константа есть то, что все предложения, по своей природе, имеют общим друг с другом. Но это есть общая форма предложения.
5. 471. Общая форма предложения есть сущность предложения.
5. 4711. Дать сущность предложения значит дать сущность всех описаний, следовательно, дать сущность мира.
5. 472. Описание самой общей формы предложения есть описание одного и единственного общего первичного знака в логике.
5. 473. Логика должна сама о себе заботиться. Возможный знак тоже должен быть способен обозначать. Все то, что в логике возможно, является также дозволенным. («Сократ тождествен» ничего. не означает потому, что нет свойства, называемого «тождественный». Предложение бессмысленно потому, что мы не дали некоторого произвольного определения, а не потому, что символ сам по себе не дозволен.) В некотором смысле мы не можем делать ошибок в логике.
5. 4731. Самоочевидность, о которой так много говорил Рассел, в логике может стать лишней только благодаря тому, что язык сам предотвращает каждую логическую ошибку. Априорность логики заключается в том, что нельзя нелогически мыслить.
5. 4732. Мы не можем дать знаку неправильный смысл.
5. 47321. «Бритва» Оккама не является, конечно, произвольным правилом или правилом, оправданным своим практическим успехом: она просто. говорит, что не необходимый элемент символики ничего не значит. Знаки, служащие для одной цели, логически эквивалентны; знаки, не служащие ни для какой цели, логически неэначимы.
5. 4733. Фреге говорит: каждое законно образованное предложение должно иметь некоторый смысл; и я говорю: каждое возможное предложение образовано законно, и если оно не имеет смысла, то это может быть только потому, что мы не дали некоторым его составным частям никакого значения. (Даже если мы верим, что это сделано.) Так, предложение «Сократ тождествен» ничего не говорит потому, что мы не дали никакого значения слову «тождественный» как прилагательному. Потому что, когда оно выступает как знак равенства, оно символизирует совсем другим образом-отношение-обозначения другое, – следовательно, символ в обоих случаях также совершенно разный; оба символа только случайно имеют общий знак.
5. 474. Количество необходимых основных операций зависит только от нашего способа записи.
5. 475. Это только вопрос построения системы знаков с определенным числом измерений-с определенной математической множественностью.
5. 476. Ясно, что здесь речь идет не о количестве исходных понятий, которые должны обозначаться, но только о выражении правила.
5. 5. Каждая функция истинности есть результат последовательного применения операций (- – – – – И) к элементарным предложениям. Эта операция отрицает все предложения в правых скобках, и я называю ее отрицанием этих предложений.
5. 501. Выражение в скобках, члены которого являются предложениями, я обозначаю-если последовательность членов в скобках безразлична-знаком вида «x». «x» есть переменная, значения которой являются членами выражения, заключенного в скобки; и черточка над переменной означает, что она заменяет все свои значения в скобках. (Если, например, «x» имеет три значения: Р, W, R, то, следовательно, (x) = ( Р, W, R) Значения переменных устанавливаются. Установление есть описание предложений, заменяемых переменной. Как происходит описание членов выражения, заключенного в скобки, не существенно. Мы можем различать три вида описаний: I.Прямое перечисление. В этом случае мы можем просто вместо переменной поставить ее постоянное значение. II.Указание функции fx, значения которой для всех значений х являются описываемыми предложениями. III.Указание формального закона, по которому образованы эти предложения. В этом случае члены выражения, заключенного в скобки, суть все члены формального ряда.
5. 502. Я, следовательно, пишу вместо « (- – – – – И) (x...) «, N (x)». N (x) есть отрицание всех значений пропозициональной переменной.
5. 503. Так как, очевидно, легко выразить, как посредством этой операции могут образовываться предложения и как посредством ее они не должны образовываться, то поэтому данное обстоятельство также должно допускать точное выражение.
5. 51. Если x имеет только одно значение, то N (x) = ~ р (не р), и если имеет два значения, то N (x) = ~ p. ~q (ни р, ни q).
5. 511. Как может всеобъемлющая, отражающая мир логика употреблять такие специальные трюки и манипуляции? Только связывая все это в бесконечно тонкую сеть, в огромное зеркало.
