Проблема применения математики и компьютерного моделирования в социально-гуманитарных науках.

Математизация — процесс внедрения и использования математики и ее методов в исследованиях, осуществляемых естественными и гуманитарными науками, в технике и в производстве. Начался этот процесс еще во времена Евклида и Архимеда, но свое выражение в научных трудах в виде сформулированных концепций получил только в XVII в. Лейбниц выступил с предложением заменить содержательные рассуждения исчислением на основе математики, чтобы с помощью арифметики и алгебры достичь удивительного искусства в открытиях и найти анализ, который в других областях дал бы нечто подобное тому, что алгебра дала в области чисел.

Сущность процесса математизации заключается в применении количественных понятий и формальных методов математики к качественно разнообразному содержанию частных наук. Последние должны быть достаточно развитыми, зрелыми в теоретическом отношении, осознать в достаточной мере единство качественного многообразия изучаемых ими явлений.

Применение математических методов в науке и технике за последнее время значительно расширилось, углубилось, проникло в считавшиеся ранее недоступными сферы. Эффективность применения этих методов зависит как от специфики предмета данной науки, степени ее теоретической зрелости, так и от совершенствования самого математического аппарата, позволяющего отобразить все более сложные свойства и закономерности качественно многообразных явлений.

Математика абстрагируется от конкретной природы предметов и явлений. Это говорит об универсальности ее применения. Полезность ее заключается в обеспечении высокой степени достоверности знаний, она делает их междисциплинарными и сближает. Выделяют три этапа внедрения математики:

1. мат-стат. обработка эмпирических знаний

2. разработка моделей и процессов

3. использование математического аппарата для оформления науки, математизация применения знаний.

Два типа моделей:

1. отражательно-измерительная модель

2. измерительная модель

Вместе с тем нельзя не заметить, что успехи математизации внушают порой желание "испещрить" свое сочинение цифрами и формулами (нередко без надобности), чтобы придать ему "солидность и научность". На недопустимость этой псевдонаучной затеи обращал внимание еще Гегель. Считая количество лишь одной ступенью развития идеи, он справедливо предупреждал о недопустимости абсолютизации этой одной (хотя и очень важной) ступени, о чрезмерном и необоснованном преувеличении роли и значении формально-математических методов познания, фетишизации языково-символической формы выражения мысли.

Математические методы надо применять разумно, чтобы они не "загоняли ученого в клетку" искусственных знаковых систем, не позволяя ему дотянуться до живого, реального материала действительности. Количественно-математические методы должны основываться на конкретном качественном, фактическом анализе данного явления, иначе они могут оказаться хотя и модной, но беспочвенной, ничему не соответствующей фикцией. Абстрактные формулы и математический аппарат не должны заслонять (а тем более вытеснять) реальное содержание изучаемых процессов. Применение математики нельзя превращать в простую игру формул, за которой не стоит объективная действительность. Вот почему всякая поспешность в математизации, игнорирование качественного анализа явлений, их тщательного исследования средствами и методами конкретных наук ничего, кроме вреда, принести не могут.

Проблемы, с которыми сталкиваются исследователи, применяющие математические методы в других науках, можно разделить на два типа. Первые – связанные с проблемами в самой математике, то есть когда, например, математическая модель явления построена, а ее исследование затруднено из-за того, что подходящие методы еще не разработаны, либо их разработка – нерешенная пока проблема (в математике очень много своих “внутренних” проблем). Второй тип связан с самими областями знания, которые подвергаются математизации: либо сложно построить математическую модель, либо построенная и изученная модель неправильно описывает изучаемое явление.

Обращение к компьютерной науке и опыту изучения представления знаний в системе компьютера дает возможность увидеть новые аспекты смысловой связи в познавательной деятельности и знании. Например, при обучении человека крайне важно путем смысловой интерпретации условий задачи установить связь с существующими знаниями. Человек как обучающаяся система может адаптироваться в сложной среде благодаря восприимчивости по отношению к смыслу. Понимание новой ситуации или задачи сводится к попытке найти в памяти ситуацию, наиболее сходную с данной. Человек может обрабатывать новые данные, лишь обратившись к памяти о накопленном опыте. Вероятно, структуры, применяемые для обработки новых данных, — это те же структуры, которые используются для организации памяти. Значит, новая задача, встречаемая человеком как в обыденной жизни, так, пожалуй, и в научном исследовании, требуют переформулировки в терминах уже сложившейся системы знаний.

