Логика высказываний, или: пропозициональная логика

— раздел логики, формализующий употребление логических связок «и», «или», «не», «если, то» и т. п., служащих для образования сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. в. простые высказывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением.

В логике классической предполагается, что простое высказывание является либо истинным, либо ложным (см.: Двузначности принцип) и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

Так, соединение двух высказываний с помощью связки «и» дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией), являющееся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связки «или» (дизъюнкция), истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное высказывание, образованное с помощью «не» (отрицания), истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки «если, то» (импликация), истинно в трех случаях: оба входящие в него высказывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний

(следующее за словом «если») ложно, а второе (следующее за словом «то») истинно; импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно.

Возможны и другие способы образования сложных высказываний. Всего в классической двузначной логике четыре способа образования сложного высказывания из одного высказывания и шестнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний.

Язык Л. в. включает бесконечное множество переменных: р, q, r,..., p₁, q₁, r₁, ..., представляющих высказывания, и особые символы для логических связок : & — конъюнкция («и»), v - дизъюнкция («или»), ~ - отрицание («не» или «неверно, что»), -> — импликация («если, то»). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. в. определяется так: отдельная переменная является формулой; если A и В — формулы, то (А&В), (AvB), ~ A и (A->B) также формулы.

Формулам Л. в., образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание «Сейчас ночь», q — высказывание «Сейчас темно» и r — высказывание «Сейчас ветрено», то формула (p->(qvr)) представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено», формула ((q &.r)-> p) - высказывание «Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь», формула (~ q->~ p) — высказывание: «Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь» и т. п. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Каждой формуле Л. в. можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула (~ q->~ p) принимает значение «ложно» только в случае ложности q и истинности р.

Формула Л. в. называется тождественно-истинной, или тавтологией, если и только если она принимает значение «истинно» при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех распределениях значение «ложно», называется противоречием. Тавтологии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в частности, формулы:

(р->р) — закон тождества, ~(р&~р) — закон непротиворечия,

(pv~ p) — закон исключенного третьего, (p-> q)->(~ q->~ p) - закон контрапозиции.

Множество тавтологий бесконечно.

Л. в. может быть представлена также в форме логического исчисления, в котором задается способ доказательства некоторых высказываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом, и задаются правила вывода, позволяющие получать из аксиом теоремы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. е. чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология — теоремой (см.: Полнота). По отношению к аксиоматическому построению встают также вопросы о его непротиворечивости и независимости принятых аксиом и правил вывода.

Наряду с классической Л. в., предполагающей, что всякое высказывание является истинным или ложным, существуют многообразные неклассические Л. в. В числе последних — многозначные Л. в., интуиционистская Л. в. и др.

ЛОГИКА ИЗМЕНЕНИЯ

- раздел современной логики, занимающийся исследованием логических связей высказываний об изменении и становлении материальных или идеальных объектов. Л.и. относится к логике неклассической; ее задача — построение искусственных (формализованных) языков, способных сделать более ясными и точными рассуждения об изменении объекта — переходе его от одного состояния к другому, о становлении объекта, его формировании. В Л. и. ничего не говорится о конкретных характеристиках изменения и становления. Она только предоставляет совершенный с точки зрения синтаксиса и семантики язык, позволяющий дать строгие утверждения об изменении объекта, вскрыть основания и следствия этих утверждений, выявить их возможные и невозможные комбинации. Использование искусственного языка при обсуждении проблем изменения объекта не есть подмена этих онтологических проблем логическими, сведение эмпирических свойств и зависимостей к логическим.

Разработка Л. и. идет по двум направлениям: построение специальных Л. и. и истолкование определенных систем логики времени как логических описаний изменений. При первом подходе обычно дается «одномоментная» характеристика изменяющегося объекта, при втором изменение рассматривается как отношение между двумя последовательными состояниями объекта.

