Задачи для аудиторных занятий

1. Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом R = 1 см подвешены на двух нитях длиной l = 1 м. Заряды шариков q = 4 мкКл. Нити, на которых подвешены шарики, составляют угол α = 90^о. Определить:

а) массу шариков; б) диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность ρ = 800 кг/м³ при условии, что при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между нитями будет β = 60^о.

Ответ: m = 0.016 кг; ε = 2.

2. Прямая, бесконечная, тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд (τ₁ = 1 мкКл/м). В плоскости, содержащей нить, перпендикулярно нити находится тонкий стержень длиной l. Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии l от нее. Определить силу, действующую на стержень, если он заряжен с линейной плотностью τ₂ = 0,1 мкКл/м.

Ответ: F = 1.25 мН.

3. Металлический шар имеет заряд q₁ = 0,1 мкКл. На расстоянии, равном радиусу шара, от его поверхности находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равномерно распределенный по длине заряд q₂ = 10 нКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу, действующую на нить, если радиус шара R = 10 см.

Ответ: F = 150 мкН.

4. Металлический шар радиусом R = 10 см окружен тонкой концентрической проводящей сферой радиуса 2R. Заряды шара q₁ и сферы q₂ таковы, что потенциал шара равен нулю, потенциал внешней сферы φ = 1000 В. Определить заряд шара и сферы.

Ответ: q₁ = - 22,2 нКл; q₂ = 44,5 нКл.

5. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R₁ = 6 см и R₂ = 10 см несут соответственно заряды q₁ = 1 нКл и q₂ = -0,5 нКл. Найти напряженности поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ = 5 см, r₂ = 9 см, r₃ = 15 см.

Ответ: E₁ = 0; E₂ = 1,11 кВ/м; E₃ = 200 В/м.

6. Две тонкостенные коаксиальные трубки радиусами R₁ = 2 см и R₂ = 4 см несут заряды, равномерно распределенные по длине с линейными плотностями τ₁ = 1 нКл/м и τ₂ = -0,5 нКл/м. Пространство между трубками заполнено эбонитом (ε = 3). Определить напряженность поля в точках, находящихся на расстояниях r₁ = 1 см, r₂ = 3 см, r₃ = 5 см от оси трубок.

Ответ: E₁ = 0; E₂ = 200 В/м; E₃ = 180 В/м.

7. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d = 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ =0,2 мкКл/м² и σ₂ = -0,3 мкКл/м². Определить разность потенциалов между плоскостями.

Ответ: Δφ = 141 В.

8. Эбонитовый толстостенный шар несет равномерно распределенный по объему заряд с плотностью ρ = 2 мкКл/м³. Внутренний радиус шара R₁ = 3 см, наружный R₂ = 6 см. Определить потенциал шара в следующих точках: 1) на наружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара.

Ответ: φ₁ = 238 В; φ₂ = 116 В; φ₃ = 116 В.

Домашнее задание

1. Два положительных точечных заряда q и 4q закреплены на расстоянии l = 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд q₁ так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

2. Расстояние l между свободными зарядами q₁ = 180 нКл и q₂ = 720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд q₃ так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?

3. Три одинаковых заряда q = 1 нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд q₁ нужно поместить в центр треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым?

4. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды q = 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд q₁ нужно поместить в центр квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

5. Тонкий стержень длиной l = 10 см равномерно заряжен. Линейная плотность заряда τ =1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд q = 100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

6. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ = 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от его конца находится точечный заряд q = 10 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

7. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ = 10 мкКл/м. На перпендикуляре к оси стержня, восставленном из конца его, находится точечный заряд q = 10 нКл. Расстояние заряда от конца стержня а=20 см. Найти силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

8. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его центра, находится точечный заряд q₁ = 10 нКл. Определить силу F, действующую на точечный заряд q₁ со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: 1) l₁ = 20 см; 2) l₂ = 2 м.

9. Тонкое полукольцо радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится заряд q = 20 нКл. Определить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца.

10. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 1 нКл/м. В центре кольца находится заряд q = 0,4 мкКл. Определить силу F, растягивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь.

11. Тонкое кольцо радиусом R = 8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Какова напряженность электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 10 см?

12. На отрезке тонкого прямого проводника длиной l = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 3 мкКл/м. Вычислить напряженность в точке, лежащей на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

13. Тонкий стержень длиной l = 12 см заряжен с линейной плотностью τ = 200 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от стержня против его середины.

14. Тонкий стержень длиной l = 10 см заряжен с линейной плотностью τ = 400 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенному через один из его концов, на расстоянии r = 8 см от этого конца.

15. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить потенциал в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а = 5 см от центра.

16. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Вычислить потенциал, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

17. Тонкий стержень длиной l = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 1 нКл. Определить потенциал электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца.

18. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной а = 10 см. Стержни равномерно заряжены, их общий заряд q = 10 нКл. Найти потенциал в центре квадрата.

19. В вершинах равностороннего со стороной a = 5 м треугольника расположены три одинаковых заряда q = 3 мкКл каждый. Определить модуль вектора напряженности электрического поля в центре треугольника и вершине тетраэдра, построенного на этом треугольнике.

20. Шарик массой m = 0,2 г с зарядом q = 1 мкКл, подвешенный на нити длиной l = 0,2 м, вращается вокруг неподвижного заряда, такого же, как и заряд шарика. Угол между нитью и вертикалью 30^o, заряды находятся в одной плоскости. Найти угловую скорость равномерного вращения и силу натяжения нити.

21. Шарик массой m = 15 г с зарядом q = 15 мкКл может вращаться в вертикальной плоскости на нити длиной l = 15 см. В центре вращения находится второй шарик с зарядом, равным по значению и знаку заряда вращающегося шарика. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить шарику в нижнем положении, чтобы он смог сделать полный оборот?

22. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ =1 нКл/м². Найти напряженность электрического поля в геометрическом центре полусферы.

23. Два прямых тонких стержня длиной l₁ = 12 см и l₂ = 6 см заряжены каждый с линейной плотностью τ = 400 нКл/м. Стержни начинаются в одной точке и образуют прямой угол. Найти напряженность поля в точке, лежащей на пересечении перпендикуляров, восстановленных из концов стержней.

24. Тонкая круглая пластинка несет равномерно распределенный по плоскости заряд q = 1 нКл. Радиус пластины R = 5 см. Определить потенциал электрического поля в двух точках: 1) в центре пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендикулярной плоскости пластины и отстоящей от центра пластины на а = 5 см.

25. В центр квадрата, в каждой вершине которого находится заряд q = 2,33 нКл, помещен отрицательный заряд q_o. Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует результирующая сила F=0.

26. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q_o = 0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2 α = 60^о. Найти массу m каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 20 см.

27. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной Т = 98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 10 см; масса каждого шарика m = 5 г.

28. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины (l = 20 см) так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q_o = 0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2α = 60^o. Найти плотность материала шариков, если известно, что при погружении этих шариков в керосин угол расхождения нитей стал равным 2β = 54^o.

29. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены в диэлектрик, плотность которого ρ = 800 кг/м³ и диэлектрическая проницаемость ε = 2. Какова должна быть плотность ρ ₀ материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковыми?

30. Медный шар радиусом R = 0,5 см помещен в масло. Плотность масла ρ = 800 кг/м³. Найти заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле. Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность Е=3,6 МВ/м. (Плотность меди δ = 8900 кг/м³).

31. В центре сферы радиусом R = 20 см находится точечный заряд q = 10 нКл. Определить поток вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S = 20 см².

32. Прямоугольная плоская площадка, со сторонами а = 3 см и b = 2 см, находится на расстоянии R = 1 м от точечного заряда q = 1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности в центре площадки составляют угол 30^o с ее поверхностью. Найти поток вектора напряженности через площадку.

33. Электрическое поле создано точечным зарядом q = 0,1 мкКл. Определить поток электрического смещения через круглую площадку радиусом R = 30 см. Заряд равноудален от краев площадки и находится на расстоянии а = 40 см от ее центра.

34. Плоская квадратная пластина со стороной длиной l = 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной (σ =1 мкКл/м²) плоскости. Плоскость пластины составляет угол a = 30⁰ с линиями поля. Найти поток электрического смещения через эту пластину.

35. Электрическое поле создано бесконечной прямой, равномерно заряженной нитью (τ = 0,3 мкКл/м). Определить поток электрического смещения через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной линии и одинаково удалены от нее на расстоянии r = 20 см. Стороны площадки имеют размеры а = 20 см, b = 40 см.

36. На некотором расстоянии от бесконечной равно­мерно заряженной плоскости с поверхностной плотно­стью σ = 0,1 нКл/см² расположена круглая пластинка. Нормаль к плоскости пластинки составляет с линиями напряженности угол 30⁰. Определите поток N_Евектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r = 15 см.

37. Электростатическое поле создается двумя беско­нечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с поверхностной плотностью соответственно σ₁ = 2 нКл/м² и σ₂ = 4 нКл/м².­ Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. По­стройте график изменения напряженности поля вдоль оси х, перпендикулярной плоскостям.

38. Электростатическое поле создается двумя беско­нечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно разноименными зарядами с поверхностной плотностью σ₁ = 1 нКл/м² и σ₂ = 2 нКл/м². Определите напряженность электростатического поля: 1) между плос­костями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.

39. На металлической сфере радиусом R = 15 см нахо­дится заряд q = 2 нКл. Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r₁= 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоя­нии r₂= 20 см от центра сферы. Постройте график зави­симости E(r).

