Кант: математика как конструктивная наука

Понятие конструктивности зарождается в античных дискус­сиях о математическом методе и способе бытия математических объектов. Школа Евдокса принимает в качестве доказательства существования математического объекта указание на принципы его конструирования или возможность его анализа как опреде­ленной конструкции. Геометрические теоремы служат исключи­тельно исследованию общих свойств конструктивных объектов. Позиция Платоновской академии, напротив, состоит в том, что математика не создает, но лишь описывает и открывает нечто объ­ективно сущее. Кант занимает антиплатонистскую позицию и ис­пользует понятие конструкции для демаркации философии от ма­тематики. Философия определяется как дискурсивно-разумное, понятийное познание. В нем особенное рассматривается с пози­ции общего, а само общее - в абстрактном смысле, с помощью по­нятий. Математическое познание, напротив, производно от неко­торого интуитивного использования разума путем конструирова­ния понятий, в котором общее усматривается в особенном.

¹ Подробный обзор конструктивистских течений см. в статье П. Яниха, ряд по­ложений которой мы используем: Jahich P. Konstruktivismus // Enzyklopadie Philosophic ; Hrsg. vonH.J. Sandkuler. Hamburg, 1999.

Глава 7. Конструктивизм: заявленные программы и нерешенные проблемы 121

Поскольку этот подход носит неэмпирический характер, то мате­матические конструкции представляют лишь количество, а не ка­чество. При этом математическое конструирование имеет своей целью синтетические суждения априори. Конструировать поня­тие значит, по Канту, представить соответствующую ему форму чувственности. Она основана не на опыте, но может быть эмпири­чески представлена, является единичной и одновременно общей для всех возможных восприятий, которые покрываются данным понятием, и является результатом продуктивной способности во­ображения, или конструктивной деятельности. Конструирование математических понятий дает возможность рассматривать общее in concrete, в отдельном восприятии¹. Математика «должна сперва все свои понятия представить в чувственности, а чистую матема­тику - в чистой чувственности, т.е. сконструировать их» («mu6 alle ihre Begriffe zuerst in der Anschauung und reine Mathematik in der reinen Anschauung darstellen, d.i. sie construieren»)².

Различение математики и философии обнаруживает специ­фику метода последней. Философия в отличие от математики не имеет дела с определенными синтетическими суждениями априо­ри. В философии нет строгих определений, она дает лишь экспли­кации существующих понятий, тогда как математика конструиру­ет понятия путем дефиниции. Философия не имеет дела с аксио­мами в строгом смысле слова, в то время как математика способна формулировать интуитивно-аксиоматические основоположения: она «в ходе конструирования понятий в созерцании предмета свя­зывает его предикаты непосредственно априори, к примеру, когда располагает три точки на одной плоскости»³. Философия, напро­тив, оперирует лишь с дискурсивными основоположениями, а не аксиомами; в ней также нет места для демонстративных рассужде­ний в смысле аподиктических доказательств. Демонстратив­но-аподиктическая достоверность может быть обеспечена лишь путем конструирования понятий в созерцании априори, как в ма­тематике.

¹ См.: Кант И. Критика чистого разума. М., 1998. С. 538-542.

² Kant I. Prolegomena. § 10.

³ «vermittelst der Construction der Begriffe in der Anschauung des Gegenstandes die Predicate desselben a priori und unmittelbar verkniipfen kann, z.B., daB drei Punkte jederzeit in einer Ebene liegen» (Kant I. Kritik der reinen Vernunft //1. Kant. Vers. Werke, Bd. Ill, Berlin 1968. S. 706f.).

122 Раздел I Категориальные сдвиги

К данной позиции непосредственно восходит концепция ма­тематики как «науки путем конструирования понятий в чистом созерцании» Я. Фриза. Немецкий классический идеализм также воспринимает учение Канта о конструировании и расширяет его представления за пределы математики на область философии. Обязанное Канту понятие «интеллектуального созерцания», ле­жащее в основе идеи философского конструирования, играет су­щественную роль у Фихте и Новалиса и становится центральным мотивом философии Шеллинга.

