ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ (от англ. Distribution - распределение, размещение)

- общее название группы логических законов сходной структуры. Эти законы позволяют распределить одну логическую связь относительно другой.

Полный 3. д. конъюнкции относительно дизъюнкции с использованием символики логической формулируется так (р, q, r — некоторые высказывания; & - конъюнкция, «и»; v - дизъюнкция, «или»; = — эквивалентность, «если и только если»):

p&(qvr) = (p&q)v(p&r), первое и (второе или третье), если и только если (первое и второе) или (первое и третье). Напр.: «Сегодня идет дождь и завтра ясно или послезавтра ясно в том и только в том случае, когда сегодня идет дождь и завтра ясно или сегодня идет дождь и послезавтра ясно».

Полный 3. д. дизъюнкции относительно конъюнкции:

pv(q & r) = (pvq)&(pvr), первое или (второе и третье), если и только если (первое или второе) и (первое или тре'тье). Напр.: «Завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег тогда и только тогда, когда завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег».

Закон самодистрибутивности импликации (->, «если, то») дает возможность распределять импликацию по импликации:

(p->(q->r))->((p->q)->(p->r)), если (если первое, то (если второе, то третье)), то (если (если первое, то второе), то (если первое, то третье)). Этот закон верен для импликации материальной, но не имеет места для целого ряда иных импликаций, вводимых в современной логике.

ЗАКОН ДУНСА СКОТА

- закон логики классической, характеризующий логическое противоречие и импликацию материальную. Закон можно передать так: ложное высказывание влечет (имплицирует) любое высказывание. Напр.: «Если дважды два не равно четырем, то, если дважды два четыре, вся математика ничего не значит».

Первое упоминание закона принадлежит средневековому философу и логику Дунсу Скоту, прозванному «тонким доктором» схоластики. Амер. философ и логик К. И. Льюис (1883-1964), положивший начало исследованию модальной логики, отнес данный закон к парадоксальным положениям классической логики. В предложенной самим К. И. Льюисом новой теории логического следования — т. наз. теории строгой импликации — 3. Д. С. недоказуем. Но в этой теории есть собственный аналогичный парадокс, говорящий уже о логической невозможности: логически невозможное высказывание влечет любое высказывание. Напр.: «Если снег бел и вместе с тем не бел, трава бывает только черной».

С использованием символики логической (р, q — некоторые высказывания; ~ - отрицание, «неверно, что»; —> импликация, «если, то») 3. Д. С. выражается формулой:

~p->(p->q), если неверно, что p, то если р, то q; или эквивалентной ей в классической логике формулой:

(p &~ p)-> q, если р и не-р, то q.

Если принимаются высказывание и его отрицание, то, используя данные формулы в качестве схем вывода, можно получить любое высказывание. В подобного рода переходах есть элемент парадоксальности. Особенно заметным он становится, когда в качестве следствия берется явно ложное и совершенно не связанное с по-сылками высказывание. Напр.: «Если Солнце и звезда, и не звезда, то Луна сделана из зеленого сыра».

3. Д. С. есть своего рода предостережение против принятия ложного высказывания: введение в научную теорию такого высказывания ведет к тому, что в ней становится доказуемым все что угодно и она перестает выполнять свои функции. Однако предостережение не настолько очевидно, чтобы стать одним из правил логического следования. Не все современные описания следования принимают 3. Д. С. в качестве правомерного способа рассуждения. Уже построены теории логических связей, в которых этот и подобные ему способы рассуждения считаются недопустимыми.

Если 3. Д. С. не принимается, то появление противоречия в системе утверждений становится допустимым. Такое более «терпимое» отношение к противоречию лежит в основе логических теорий, получивших название паранепротиворечивой логики.

ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО

-логический закон, согласно которому истинно или само высказывание, или его отрицание. Закон устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями: одно из таких высказываний истинно. Напр.: «Аристотель умер в 322 г. до н. э. или он не умер в этом году». «Завтра будет морское сражение или завтра не будет морского сражения» и т. п.

Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как описывается в рассматриваемом высказывании, или так, как говорит его отрицание; третьего варианта нет («третьего не дано»).

Символически 3. и. т. представляется формулой (р — некоторое высказывание; v — дизъюнкция, «или»; ~ - отрицание, «неверно, что»):

pv~p, р или не-р.

3. и. т. был известен еще до Аристотеля. Однако он первым сформулировал этот закон, подчеркнув его важность для понимания мышления: «Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать».

От Аристотеля идет традиция давать 3. и. т. разные интерпретации.

1. З.и.т. истолковывается как принцип логики, говорящий о высказываниях и их истинности: или высказывание, или его отрицание должно быть истинным.

2. Закон понимается как утверждение об устройстве самого мира: всякий объект или реально существует, или не существует.