5. 512. «~ р» истинно, если «p» ложно. Следовательно, в истинном предложении «~ р» «р» есть ложное предложение. Как может теперь штрих «~» привести его в соответствие с действительностью? Но то, что отрицает в «~ р», есть, однако, не «~», но то, что является общим для всех знаков этого способа записи, отрицающих р. Отсюда общее правило, по которому образуются «~ р», «~ ~ ~ р», « ~ р V ~ p», «~ p ~ p» и т. д. (до бесконечности). И это общее вновь отражает отрицание.
5. 513. Можно было бы сказать: общее всех символов, которые утверждают как р, так и q, есть предложение «pVq». Общее всех символов, которые утверждают или р, или q, есть предложение «рVq». Итак, можно сказать: два предложения друг другу противоречат, когда они не имеют ничего общего друг с другом; и каждое предложение имееттолькоодно отрицание, так как имеется только одно предложение, которое полностью лежит вне его. Таким же образом в расселовском способе записи обнаруживается, что «q: pV~ p» говорит то же самое, что и «q»; что «р V ~ p»ничего не говорит.
5. 514. Если установлен способ записи, то в нем имеется правило, по которому образуются все предложения, отрицающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р или q, и т. д. Эти правила эквивалентны символам, и в них снова отражается их смысл.
5. 515. Следует показать в наших символах, что то, что связывается посредством «V», «.» и т. д., должно быть предложениями. Именно это имеет место, так как символы «р» и «q» ведь сами предполагают «V», «~» и т. д. Если знак «р» в «pVq» не замещает комплексного знака, то он сам по себе не может иметь смысла, но тогда знаки «рVр», «р. р» и т. д., имеющие тот же смысл, что и «р», также не имеют смысла. Но если «рVр» не имеет смысла, то «рVq» также не может иметь смысла.
5. 5151. Должен ли знак отрицательного предложения образовываться с помощью знака положительного? Почему нельзя выразить отрицательное предложение посредством отрицательного факта? (Например, если «а» не стоит в определенном отношении к «b», то это можно было выразить тем, что aRb не имеет места.) Но ведь здесь отрицательное предложение также косвенно образовано через положительное. Положительное предложение предполагает существование отрицательного предложения и наоборот.
5. 52. Если значения S являются всеми значениями функции fx для всех значений х, то N (x) = ~ ($x). fx
5. 521. Я отделяю понятие «все» от функции истинности. Фреге и Рассел вводили общность в связи с логическим произведением или логической суммой. Так было труднее понять предложения « ($x). fх» и « (x) fx», в которых скрыты обе эти идеи.
5. 522. Своеобразие «символики общности», во-первых, в том, что она ссылается на логический первообраз, и, во-вторых, что она подчеркивает константы.
5. 523. Символ общности выступает как аргумент.
5. 524. Если даны объекты, то тем самым уже даны все объекты. Если даны элементарные предложения, то тем самым также даны все элементарные предложения.
5. 525. Неправильно передавать предложение « ($x). fх» словами «fx возможно», как это делает Рассел. Несомненность, возможность или невозможность положения вещей выражаются не предложением, но тем, что выражение есть тавтология, осмысленное предложение или противоречие. Тот прецедент, на который постоянно могли бы ссылаться, должен наличествовать уже в самом символе.
5. 526. Можно полностью описать мир при помощи вполне обобщенных предложений, т. е. не согласовывая заранее какое-либо имя с определенным объектом. Чтобы затем перейти к обычному способу выражения, нужно просто к выражению «имеется один и только один х, который...» прибавлять: «и этот х есть а».
5. 5261. Вполне обобщенное предложение является составным, как и любое другое предложение. (Это проявляется в том, что мы в « ($х, Ф). Фх» должны упоминать «Ф» и «x» раздельно. Оба независимо стоят в отношениях обозначения к миру, как и в необобщенном предложении.) Охарактеризуем составной символ: он имеет нечто общее с другими символами.
5. 5262. Ведь истинность или ложность каждого предложения меняет нечто в общей структуре мира. И пространство, которое оставляется его структуре совокупностью элементарных предложений, есть как раз то, которое ограничивается вполне общими предложениями. (Если истинно какое-либо элементарное предложение, то тем самым во всяком случае истинно еще одно элементарное предложение.)
5. 53. Тождество объектов я выражаю тождеством знаков, а не с помощью знака тождества. Различие объектов – различием знаков.