Очевидно, что использование очень мощной компьютерной техники и ее идей открывает новые возможности в учении, мышлении, в эмоциональном и когнитивном развитии. Однако следует иметь в виду и определенные издержки компьютеризации общества. Исследователи выявили ряд неоднозначных проблем формирования «компьютерного сознания» и познания, одна из которых — «потребительское» отношение к компьютеру и появление в связи с этим некоторых отрицательных черт мышления. В частности, это снижение способности к критике, игнорирование чувственного аспекта познания и творческого начала как иррациональных моментов, не поддающихся формализации, утрата исторического подхода к явлениям (в силу синхронизации информации о них в банке данных), обеднение используемого языка, его оттенков и метафоричности, замена формализованными языками. Подобные вполне реальные издержки преодолеваются принципиально новым пониманием роли и возможностей взаимодействия человека и компьютера как инструмента, активно проявляющего и формирующего интеллектуальные способности человека, особенно в связи с обращением к Интернету. Многие задачи познания переосмыслены теперь как задачи вычисления, подключения к банкам данных, что придало мышлению объемность и масштабность, резко увеличило познавательный потенциал. Потребовалось постоянно анализировать свою деятельность, соотносить ее с другими дисциплинами, выявлять скрытые предпосылки, что сделало мышление принципиально методологическим, критико-рефлексивным.

Одним из интересных и плодотворных исследований этой группы проблем является программа, выполненная лабораторией Массачусетского технологического института под руководством профессора С. Пейперта. Ставилась задача найти пути формирования нового типа мышления — мышления XXI века, привлекая для этого возможности компьютера. Одна из фундаментальных проблем обучения состояла в том, как соотнести абстрактное идеализированное представление, например, о движении с реальными, житейскими представлениями учащихся, с их коренной, исходной интуицией. Принималось во внимание, что аристотелевы представления о движении хорошо согласуются с большинством ситуаций из нашего обыденного опыта, тогда как механические или ньютоновы представления о движении сложны и явно противоречат множеству наших интуитивных представлений относительно того, каким является мир. Учащиеся практически никогда не имеют дела с движением, о котором рассуждал Ньютон, т. е. с движением без сопротивления, вечным, «пока не остановят».

При отсутствии непосредственного восприятия ньютонова движения школа вынуждена представлять учащимся это движение в форме опосредствованного математизированного описания, через преобразование уравнений, но не через манипулирование с объектами. Отсюда задачи, которые поставила перед собой эта исследовательская группа: помочь интуитивному овладению механическим движением до усвоения уравнений и формальных предпосылок; задать в юном возрасте интуитивный контекст дальнейшего использования уравнений; найти способы, которые облегчили бы личностное овладение не только механическим движением и его законами, но и общими понятиями об этих законах. Все это предполагало принципиальное изменение исходной, коренной интуиции.

Именно с помощью компьютера оказывается возможным найти варианты решения этих задач, но в том случае, если он используется не просто как вычислительное устройство или для обогащения мышления, но как устройство, позволяющее изменить стереотипы в усвоении знаний и в самом мышлении. С помощью компьютера учащиеся получили возможность имитировать механическое мышление, анализировать его, выяснять, чем оно отличается от других стилей мышления, получить своего рода «прививку» от абсолютизации механистического мышления. Благодаря такому опыту человек уже в годы ученичества учится думать о знании, мышлении, анализировать его стиль и приемы, т. е. выступать в роли эпистемолога, умеющего распознавать и выбирать различные способы мышления.

Для развития этой способности группа Пейперта нашла нетрадиционный прием: с помощью компьютера и серии игр в реальном мире с реальными вещами создавались так называемые микромиры, каждый из которых должен был иллюстрировать один из миров, устроенных либо по представлениям Аристотеля, либо по законам Ньютона, идеям Эйнштейна и даже по «обобщенному закону движения в мире». В рамках последнего могли действовать бесконечно разнообразные законы движения, которые учащиеся придумают сами. Основой для этого становились личный опыт, хорошо известная «геометрия собственного тела» и другие знания и представления, которые вовлекались в творческую разработку разнообразных «законов» движения.

