Сферический реактор с отражателем

Сначала следует задаться величиной эквивалентной добавки. Пусть она равна . Обычно эту величину можно приближенно предсказать, основываясь на опыте расчета других реакторов, в крайнем случае, можно даже положить . После этого определяют приближенный экстраполированный радиус реактора без отражателей . Если действительный радиус активной зоны равен R, то . Затем вычисляют следующие величины:

для активной зоны

(88)

(89)

для отражателя (его параметры будем отмечать штрихом)

(90)

(91)

Уточненный радиус или непосредственно геометрический параметр эквивалентного реактора без отражателей находят через а. Величину а вычисляют по формуле

(92)

Выражение (92) по виду одинаково для всех рассматриваемых здесь случаев геометрии, но величины и d в правой части находятся по-разному. Для сферического реактора

(93)

где h - толщина отражателя. Все величины, имеющие размерность длины, выражаются в сантиметрах.

Величины и представляют собой отношения коэффициентов диффузии:

(94)

Определив а по формуле (92), находим уточненное значение . В сферическом реакторе а и связаны между собой следующим образом:

(95)

Обозначим . Подобрав величину х, удовлетворяющую трансцендентному уравнению

(96)

находим

Значение х следует искать в области . Для облегчения подбора х приводится график левой части уравнения (96) на рис. 6. Там же изображены аналогичные графики для цилиндрической и плоской геометрии.

Определив можно повторить расчет, начиная с вычисления [см. выражение (88)], и далее вплоть до получения нового, еще более точного значения . Но на практике, как правило, пересчет оказывается излишним, особенно если погрешность в первоначальном значении была небольшой. Для нахождения коэффициента размножения по формуле (81) достаточно знать только . В двухгрупповом методе эта величина является геометрическим параметром эквивалентного реактора без отражателей, т.е. . Однако всегда полезно найти и эквивалентную добавку

. (97)

Рис. 6. К расчету критических параметров реакторов с отражателями:

- плоская геометрия;

- цилиндрическая геометрия;

- сферическая геометрия.

Радиус активной зоны R задан, а радиус выражается через следующим образом:

(98)

Эквивалентные добавки довольно слабо зависят от геометрии реактора и концентрации горючего, поэтому вычисленную для одного варианта добавку часто используют для оценки k в других вариантах, хотя размеры и даже форма реактора могут быть разными.

Цилиндрический реактор

Пусть активная зона цилиндрического реактора имеет высоту Н и радиус R. Цилиндрический реактор в общем случае может быть окружен отражателями сверху, снизу и с боков, причем качества отражателей с разных сторон обычно бывают различными. Как и в предыдущей задаче, сначала следует задаться величинами эквивалентных добавок со всех сторон и найти приближенные экстраполированные размеры реактора:

Далее вычисляют:

а затем по формулам (88) и (89) определяют значения и . Последующий расчет разбивается на две части.

1. Определение . По формуле (91) находят величину , а также отношения и для бокового отражателя. Величины и d рассчитывают по следующим формулам:

(99)

где

(100)

- функции Бесселя мнимого аргумента; R₀ - внешний радиус бокового отражателя.

Подставив полученные величины в формулу (92), определяют а, а затем подбирают значение х, удовлетворяющее уравнению

(101)

где - функции Бесселя первого рода действительного аргумента (см. табл. [10], [11]). Значение х следует подбирать в области . Правая часть уравнения (101) изображена на рис. 6. Далее находят

(102)

2. Определение . Допустим, что верхний и нижний отражатели одинаковы. Вычислим для них величины и . Затем рассчитаем и d по формулам:

(103)

где

(104)

Здесь - величина, найденная в первой задаче ( - радиальный геометрический параметр эквивалентного реактора без отражателей); - толщина торцовых отражателей. Подставив и в выражение (92), находим а, после чего, как и ранее, подбираем х из трансцендентного уравнения

. (105)

Функция приведена на рис. 6. Далее вычисляем

(106)

Из результатов первой и второй части расчета определяется величина

(107)

Теперь можно повторить расчет (обе его части), чтобы уточнить величины и, следовательно, эквивалентные добавки. Однако уточнение это обычно оказывается несущественным.

Если верхний и нижний отражатели отличаются друг от друга, то вторую часть расчета следует проделать дважды. Подставляя в формулы поочередно параметры верхнего и нижнего отражателя, находят соответственно или и или . Затем искомую экстраполированную высоту эквивалентного реактора без отражателей определяют по формуле

(108)

В этом случае

(109)

В описанной выше схеме двухгруппового расчета предполагалось, что размеры активной зоны реактора заданы, а искомым был коэффициент размножения k. При расчете различных критических сборок и экспериментальных реакторов малой мощности обычно решается обратная задача, а именно заданная величина k обеспечивается подбором размеров активной зоны (добавлением воды, увеличением числа каналов и т.п.). В этом случае схема расчета не меняется, но сначала известны экстраполированные размеры реактора и . Их можно найти с помощью формул (81), (82). Очевидно, и величины и сразу определяются точно. Чтобы найти значения и d, необходимо предварительно задаться размерами активной зоны реактора. Эти размеры можно оценить, вычитая из известных величин и ожидаемые эквивалентные добавки. Уточненные размеры активной зоны получаются, как и раньше, после вычисления а, причем трансцендентные уравнения (101) и (105) нужно записывать теперь в форме:

(101')

. (105')

Уравнение (96) остается прежним. Корни х, найденные в той же области значений, используют для вычисления размеров, а не параметров , как раньше. В цилиндрическом реакторе, когда торцовые отражатели неодинаковы,

(108')

В тех случаях, когда эквивалентные добавки предполагаются небольшими по сравнению с размерами реактора, иногда предпочитают пользоваться формулами для сферической геометрий, как более простыми, заменяя цилиндрический реактор примерно равным по объёму сферическим реактором. Точнее говоря, при такой замене должно сохраняться значение , а следовательно, и . Чтобы найти добавки от действия верхнего, нижнего или бокового отражателя, нужно рассчитать сферический реактор с отражателем соответствующих свойств.

Сферизация реактора делается и тогда, когда, наоборот, величины эквивалентных добавок со всех сторон велики и соизмеримы с размерами самой активной зоны, поскольку при этом приближенное разделение переменных, благодаря которому двумерная цилиндрическая задача разбивается на две одномерных, неприменимо. Последний случай встречается главным образом при расчете быстрых реакторов.