5. 5301. Очевидно, что тождество не есть отношение между объектами. Это становится совершенно ясным, если, например, рассмотреть предложение: « (х) : fx. É. х = а». Это предложение говорит просто то, что только а удовлетворяет функцию f, а не то, что только такие вещи удовлетворяют функцию f, которые имеют определенное отношение к а. Можно, конечно, теперь сказать, что как раз только а имеет это отношение к а, но, чтобы выразить это, мы нуждаемся в самом знаке тождества.
5. 5302. Расселовское определение «==« не годится, так как согласно ему нельзя сказать, что два объекта имеют общими все свойства. (Даже если это предложение никогда не верно, оно все же имеет смысл.)
5. 5303. Между прочим: сказать о двух предметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном предмете, что он тождествен самому себе, значит ничего не сказать.
5. 531. Следовательно, я не пишу «f (a, b). a == b», но «f (а, а)» (или «f (b, b) «). И не «f (а, b). ~ а == b», но «f (а, b)».
5. 532. И аналогично: не « ($х, y).f (х, у). х == y», но ($х).f (x, x ) «; и не « ( $х, у). f (x. y). ~ х = у», но « ($х, y).f (х, у)».
(Следовательно, вместо расселовского « ($х, y).f (х, у) « :« ($х, y).f (х, у)». V « ($х).f (х, x)».)
5. 5321. Вместо «(х) : fх х == а» мы, следовательно, пишем, например, « ($х).f (х, у)». : ~ ($х, y). fх fу». А предложение «только один х удовлетворяет f ()» гласит: « ($х).fx: ~ ($х, y).fx. fy».
5. 533. Следовательно, знак тождества не является существенной составной частью логической символики
5. 534. И теперь Мы видим, что псевдопредложения, как «а==а», «а= Ь. Ь = с. É а ==с», « ($). х == х», « ($х). х == о» и т. д., в правильной логической символике даже не могут быть написаны.
5. 535. Тем самым исчезают и все проблемы, связанные с подобными псевдопредложениями. Здесь уже решаются все проблемы, связанные с расселовской «аксиомой бесконечности». То, что должна высказать аксиома бесконечности, могло бы выразиться в языке тем, что имеется бесконечно много имен с различным значением.
5. 5351. Существуют определенные случаи, когда возникает искушение употребить выражение вида «а =а» или «рÉр» и тому подобные. Это происходит именно тогда, когда хотят говорить о прообразе: предложение, вещь и т. д. Так, Рассел передал в «Принципах математики» («Principles of Mathematics») бессмыслицу «р есть предложение» в символах посредством «рÉр» и принял ее как гипотезу для определенных предложений, чтобы показать, что места их аргументов могут быть заняты только предложениями. (Ставить гипотезу рÉрперед предложением, чтобы его аргументам обеспечить правильную форму, уже потому бессмысленно, что эта гипотеза для не-предложения как аргумента является не ложной, «о бессмысленной, и потому, что само предложение с аргументами неправильного вида является бессмысленным и, следовательно, предохраняет себя от неправильных аргументов столь же хорошо или столь же плохо, как и бессмысленная гипотеза, предназначенная для этой цели.)
5. 5352. Также-хотели выражать «предметов не существует» через «~ ($х, y). х=х». Но даже если это было бы предложением, разве оно не было бы истинным, даже если бы действительно «предметы существовали», но при этом не были бы тождественны самим себе?
5. 54. В общей пропозициональной форме предложение входит в предложение только как основание операций истинности.
5. 541. На первый взгляд, кажется, будто предложение может также входить в другое и другим способом. В особенности в определенных формах предложений психологии, как «А думает, что р имеет место» или «А мыслит р». Здесь на первый взгляд кажется, что предложение р как будто стоит к объекту А в каком-то отношении. (Так понимались эти предложения и в современной теории познания (Рассел, Мур и т. д.).)
5. 542. Но ясно, что «Доверит, что р», «А мыслит р», «А говорит р» являются предложениями формы: «р говорит р»; и здесь мы имеем не координацию факта и объекта, а координацию фактов посредством координации их объектов.
5. 5421. Это также показывает, что душа-субъект и т. д., – как она понимается в современной поверхностной психологии, есть небылица. Составная душа больше не была бы собственно душой.