Критериями построения таких «микромиров» становилась возможность изучать законы движения, работая с простыми и доступными примерами, осуществляя деятельность по этим законам и определяя понятия на основе работы в этом «микромире». Учащийся при этом как бы создавал сам ту или иную реальность, мог преобразовывать ее и строить альтернативные реальности. Исследуя различные законы движения, он оценивал возможности каждого из них в построенном «микромире» и мог обнаружить, например, что законы Ньютона — действительно наиболее экономичный и эффективный способ описания движущихся объектов. Деятельность в таких «микромирах» существенно стимулирует творчество учащихся, поскольку создает такую интеллектуальную среду, в которой проблема истинности или ложности знания не является определяющей, она вторична по сравнению с возможностями исследовать различные, в том числе «ошибочные», теории, которые категорически отвергает обычная школа, догматически внедряя только «правильные» идеи. Крупнейший психолог Ж. Пиаже, принципам которого следует Пейперт, показал, что ошибочные теории, в том числе создаваемые самими учащимися, являются своего рода «полигоном» мыслительной деятельности и потому могут присутствовать в учебном процессе.

Очевидно, что построение и использование «микромиров» предполагает нетрадиционное использование компьютера для развития мышления и переработки информации. При таком использовании компьютера создается возможность поупражняться в качественном, по выражению Пейперта, мышлении, тогда как при стандартном использовании закрепляется количественная сторона знаний, поскольку компьютер позволяет производить сложные вычисления. Проблема единства качественной и количественной сторон знания, которую ставила и исследовала группа Пейперта, представляется весьма значимой как для разработки принципиально новых методов обучения, так и для формирования «знания о знании» и самого мышления учащихся. За этим стоит объективная необходимость преодолеть разобщенность естественнонаучного и гуманитарного знания, а фундаментальные следствия этого процесса — новый образ знания и «методологический» способ мышления.

Как показало исследование группы Пейперта, компьютер в этом случае может оказать двоякую помощь. Во-первых, интуитивные представления о реальности могут быть воплощены в компьютерной программе, и тогда они становятся более доступными для оценки и рефлексии. Во-вторых, идеи программирования могут использоваться для перемоделирования интуитивных представлений. Следовательно, компьютер в данном случае используется для выявления связи научного знания с личностным, для приближения научного знания к знанию человека, а не к знанию факта или к владению навыком. «Переворот в сознании», о котором говорит Пейперт, состоит, т.о., не просто в обращении к компьютеру, но в том, что открывается новый способ подхода к мышлению по типу компьютерного программирования. Ассимиляция культурой существования компьютеров понимается при этом как «знание программирования» или знание различных способов использования компьютера и того, когда и каким образом это следует делать.

Исследование Пейперта выявило глубокие антропологические смыслы использования такого «технического устройства», как компьютер, который может решить проблемы переструктурирования интуиции, сложившейся в ходе эволюции познавательных способностей, продолжить эту эволюцию, воздействуя на познавательные способности в качестве освоенного культурой фактора, наконец, способствовать выработке нового типа мышления.

В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем как на микро-, так и макроуровнях, опирающаяся на системный подход. Использование принципа системности, без которого невозможно эффективное управление, включает, наряду с содержательным анализом изучаемых процессов, применение метода математического моделирования.

Напомним, что понятие модели относится к основным понятиям науки, представляя собой некоторое отражение объектов (процессов) исследования. В качестве простейших примеров модели можно привести географическую карту, фотографию. Частным видом моделей являются математические модели, которые отражают объект (процесс) с помощью математической символики.

Приложения математики в социально-экономических науках развивались параллельно с развитием самой математики, а первые опыты построения математических моделей в общественных науках связаны с использованием физических аналогий при изучении социальных процессов в XVII-XVIII веках, которые заложили основу «социальной физики».

Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов было впервые применено лейб-медиком короля Людовика доктором Франсуа Кенэ, который в 1758 г. опубликовал работу «Экономическая таблица». В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику.

Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. В частности, была построена и исследована динамическая модель дуополии.

В последующие годы происходила интенсивная математизация экономики. Например, в книге У. Джевонса «Краткое описание общей математической теории политической экономии», опубликованной в 1862 г., была изложена одна из первых версий теории полезности.

Методология математического моделирования окончательно утвердилась в экономике к началу XX века, когда усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджуорта и др. классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык. Говоря о классической экономике, обычно подразумевают работы ученых-экономистов, которые в соответствии с традицией, идущей от Д. Рикардо, исследовали вопросы общего экономического равновесия. Отметим, что, независимо от уровня использования математического аппарата, экономисты-классики В. Пети, Д. Рикардо и др.) и их последователи при обосновании теоретических выводов применяли системный подход, четко выражая свои представления о причинно-следственных связях между различными элементами конкурентной системы в целом.

Успешные приложения математики в экономике стимулировали применение метода математического моделирования и в других общественных науках. Например, Ф. Эджуортом была опубликована книга «Математическая психология», а В. Парето были разработаны основы теории элит.