40. Поле создано двумя paвнoмepнo заряженными концентрическими сферами радиусами R₁ = 5 см и R₂ = 8 см. Заряды сфер соответственно равны q₁ = 2 нКл и q₂ = - 1 нКл. Определите напряженность электростатиче­ского поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоя­ниях: 1) r_l = 3 см; 2) r₂= 6 см; 3) r ₃= 10 см. Постройте график зависимости E(r).

41. Шар радиусом R = 10 см в вакууме заряжен paвномерно с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r₁= 5 см от центра шара; 2) на расстоянии r₂= 15 см от центра шара. Постройте зависимость E(r).

42. Фарфоровый шар радиусом R= 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью ρ = 15 нКл/м³. Опре­делите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r₁= 5 см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии r₂ = 15 см от центра шара. Пост­ройте график зависимости E(r).Диэлектрическая проницаемость фарфора ε = 5.

43. Длинный прямой провод, расположенный внутри диэлектрика (ε = 2), несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью τ = 2 нКл/м. Опреде­лите напряженность и смещение электростатического поля на рас­стоянии r = 1 м от провода.

44. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального кабеля радиусом R₁ = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью τ₁ = 0,20нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого кабеля радиусом R₂ = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ₂ = - 0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определите напря­женность электростатического поля в точках, лежащих от оси кабеля на расстояниях 1) r₁ = 1 мм; 2) r₂ = 2 мм; 3) r₃ = 5 мм. Постройте график зависимости E(r).

45. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью ρ = 5 нКл/м³ по шару радиусом R= 10 см из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε = 5. Определите напряженность элек­тростатического поля на расстояниях r₁= 5 см и r₂ = 15 см от центра шара. Постройте график зависимости E(r).

46. Эбонитовый сплошной шар (ε = 3) радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определите напряженность и смещение электрического поля в точках: 1) на расстоянии r₁ = 3 см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии r₂ = 10 см от центра шара. Постройте графики зависимостей E(r), D(r).

47. Полый стеклянный шар (ε = 5) несет равномерно распределенный по объему заряд. Его объемная плотность ρ = 100 нКл/м³. Внутренний радиус шара R₁ = 5 см, наружный - R₂ = 10 см. Вычислите напряженность и смещение электростатического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии: 1) r₁ = 3 см; 2) r₂ = 6 см; 3) r₃ = 12 см. Постройте графики зависимостей E(r), D(r).

48. Длинный парафиновый цилиндр (ε = 2) радиусом R = 2 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить напряженность и смещение электростатического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) r₁ = 1 см; 2) r₂ = 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей E(r), D(r).

49. Большая плоская пластина толщиной d = 1 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью ρ = 100 нКл/м³. Найти напряженность электростатического поля вне пластины на малом расстоянии от ее поверхности.

50. В центре тонкостенной металлической оболочки радиусом R = 10 см, несущей заряд q = 10 нКл, находится точечный заряд q₀ = 5 нКл. Найти напряженность электростатического поля на расстояниях: 1) r₁ = 5 см, 2) r₂ = R, 3) r₃ = 15 см от центра. Построить график зависимости E(r).

51. В вакууме в объеме шара радиусом R = 5 см распределен электрический заряд. Объемная плотность заряда меняется как ρ = ρ₀·r, где ρ₀ = 5 нКл/м³, r –расстояние от центра шара. Найти напряженность электростатического поля на расстояниях: 1) r₁ = 3 см, 2) r₂ = R, 3) r₃ = 10 см от центра шара. Построить график зависимости E(r).

52. Очень длинный цилиндр из диэлектрика (ε = 3) радиусом R = 5 см заряжен таким образом, что объемная плотность заряда меняется как ρ = ρ₀·r, где ρ₀ = 1 мкКл/м³, r – расстояние от оси цилиндра. Найти напряженность и смещение электростатического поля на расстояниях: 1) r₁ = 1 см, 2) r₂ = R, 3) r₃ = 10 см от оси цилиндра. Построить графики зависимостей E(r), D(r).

53. Бесконечно длинная тонкостенная трубка радиусом R = 2 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд σ = 1 нКл/м². Определить напряженность электростатического поля в точках, отстоящих от оси трубки на r₁ = 1 см, r₂ = 3 см. Построить график зависимости E(r).

54. Прямой металлический стержень диаметром d = 5 см и длиной l = 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд q = 500 нКл. Определить напряженность электростатического поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии a = 1 см от его поверхности.

55. Электрический заряд распределен в вакууме по объему шара радиусом R = 2 м. Объемная плотность заряда меняется по закону ρ = ρ₀/(1+r³), где ρ₀ = 1 мкКл/м³, r – расстояние от центра шара. Найти напряженность электрического поля на расстояниях: 1) r₁ = 1 м, 2) r₂ = 10 м от центра шара.