5. 5422. Правильное объяснение формы предложения «А судит о р» должно показать, что невозможно судить о бессмыслице (расселовская теория этому условию не удовлетворяет).
5. 5423. Воспринимать комплекс значит воспринимать, что его составные части относятся друг к другу так-то и так-то. Этим, возможно, объясняется и то, что фигуру можно видеть как куб двояким образом; возможно, этим объясняются и все подобные явления. Ибо мы действительно видим два различных факта. (Если я смотрю сначала на углы «а» и только мельком на «b», то «a» кажется спереди, а «b» – сзади, и наоборот.)
5. 55. Мы теперь априори должны ответить на вопрос о всех возможных формах элементарных предложений. Элементарное предложение состоит из имен. По так как мы не можем указать количество имен с различными значениями, то мы не можем также указать состав элементарного предложения.
5. 551. Нашим основным принципом является то, что каждый вопрос, который вообще может решаться логикой, должен быть решен ею тотчас же. (И если мы оказываемся в такой ситуации, что должны решать подобную проблему с помощью созерцания мира, то это показывает, что наш путь ложен в своей основе.)
5. 552. «Опыт», в котором мы нуждаемся для понимания логики, заключается не в том, что нечто обстоит так-то и так-то, но в том, что •нечто есть, но это как раз не опыт. Логика есть до всякого опыта – что нечто есть так. Она есть до Как, но не до Что.
5. 5521. И если бы это было не так, то как могли бы мы применять – логику? Можно было бы сказать: если бы была» логика, даже если не было бы мира, как тогда могла бы быть логика, поскольку есть мир?
5. 553. Рассел говорил, что имеются простые отношения между различными количествами предметов (индивидов). Но между какими количествами? И как должно это решаться? Опытом? (Нет привилегированных чисел.)
5. 554. Перечисление любых особых форм было бы совершенно искусственным.
5. 5541. Должна априори иметься возможность устанавливать, могу ли я, например, попасть в такую ситуацию, чтобы я должен был обозначить знаком 27 местное отношение.
5. 5542. Но можно ли вообще так спрашивать? Можем ли мы установить знаковую форму, не зная, может ли ей нечто соответствовать? Имеет ли смысл вопрос: что должно быть, чтобы что-то другое могло иметь место?
5. 555. Ясно, что мы имеем понятие элементарного предложения, помимо его особых логических форм. Но где можно строить символы согласно системе, там логически важна эта система, а не отдельные символы. И как было бы возможно, чтобы я в логике имел дело с формами, которые я могу изобрести? Но я должен иметь дело с тем, что дает мне возможность изобретать их.
5. 556. Не может быть иерархии форм элементарных предложений. Мы – можем предвидеть только то, что мы сами конструируем.
5. 5561. Эмпирическая реальность ограничена совокупностью всех объектов. Граница снова появляется в совокупности всех элементарных предложений. Иерархии независимы от действительности и должны быть независимы от нее.
5. 5562. Если мы знаем по чисто логическим основаниям, что должны быть элементарные предложения, то это должен знать каждый, кто понимает предложения в их неанализированной форме.
5. 5563. Все предложения нашего разговорного языка являются фактически, так как (so wie) они есть, логически полностью упорядоченными. Всякое простейшее, которое мы должны здесь дать, не является. подобием. истины, но есть сама полная истина. (Наши проблемы не абстрактные, а, пожалуй, самые конкретные из всех.)
5. 557. Применение логики решает, какие элементарные предложения имеются. Логика не может заранее предвидеть того, что заключено в ее применении. Ясно: логика не должна противоречить своему применению. Но логика должна соприкасаться со своим применением. Следовательно, логика и ее применение не должны перекрещиваться друг с другом.
5. 5571. Если я не могу априори дать элементарных предложений, то желание их дать должно вести к явной бессмыслице.
5. 6. Границы моего языка означают границы моего мира.
5. 61. Логика наполняет мир; границы мира являются также ее границами. Поэтому мы не можем говорить- в логике: это и это существует в мире, а то – нет. Ибо это, по-видимому, предполагало бы, что мы исключаем определенные возможности, а этого не может быть, так как для этого логика должна была бы выйти за границы мира: чтобы она могла рассматриват<