Надо сказать, что вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания научной общественности и в нашей стране. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода, экономическая наука в России постоянно развивалась, а многие ее результаты стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ модели поведения потребителя Е. Слуцким; открытие длинных волн в экономике Н. Кондратьевым; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В. Леонтьева; развитие методов исследования линейных систем Л. Канторовичем.

К сожалению, метод математического моделирования социально-экономических процессов до сих пор применялся в нашей стране преимущественно в научных разработках, а рекомендации экономической науки зачастую попросту игнорировались (и игнорируются) на всех уровнях управления. Это в большой степени связано с тем, что до недавнего времени применение количественных методов в управлении изучалось в вузах России достаточно формально, а методы высшей математики в экономических дисциплинах вообще практически не использовались, поскольку экономическое образование было сведено, по существу, к догматическому толкованию классиков марксизма, а опыт анализа социально-экономических процессов на основе других подходов практически не рассматривался.

Например, вплоть до конца 80-х годов длинные волны в экономике были в нашей стране запретной темой, т.к. это не вписывалось в концепцию «неуклонного роста народного хозяйства» (показательно, что первая монография на русском языке С.М. Меньшиков и Л.А. Клименко, посвященная этому вопросу, вышла в свет лишь в 1989 г.).

Причины пренебрежительного отношения к научному анализу последствий управленческих решений имеют глубокие корни, а сопротивление, которое встречает метод математического моделирования при анализе социально-экономических проблем, – более чем вековую историю. Например, против намерения Л. Вальраса в 1890-х годах ввести в курс политической экономии математические методы выступало подавляющее большинство его коллег по Лозаннскому университету.

Одним из основных доводов, который служит препятствием для использования метода математического моделирования при анализе конкретных социально-экономических процессов, является сложность объекта моделирования, поскольку применяемая теоретическая модель может оказаться слишком упрощенной по сравнению с объектом-оригиналом. Однако рекомендации и выводы, полученные на основе анализа адекватной имитационной модели, также могут оказаться невостребованными, поскольку управленец может предпочесть опереться на интуицию и даже иметь нерешенную проблему, чем использовать модели, в которых он ничего не понимает, и стать, таким образом, заложником разработчика-математика.

В основе математического моделирования должно лежать глубокое понимание базовых теоретических моделей и, прежде всего, допущений, используемых при построении этих моделей, которые и определяют пределы их применимости.

Как видим, наряду с субъективными трудностями существуют и вполне объективные проблемы, ограничивающие эффективность применения метода математического моделирования при анализе социально-экономических процессов. К ним, прежде всего, следует отнести исключительное разнообразие и разнородность объектов моделирования, поскольку в этой области имеют место элементы управляемости и стихийности, детерминированности и существенной неоднозначности, сочетание процессов технического и социального характера.

Сложившимися точными науками являются сейчас математика и науки физического цикла (механика, термодинамика, электродинамика, квантовая механика, химическая физика и др.). Все остальные науки в большей или меньшей степени пока что относятся к классу описательных, хотя многие из них, в том числе биология, экономика и социология, достаточно широко используют математические методы анализа (например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические теории развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модель взаимодействия народа и правительства, модель гонки вооружений и др.).

Вопрос о степени адекватности используемых моделей является центральным при применении метода моделирования. Для построения адекватной математической модели требуются широкие знания фактов, относящихся к изучаемому процессу, глубокое проникновение в его теорию. Поэтому на первом этапе исследования, когда строится концептуальная модель, для ее разработки обычно привлекаются специалисты различных направлений, связанных с объектом исследования.

К сожалению, приходится констатировать следующее: характерным недостатком изложения математических моделей в научной и учебно-методической литературе по экономике, который препятствует их восприятию читателем, является нечеткое обсуждение ключевых гипотез. Этот центральный при построении моделей вопрос даже в учебной литературе излагается зачастую весьма поверхностно.

Пренебрежительное отношение к моделированию приводит к тому, что часто для анализа социально-экономических процессов и принятия ответственных «судьбоносных» решений используются модели (модельные представления), неадекватно отражающие эти процессы. Это происходит, например, тогда, когда единственным критерием адекватности оказывается «правдоподобное» поведение модели. Такое же «обоснование» выводов можно обнаружить и в литературе по экономической теории.