Помимо узкого понятия конструктивности с кантовской фи­лософией связано и широкое использование термина «конструи­рование» в смысле создания образов (гештальтов) мира явлений. Креативно-конструктивная точка зрения опровергает трансцен­дентальный реализм объектов и явлений мира, показывает его не­объяснимость и бессмысленность. Трансцендентальная филосо­фия, напротив, подчеркивает конструктивность миропонимания и самосознания путем указания на трансцендентальную природу способности суждения и схематизма, позволяющих применить категории к миру явлений. Немецкий классический идеализм также воспринимает учение Канта о конструировании и расширя­ет его представления за пределы математики на область филосо­фии. Обязанное своим появлением Канту понятие интеллекту­ального созерцания, лежащее в основе идеи философского конст­руирования, становится центральным мотивом философии Шеллинга и играет существенную роль у Фихте и Новалиса.

Логический конструктивизм

Б. Рассел и А.Н. Уайтхед предпринимают в «Основаниях мате­матики» попытку под влиянием логических работ Г. Фреге свести предложения и термины математики к логике. Центральный принцип логицизма требует логического конструирования поня­тий, т.е. сведения всех понятий и понятийных систем к небольшо­му набору понятий путем дефиниций. В более поздних работах Рассел распространяет эту программу на естественные науки и психологию. Физические и психические феномены строятся из чувственных данных как логические конструкции. Работу Р. Кар-напа «Логическое построение мира» можно рассматривать как

Глава 7. Конструктивизм: заявленные программы и нерешенные проблемы 123

развитие этого проекта в рамках логического позитивизма, пусть даже под видом понятия «конституирование» и на основе методи­ческого солипсизма.

Кризис оснований математики в начале XX в. выявил данную проблему применительно к антиномиям теории множеств. Рассел пытался решить ее на основе идей Фреге и теории типов, что тре­бовало дополнительных допущений - постулата выбора, аксиомы бесконечности и аксиомы редукции, которые нуждались в неза­висимых основаниях. Основатель интуиционизма Л.Э.Я. Брауэр предложил альтернативное решение, которое базировалось на принятии только интуитивно усматриваемых конструкций, преж­де всего праинтуиции числа, в качестве фундамента математиче­ского знания. Этот подход вел к отказу от принципов классиче­ской логики (принцип исключенного третьего) и канторовской теории множеств. Вариант подобной позиции был представлен неоинтуиционизмом (Г. Вейль).

Еще одну альтернативу (аксиоматическую теорию множеств) предложил Э. Цермело; она была превращена Д. Гильбертом в программу формализма. Согласно ей, понятия, предложения и выводы математики объединяются в аксиоматическую систему, для которой с помощью конструктивных методов выводится до­казательство непротиворечивости. Проблемность этой позиции была показана К. Гёделем, согласно которому доказательство не­противоречивости системы аксиоматической арифметики может быть получено лишь средствами, которые сами в данной системе не формализируются.

Конструктивное обоснование арифметики, анализа и логики разработал П. Лоренцен на основе операционистской, или диало­гической, логики, открывающей путь к «рациональной граммати­ке». Логические выводы понимаются в данном контексте лишь как крайний случай успешного обоснования некоторого положе­ния в диалоге. Лоренцен закладывает основы методического кон­структивизма и конструктивистской философии науки Эрланген-ской школы¹. В ней термин «конструктивный» относится к мето­дическому введению конструктов, которые формируются без помощи как научных аксиом, так и естественного языка. Перенос

¹ Loremen P., Kamlah W. Logische Propadeutik. Mannheim, 1967; Lorenzen P. LehrbuchderkonstruktivenWissenschaftstheorie. Mannheim, 1987.

Раздел 1. Категориальные сдвиги

конструкционистских методов на физику и философию науки осуществляется также в операционализме П.У. Бриджмена и Г. Динглера, согласно которому объекты научного знания консти­туируются с помощью специфических для науки методов.