Синусоидальные величины и их символическое изображение

Мгновенные значения синусоидальной величины определяются выражением:

,

где – амплитуда;

– действующее значение;

– угловая частота, [с^-1];

– линейная частота, [Гц];

– период колебаний [c];

y – начальная фаза, [рад].

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать гармонические токи, напряжения и ЭДС векторами на комплексной плоскости.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции в заданный момент времени, называется векторной диаграммой.

Комплексное число может быть представлено в алгебраической и показательной форме: .

Переход из показательной формы в алгебраическую форму осуществляется по формуле Эйлера:

.

При обратном переходе: , если вещественная часть алгебраической формы положительная, то а если вещественная часть отрицательная, то .

Комплексная синусоидальная функция представляется в виде вращающегося вектора на комплексной плоскости:

;

, , (при t = 0).

Мгновенное значение синусоидальной функции есть проекция вращающегося вектора на мнимую ось: .

Обозначения:

i, u, e – мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС.

I_m, U_m, E_m – комплексные амплитудные значения тока, напряжения, ЭДС.

I, U, E – комплексные действующие значения тока, напряжения, ЭДС.

Примеры

1.1. Дано синусоидальное напряжение .

Записать выражения для комплексного амплитудного и действующего значения.

Решение:

;

.

1.2. Комплексное действующее значение тока .

Записать выражение для мгновенных значений тока.

Решение:

;

.

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ГАРМОНИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Закон Ома в комплексной форме

Таблица 2.1.

Элемент	Связь между мгновенными значениями напряжения и тока	Связь между комплексными действующими значениями напряжения и тока	Векторная диаграмма	Применение
				Напряжение совпадает по фазе с током.
				Напряжение опережает ток на .
				Напряжение отстает от тока на .

Комплексное сопротивление двухполюсника

– активное сопротивление резистора R, [Ом];

– реактивное сопротивление катушки, [Ом];

– индуктивность катушки, [Гн];

– угловая частота, [с ^-1];

– реактивное сопротивление конденсатора, [Ом];

– емкость конденсатора, [Ф];

– комплексное сопротивление резистора;

– комплексное сопротивление катушки;

– комплексное сопротивление конденсатора.

Для цепи (рис. 1) комплексное сопротивление:

где – модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление;

– угол сдвига фаз между напряжением и током.