Особо отметим проблему построения адекватных моделей при исследовании социально-экономических процессов, поскольку подавляющее большинство из них изменяется во времени и поэтому соответствующие модели являются в принципе динамическими. Несмотря на более чем вековую историю применения математического моделирования в этой области, методика изучения динамических процессов практически не изменилась. Как и сто лет назад, одним из главных методических приемов исследования динамики микро- и макроэкономических процессов является использование гладких непрерывных функций и анализ смещения равновесного решения, вызванного изменением внешних условий.

По существу, такой подход к анализу динамических процессов опирается на общее положение, согласно которому развитие любой сложной системы можно рассматривать как смену одного устойчивого, гармоничного состояния другим с кратким периодом перехода от одного к другому. Однако анализ экономической динамики на основе исследования оптимальных равновесных квазистатических моделей может оказаться ошибочным, поскольку период неравновесного развития многих экономических процессов часто бывает слишком длительным, чтобы им можно было пренебречь.

В последние годы получили новый импульс работы по анализу динамических (переходных) процессов экономики на основе моделирования. При анализе развивающихся социально-экономических процессов большой практический интерес представляет изучение поведения переменных модели в зависимости от различных внешних воздействий и связанный с этим вопрос устойчивости равновесных решений по отношению к соответствующим возмущениям, и, следовательно, по отношению к незапланированным изменениям в режиме управления.

Результатом таких исследований являются разработка своевременных рекомендаций по предотвращению возникающего несоответствия в структуре рассматриваемой системы, определение момента попадания системы в критическую область. Исследование развивающихся экономических систем на устойчивость позволяет прогнозировать, например, момент замены старой технологии на новую, способствовать возникновению новых технологий в рамках старых, влиять на ход научно-технического прогресса.

Как качественный, так и формально-математический анализ развития систем может быть проведен в терминах синергетики – междисциплинарной науки, появившейся сравнительно недавно и исследующей общие принципы эволюции и самоорганизации сложных систем на основе нелинейных математических моделей.

Самоорганизация, являющаяся основным качественным понятием синергетики, характерна для многих процессов развития. Главный акцент в синергетике переносится с взаимодействия подсистем сложных систем на внешние эффекты, порождаемые структурными изменениями, которые называются синергетическими (кооперативными) эффектами.

Традиционный анализ динамических процессов экономики на основе квазистатических моделей, который до сих пор остается главенствующим даже при прогнозировании экономической динамики, может служить лишь начальной оценкой влияния различных факторов на тенденцию развития. Это заставляет искать новые направления исследования динамических социально-экономических процессов.

Динамические модели, хорошо разработанные сначала в физике, а затем в биологии, в настоящее время все шире используются в социологии и экономике. Они имеют много общего, хотя и сохраняют специфические особенности, характерные для каждой из этих наук. Поскольку главным объектом исследования в математической биологии являются популяции, развитие которых связано с внутривидовой и межвидовой борьбой (конкуренцией), то уже одно только это наталкивает на мысль о возможности построения биологических аналогий при анализе некоторых социально-экономических процессов. Последнее приводит к возникновению таких направлений науки, как «биосоциология», «биоэкономика», «биономика» и др.

Биологические аналогии дали толчок работам, посвященным анализу динамических моделей экономики на устойчивость. Исследование этих моделей позволило, например, сделать вывод о принципиальном значении реакции экономических участников на динамику экономических процессов и устойчивость равновесных решений. Оказалось, в частности, что многие динамические экономические модели обладают свойством цикличности, характерными особенностями которой являются «бифуркация удвоения периода», а также теоретически возможное возникновение так называемого «детерминированного хаоса». К этим моделям относятся некоторые модификации паутинообразной модели, модели общего равновесия, макроэкономических моделей кейнсианского типа и др.

Отказ от господствовавших до недавнего времени взглядов, согласно которым экономика представляет собой некий механизм поддержания устойчивого равновесия, приводит к отказу от использования при анализе влияния различных факторов на динамику экономической системы принципа «изменяйте факторы по одному», который выражается магическим ceteris paribus (при прочих равных условиях, лат.).

В результате смены парадигмы в настоящее время экономика рассматривается как сложная развивающаяся система, для количественного описания которой применяются динамические математические модели различной степени сложности. Одно из направлений исследования макроэкономической динамики связано с построением и анализом относительно простых нелинейных имитационных моделей, отражающих взаимодействие различных подсистем – рынка труда, рынка товаров, финансовой системы, природной среды и др.

Подчеркнем, что анализ этих моделей стал возможным во многом благодаря совершенствованию вычислительной техники, которое, наряду с возрастающей сложностью управленческих проблем, является мощным стимулом развития математического моделирования социально-экономических процессов.