К первому направлению относится, в частности, логика направленности. Язык логики направленности богаче, чем язык

логики классической; он включает не только термины «существует» и «не существует», но также термины «возникает», «исчезает», «уже есть», «еще есть», «уже нет», «еще нет» и т. п. С помощью этих терминов формулируются законы логики направленности:

>> существовать — это то же, что начинать исчезать, и то же, что переставать возникать;

>> не существовать - то же, что начинать возникать, и то же, что прекращать исчезать;

>> становление — прекращение несуществования, а исчезновение - возникновение несуществования;

>> уже существует — значит существует или возникает и т. п.

Логика направленности допускает четыре типа существования объектов: бытие, небытие, возникновение (становление) и исчезновение. Относительно всякого объекта верно, что он или существует, или не существует, или возникает, или исчезает. Вместе с тем объект не может одновременно существовать и не существовать, существовать и возникать, не существовать и исчезать, возникать и исчезать и т. п. Иными словами, четыре типа существования исчерпывают все возможные способы существования и являются взаимно несовместимыми. Логика направленности позволяет выразить в логически непротиворечивой форме гегелевское утверждение о противоречивости всякого движения и изменения. Утверждение «Предмет движется в данный момент в данном месте» эквивалентно утверждению «В рассматриваемый момент предмет находится и не находится в данном месте».

Примером второго подхода может служить логикавремени финского философа и логика Г. X. фон Вригта (р. 1916). Ее исходное выражение «A и в следующей ситуации В» может интерпретироваться как «Состояние А изменяется в состояние В» («А-мир переходит в B-мир»), что дает Л. и. В логике времени доказуемы такие теоремы:

>> всякое состояние либо сохраняется, либо возникает, либо исчезает;

>> при изменении состояние не может одновременно сохраняться и исчезать, сохраняться и возникать, возникать и исчезать;

>> изменение не может начинаться с логически противоречивых состояний и не может вести к таким состояниям и т. п.

Примеры утверждений, доказуемых в различных системах Л. и., показывают, что она не является самостоятельной теорией изменения и не может претендовать на то, чтобы быть таковой. Формально-логический анализ изменения объекта преследует узкую цель - отыскание средств, позволяющих отчетливо зафиксиро-

вать логические связи утверждений об изменении того или иного объекта.

Вместе с тем Л. и. имеет важное философское значение, поскольку тема изменения (становления) еще с античности стоит в центре острых философских дискуссий. Л. и. позволяет, кроме прочего, прояснить отношение формальной логики к концепции внутренне противоречивой сущности становления.

ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

-логическая теория, цель которой — описание логических связей высказываний об объектах, исследуемых квантовой механикой. Переворот, произведенный в физическом мышлении квантовой механикой, был настолько радикальным, что возникла идея особой «логики микромира», отличной от обычной «логики макромира». В середине 30-х годов была построена первая Л. к. м., положившая начало еще одному направлению логики неклассической. Позднее немецкий философ и логик Г. Рейхенбах (1891-1953) предложил трехзначную логику без закона исключенного третьего, призванную устранять «причинные аномалии», возникающие при попытке применять обычное причинное объяснение к квантовым явлениям.

К настоящему времени построены десятки логических систем, стремящихся выявить своеобразие рассуждений в квантовой механике. Эти «логики микромира» существенно отличаются друг от друга как законами, так и способами обоснования. Чаще всего в этих логических системах отказываются от закона коммутативности для конъюнкции («и») и дизъюнкции («или») (выражение «А и В» не считается равносильным выражению «В и А», а «А или В» — равносильным «В или A»), от закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и др.

В первый период своего развития Л. к. м. встретила как критику, так и одобрение. Длительная полемика не внесла, однако, ясности в вопрос, действительно ли квантовая механика руководствуется особой логикой. Если даже это так, надо признать, что исследования в данном направлении не оказали воздействия на саму механику. Вместе с тем Л. к. м. нашла интересные приложения в некоторых других областях.

