Методические указания к расчету работы №1
Свойства линейных электрических цепей и методы их расчета подробно изложены в [1, 2, 3].
Порядок решения контрольной работы №1 следующий.
1. Допустим, для Вашего варианта из табл. 1 Вы нашли, что структура Вашей цепи следующая (пример условный, на самом деле такой структуры в табл. 1 нет):
|
№ вар. | ac | ab | bd | bc | dc | da |
– |
Из табл. 2 находим параметры элементов цепи (параметры также условные):
№ вар. | Е1 | Е2 | J | R | L | C | |
В | В | А | Ом | мГн | мкФ | ||
28.95 |
По заданному графу построим схему электрической цепи (рис.5). Примечание: поскольку индуктивности и емкость при воздействии на электрическую цепь постоянных сигналов обладают соответственно нулевым сопротивлением и нулевой проводимостью, на схеме они не указаны.
2. Преобразуем схему до трех контуров:
В ветви daсопротивления включены последовательно, а в ветви ac – параллельно, поэтому
;
3. Выбираем положительные направления токов. В ветвях, содержащих ЭДС – по направлению ЭДС, в остальных ветвях – произвольно. Расчетная трехконтурная схема электрической цепи с указанными направлениями токов в ветвях, напряжения на источнике тока и контурных токов приведена на рис. 6.
4. В общем (буквенном) виде составляем полную систему уравнений состояния цепи по законам Кирхгофа для расчета токов всех
ветвей и напряжения на источнике тока.
Схема содержит У = 4 узла и В = 6 ветвей. Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить У –1 = 4 – 1 = 3 независимых уравнения, а по второму закону Кирхгофа - В – У +1= 6 – 4 + 1 = 3 независимых уравнения.
При составлении уравнений по законам Кирхгофа следует руководствоваться следующими правилами. Ток, направленный к узлу, в уравнении по первому закону Кирхгофа учитывается со знаком “+”, направленный от узла – со знаком “–”. Ток в потребителях электроэнергии (пассивных элементах электрической схемы) течет от узла с более высоким потенциалом к узлу с более низким потенциалом. Поэтому в уравнениях по второму закону Кирхгофа падение напряжения учитывается со знаком «+», если направление тока в пассивном элементе совпадает с направлением обхода контура. Напряжение на источнике тока направлено в противоположную току сторону, поскольку ток в этом элементе протекает от точки с более низким потенциалом к точке с более высоким потенциалом (за счет работы сторонних сил). ЭДС записываются в правой части уравнения, причем со знаком “+” учитываются ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода контура.
Узел b: I1 – I4 = – J
Узел c: I2 + I4 – I3 = 0
Узел а: I3 – I1 – I5 = 0
Контур 1: UJ – I5 · 2R = E1
Контур 2: I2· R + I3· R/2 + I5· 2R = E2
Контур 3: I2· R – I4· R + UJ = E2
С помощью программы MATCHAD производим расчет уравнений в матричной форме:
Значение токов ветвей схемы и напряжение на источнике тока:
5. Методом контурных токов определяем токи в ветвях.
Выбираем независимые контуры. В рассматриваемой схеме их три (рис. 6). При этом, поскольку ветвь bdсодержит идеальный источник тока, эта ветвь может входить только в один контур. Ток этого контура равен току источника: J1к = J = 2 А. Для остальных контурных токов составляем уравнения:
После переноса в правую часть постоянных коэффициентов уравнения примут вид:
Численно получим:
В матричной форме уравнения будут иметь вид:
После расчета получим:
J2к = -1.155 А; J3к = - 0.991 А.
Определяем токи ветвей:
I1= –J1к– J3к= -2+0.991 = -1.009 (А);
I2= J2к= -1.155 А;
I3= J2к – J3к = -1.155+0.991= -0.164 А.
I4= –J3к=0.991 А;
I5 = J1к + J2к = 2 -1.155 = 0.845 А;
Согласно второму закону Кирхгофа,
UJ – I5 · R5+ I1 ·0= E1.
Отсюда
UJ = I5 ·2R + E1 = 0.845·220 + 100 = 286 В.
6. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов. Между узлами a и b включена ветвь с идеальным источником ЭДС без сопротивления. Поэтому в качестве базисного (j = 0) удобно принять узел а, тогда
jа =0; jb = E1= 100 В.
Для узлов c и d составляем узловые уравнения:
Перенеся слагаемое в правую часть уравнения и подставив известные числовые значения, получаем:
В матричной форме уравнения будут иметь вид:
После расчета получим:
Токи в ветвях схемы определятся по обобщенному закону Ома:
Ветвь аb содержит только одну ЭДС и проводимость этой ветви равна , поэтому ток невозможно определить через потенциалы узлов. Поэтому для узла “а” составим уравнение по первому закону Кирхгофа:
.
7. Составляем уравнение баланса мощности.
Мощность источников:
Мощность потребителей:
Погрешность расчета (небаланс) составила
.
Таким образом, небаланс в пределах допуска (δ ≤ 1 %).
8. Определим ток I5 в ветви с сопротивлением методом эквивалентного генератора.
Изобразим схему относительно ветви ad в виде эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рис. 7).
Из схемы рис. 7 определим ЭДС эквивалентного генератора
Согласно второму закону Кирхгофа, ,откуда
Для определения тока воспользуемся методом контурных токов:
Подставляя численные значения, получим:
, тогда
Для определения рисуем вспомогательную схему (рис.8) в которой источники ЭДС замкнуты, а источники тока разомкнуты.
Из расчета схемы получаем:
.
По формуле Тевенена-Гельмгольца определяем ток в сопротивлении нагрузки:
Ток короткого замыкания эквивалентного генератора определится как .
Определим ток графически. Для этого построим в одних осях внешнюю характеристику эквивалентного генератора и вольтамперную характеристику нагрузки (сопротивления ). Внешняя характеристика является линейной и пересекает оси координат в точках Uххи , а вольтамперная характеристика нагрузки также линейна и строится по закону Ома: . При этом достаточно задать два значения тока, например и . Точка пересечения характеристик будет рабочей точкой генератора, нагруженного на сопротивление , а ее проекция на оси координат – искомыми током и напряжением (рис. 9). Получаем графические значения В, А.
Построим потенциальную диаграмму для контура add′c(рис. 6), не содержащего источника тока.
Принимаем jа = 0
Тогда jd = jа – I5 · 2R =0–0.845 · 220 = – 185.9 (В)
jd′ = jd + E2 =– 185.9 + 50 = -135.9 (В)
jc = jd′ – I2 · R =-135.9 + 1.155 · 110 = -8.85 (В)
jа = jc – I3 · R/2 =-8.85 + 0.164 · 55 ≈ 0.
Диаграмма приведена на рис. 10.