АБСУРД (от лат. Absurdus - нелепый, глупый)
— в логике под А. обычно понимается противоречивое выражение. В таком выражении что-то утверждается и отрицается одновременно, как, напр., в высказывании «Тщеславие существует и тщеславия нет». Абсурдным считается также выражение, которое внешне не является противоречивым, но из которого все-таки может быть выведено противоречие. Скажем, в высказывании «Александр Македонский был сыном бездетных родителей» есть только утверждение, но нет отрицания и, соответственно, нет явного противоречия. Но ясно, что из этого высказывания вытекает очевидное противоречие: «Некоторые родители имеют детей и вместе с тем не имеют их». А. отличается от бессмысленного: бессмысленное не истинно и не ложно, его не с чем сопоставить в действительности, чтобы решить, соответствует оно ей или нет. Абсурдное высказывание осмысленно и в силу своей противоречивости является ложным. Напр., высказывание «Если идет дождь, то трамвай» бессмысленно, а высказывание «Яблоко было разрезано на три неравные половины» не бессмысленно, а абсурдно.
Логический закон непротиворечия говорит о недопустимости одновременно утверждения и отрицания. Абсурдное высказывание представляет собой прямое нарушение этого закона.
В логике рассматриваются доказательства путем «приведения к А.»: если из некоторого положения выводится противоречие, то это положение является ложным (см.: Косвенное доказательство).
В обычном языке однозначности в понимания слова «А.» нет. Абсурдным называется и внутренне противоречивое выражение, и бессмысленное, а иногда и все нелепо преувеличенное.
АКСИОЛОГИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ (от греч. axios - ценный, logos - понятие, учение), или: Оценочная модальность,
— характеристика объекта с точки зрения определенной системы ценностей. Аксиологический статус отдельного объекта обычно выражается абсолютными оценочными понятиями «хорошо», «плохо» и «(оценочно) безразлично», используемыми в оценочном высказывании. Относительный аксиологический статус выражается сравнительными оценочными понятиями «лучше», «хуже» и «равноценно». Напр.: «Хорошо, что пошел дождь», «Плохо, что существуют болезни», «Дождливая погода лучше сухой» и т. п. Вместо слов «хорошо» и «плохо» нередко используются слова «позитивно ценно», «является добром», «негативно ценно», «есть зло» и т. п. Вместо «лучше» используется «предпочитается».
Аксиологические модальные понятия являются необходимыми структурными компонентами оценочных высказываний. Логическое исследование этих понятий осуществляется оценок логикой, слагающейся из логики абсолютных оценок и логики сравнительных оценок (предпочтений логики). По своим логическим свойствам А. м. аналогичны модальностям других групп: логическим («необходимо», «возможно», «невозможно»), эпистемическим («убежден», «сомневается», «отвергает») и др.
Понятия «хорошо» и «плохо» взаимно определимы: объект является позитивно ценным, когда его отсутствие негативно ценно. Безразличное определяется как не являющееся ни хорошим, ни плохим. Понятия «лучше» и «хуже» также взаимно определимы: первое лучше второго, когда второе хуже первого. Равноценное определяется как не являющееся ни лучшим, ни худшим.
Нормативные понятия «обязательно», «разрешено» и «запрещено» определимы через оценочные понятия. Это означает, что деонтическая модальная характеристика сводима к аксиологической модальной характеристике (см.: Деонтическая логика).
АЛГЕБРА БУЛЯ
— исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.
Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AÈ.B; умножение классов АÇВ; дополнение класса А'. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами: la. AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC — ассоциативность сложения;
16. AÇ(BÇC)= (AÇВ) ÈC — ассоциативность умножения;
2a.AÈB= BÈA — коммуникативность сложения;
2б.АÇВ =ВÇА — коммуникативность умножения;
3a.AÈ(ВÇС)= =(AÈB) Ç(AÈC) — дистрибутивность сложения относительно умножения;
36.AÇ(BÈC)==(AÇB) È(AÇC) — дистрибутивность умножения относительно сложения.
В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми
подчиняются следующим соотношениям:
AÈ0=A;
AÇ1=A;
AÈA'=1;
AÇA'=0.
Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А
равна А: АÈА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: АÇА=А, а не A2.
Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения È на Ç и Ç на È, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.
А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу «да - нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.
АЛГОРИТМ (АЛГОРИФМ)
(от Algorithmi - латинизированная форма имени выдающегося среднеазиатского ученого Аль-Хорезми) — конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач. Примерами простейших А. могут служить А. вычитания, сложения, умножения и деления целых чисел в арифметике с десятичной системой счисления.
Осуществление алгоритмического процесса может быть передано машине, которая благодаря своему быстродействию способна решать задачи, недоступные человеку. Возможность передать машине осуществление алгоритмических процедур стимулировала создание математической теории алгоритмов, в которой понятие А. было уточнено с помощью таких понятий, как «рекурсивная функция», «машина Тьюринга», «нормальный А.» и т. п.