ЛОГИКА КЛАССИЧЕСКАЯ

- раздел современной (математической, символической) логики, включающий классическую логику высказываний и классическую логику предикатов. Л.к. опирается на двузначности принцип, в соответствии с которым всякое высказывание является или истинным, или ложным.

У истоков Л. к. стоят, наряду со многими другими исследователями, Д. Буль (1815-1864), А. де Морган (1806-1871), Ч. Пирс (1839-1914).

В их работах была постепенно реализована идея перенесения в логику тех методов, которые обычно применяются в математике. Последний шаг в математизации логики в прошлом веке был сделан Г. Фреге (1848-1925). Уже в этом веке важный вклад в развитие Л. к. внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Уайтхед (1861-1947), Г. Гильберт (1862-1943) и др.

Л. к. ориентировалась главным образом на анализ математических рассуждений. С этим связаны многие ее особенности, нередко расценивающиеся теперь как недостатки. В частности, формальным аналогом условного высказывания в Л.к. является импликация материальная, для которой верны положения: истинное высказывание имплицируется любым высказыванием, ложное высказывание имплицирует каждое высказывание и другие парадоксы импликации.

Критика Л. к. началась в начале XX в. и велась в разных направлениях. Результатом ее явилось возникновение новых разделов современной логики, составляющих в совокупности логику неклассическую. Л. к. остается тем не менее ядром современной логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость. Явившись тем образцом, от которого отталкивались разнообразные неклассические системы, Л. к., как правило, оказывается в определенном смысле предельным и притом наиболее простым случаем последних. Многие из них могут быть представлены как расширения Л.к., обогащающие ее выразительные средства.

ЛОГИКА КЛАССОВ

- раздел математической логики, соответствующий узкому исчислению одноместных предикатов, которые заменяются объемами, классами. Л. к. соответствует и силлогистике Аристотеля. Иногда Л. к. рассматривается как формализованная теория множеств, в других случаях - как расширение логики высказываний. Если в логике высказываний отвлекаются от связей между субъектом и предикатом высказывания, то в Л. к. эти связи учитываются. В число классов в Л. к. включается и пустой класс (0), содержащий нулевое множество элементов, и универсальный класс (1), включающий все объекты рассматриваемой области. С классами можно производить операции пересечения, объединения и дополнения. К алфавиту логики высказываний в Л.к. добавляются переменные а, b, с, ... для классов; знаки, обозначающие операции с классами; постоянные термы 0 и 1 и знаки для обозначения отношений между классами. Далее дается индуктивное определение терма и класса. Вводятся отношение включения класса в класс (а b) (а включается в класс b), отношение равенства двух классов (а= b). Оба эти отношения могут быть определены через отношение принадлежности элемента классу (аÎb).

Элементарные формулы в Л. к. имеют вид: иÌv, u = v, где и и v — термы. Если формула Р является истинной, то это означает, что она истинна для любых классов области, являющихся значениями переменных, входящих в формулу Р. Если она истинна в любых областях, то она тождественно-истинна. Так, формула (a Ç b Ì a) гласит, что всякий элемент, содержащийся в обоих классах а и b, содержится и в классе а. Эта формула истинна не только для любых классов а и b данной области D, но и для всяких классов любой области D.

Таблицы истинности, соответствующие возможным значениям для термов (u Ç v), (u È v), u', (и É v), (u = v), будут совпадать соответственно с таблицами конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквивалентности. Четыре Аристотелевы формы элементарных высказываний — общеутвердительного А, частноутвердительного I, общеотрицательного Е, частноотрицательного О (см.: Суждение) — могут быть соответственно выражены так: и Ì v («Все и суть v»); ~(и Ì v ') («Некоторые и суть v», т. е. «Неверно, что все и суть не-v»); (иÌv ') («Никакое и не есть v», т. е. «Всякое и есть не -v»); ~(иÉv) (Некоторые и не суть v», т. е. «Неверно, что все и суть v»).