3. Закон звучит как принцип методологии научного познания: исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет.

Нередко полагают, что эти три истолкования - логическое, онтологическое и методологическое — различаются между собой только словесно. На самом деле это не так. Устройство мира, занимающее онтологию, и своеобразие научного исследования, интересующее методологию, - темы эмпирического, опытного изучения. Получаемые с его помощью положения являются эмпирическими истинами. Принципы же логики не вытекают из онтологических соображений и представляют собой не эмпирические, а логически необходимые истины.

Аристотель сомневался в приложимости 3. и. т. к высказываниям о будущих событиях: в настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено. Нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились. «Через пять лет в этот же день будет идти дождь» — это высказывание в настоящий момент ни истинно, ни ложно. Таким же является его отрицание. Сейчас нет причины ни для того, чтобы через пять лет пошел дождь, ни для того, чтобы его не было. Но 3. и. т. утверждает, что или само высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключал Аристотель, закон следует ограничить высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о будущем.

В XX в. размышления Аристотеля над З.и.т. натолкнули на мысль о возможности принципиально нового направления в логике. Была создана многозначная логика.

Последовательная критика 3. и. т. берет начало от голландского математика и логика Л. Брауэра. Критика Брауэра положила начало новому направлению в формальной логике - интуиционистской логике.

Одной из предпосылок особого внимания к 3. и. т. является его широкая применимость в самых разных областях рассуждений. Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает или не рыдает, дождь идет или не идет и т. п. - других вариантов не существует. Это известно каждому, что показывает, насколько укоренен 3. и. т. в нашем мышлении и с каким автоматизмом осуществляется его применение в рассуждениях.

ЗАКОН КЛАВИЯ

— логический закон, характеризующий связь импликации («если, то») и отрицания. Его можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Иначе говоря: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Напр., если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.

Закон назван именем Клавия — ученого иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Началам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допущения, что она является ложной.

С использованием символики логической (р — некоторое высказывание; -> - условная связь, «если, то»; ~ - отрицание, «неверно, что») 3. К. представляется формулой:

(~р->р)->р, если не-р имплицирует р, то верно р.

3. К. лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи A из допущения, что верным является не-А. Напр., нужно доказать утверждение «Трапеция имеет четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что трапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести утверждение, то последнее будет истинно.

Эту схему рассуждения использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором, который утверждал: «Истинно все то, что к.-л. приходит в голову». На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны». И, значит, это отрицание, а не положение Прота-гора на самом деле истинно.

3. К. является одним из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, вместе с отрицанием оно составляет логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.

К 3. К. близок по своей структуре другой логический закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Напр., если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утверждения является его ложность, то утверждение ложно.

Символически:

(p->~p)->~p, если р имплицирует не-р, то верно не-р. Данный закон представляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утверждения к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем З.К., представляющий рассуждение, идущее от отрицания утверждения к самому утверждению. В частности, оба эти закона имеют место в логике классической, но 3. К. не принимается в интуиционистской логике.

ЗАКОН КОММУТАТИВНОСТИ (от лат. commutatio - изменение, перемена)

— общее название логических законов, позволяющих менять местами высказывания, связанные конъюнкцией («и»), дизъюнкцией («или»), эквивалентностью («если и только если») и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения - от порядка слагаемых и т. д.

Символически 3. к. для конъюнкции и дизъюнкции записываются так (р, q — некоторые высказывания, & — конъюнкция, v — дизъюнкция, = — эквивалентность):

(p&q) = (q&p), р и q тогда и только тогда, когда q и р;

(pvq) = (qvp), р или q, если и только если q или р.

Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: «Волга — самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и в логике. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по своему содержанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значение «и» и «или» упрощается и делается более независимым от временной последовательности, от психологических факторов и т. п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно «Он попал в больницу и сломал ногу».

ЗАКОН КОММУТАЦИИ (от лат. commutatio - изменение, перемена)

— логический закон, говорящий о возможности перестановки двух последовательных оснований некоторого условного высказывания. Словами: первое влечет, что если второе, то третье, в том и только том случае, когда второе влечет, что если первое, то третье. Напр., утверждение «Если население Земли будет расти нынешними темпами, то, если не будет значительно поднят уровень сельскохозяйственного производства, наступит кризис» равносильно утверждению «Если уровень сельскохозяйственного производства не будет значительно поднят, то в случае роста населения Земли нынешними темпами наступит кризис».

С применением символики логической 3. к. записывается таким образом (р, q, r - некоторые высказывания; -> - импликация, «если, то»; = - эквивалентность, «если и только если»):

(p -> (q ->r)) = (q -> (p -> r)),

р имплицирует, что q имплицирует r, если и только если q имплицирует, что р имплицирует r.