56. Электрический заряд распределен в вакууме по объему очень длинного цилиндра радиусом R = 3 см. Объемная плотность заряда меняется по закону ρ = ρ₀·r, где ρ₀ = 2 нКл/м³, r – расстояние от оси цилиндра. Найти напряженность электростатического поля в точках, расположенных на расстояниях: 1) r₁ = 1 см, 2) r₂ = 5 см от оси цилиндра.

57. Три металлические концентрические тонкостенные сферы радиусами R₁ = 2 см, R₂ = 2R₁, R₃ = 3R₁ имеют заряды q₁ = 2 нКл, q₂ = 4 нКл и q₃ = -3 нКл соответственно. Найти напряженность электростатического поля в точках, расположенных на расстояниях: 1) r₁ = 1 см, 2) r₂ = 3 см, 3) r₃ = 5 см , 4) r₄ = 10 см от центра сфер. Построить график зависимости E(r).

58. Металлический шар радиусом R = 5 см, несущий заряд q = 5 нКл, окружен толстостенным металлическим шаром с внутренним радиусом R₁ = 7 см и наружным - R₂ = 9 см. Заряд внешнего шара равен нулю. Найти напряженность электростатического поля на расстояниях: 1) r₁ = 3см, 2) r₂ = 6 см, 3) r₃ = 8 см, 4) r₄ = 10 см от центра шаров. Построить график зависимости E(r).

59. Две параллельные бесконечные плоскости равномерно заряжены разноименными зарядами с поверхностной плотностью σ₁ = 20 нКл/м² и σ₂ = - 50 нКл/м². Пространство между плоскостями заполнено диэлектриком (ε = 5). Найти напряженность и смещение электростатического поля 1) между пластинами, 2) за пределами пластин. Построить графики зависимостей E и D от координаты х, если ось х перпендикулярна плоскостям.

60. Две металлические концентрические тонкостенные сферы радиусами R₁ = 2 см и R₂ = 5 см несут заряды q₁ = 10 нКл и q₂ = - 2 нКл соответственно. Пространство между сферами заполнено диэлектриком (ε = 5). Найти напряженность и смещение электростатического поля на расстояниях: 1) r₁ = 1 см, 2) r₂ = 3см, 3) r₃ = 10 см от центра сфер. Построить графики зависимостей E(r), D(r), где r – расстояние от центра сфер.

61. Электростатическое поле создается равномерно заряженным по объему шаром радиусом R = 10 см. Потенциал этого поля на расстоянии l = 5см от поверхности шара φ = 150 В. Найти напряженность поля на расстоянии r = 5 см от центра шара.

62. Электростатическое поле создается сферой ра­диусом R= 5 см, равномерно заряженной с поверхност­ной плотностью σ = 1 нКл/м². Определите разность по­тенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r₁= 10 см и r₂ = 15 cм от центра сферы.

63. Электростатическое поле создается равномерно заряженным по объему шаром радиусом R= 1 м с общим зарядом q= 50 нКл. Определите разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях: 1) r₁= 0,5 м и 2) r₂= 2 м.

64. Электростатическое поле создается шаром ра­диусом R= 8 см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определите разность потен­циалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r₁= 5 см и r₂ = 15см от центра шара.

65. Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 10 см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ = 20 нКл/м³. Определите раз­ность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях r₁= 2 см и r₂ = 8 см от его центра.

66. Электростатическое поле создается шаром ра­диусом R= 8 см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определите разность потен­циалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r₁= 10 см и r₂= 15см от центра шара.

67. Электростатическое поле создается в вакууме бесконечным металлическим цилиндром радиусом R = 8 мм, равномерно за­ряженным с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками это­го поля, лежащими на расстояниях r ₁ = 2 мм и r ₂ = 7 мм от поверхности этого цилиндра.

68. Определите напряженность электростатического поля на расстоянии d = 1 см от оси коаксиального кабеля, если радиус его центральной жилы r₁= 0,5 см, а радиус оболочки r₂= 1,5 см. Разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой U= 1 кВ.

69. Имеются две концентрические металлические сферы радиусами R₁ = 3 см и R₂ = 6 см. Пространство между сферами заполнено парафином (ε = 2). Заряд внутренней сферы равен q₁ = -1 нКл, внешней q₂ = 2 нКл. Найти потенциал электрического поля на расстоянии: 1) r₁ = 1 см; 2) r₂ = 5 см; 3) r₃ = 9 см от центра сфер.

70. Металлический шар радиусом R = 5 см несет заряд q = 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита (ε = 3) толщиной d = 2 см. Вычислить потенциал электрического поля на расстоянии: 1) r₁ = 3 см; 2) r₂ = 6 см; 3) r₃ = 9 см от центра шара.

71. Сплошной парафиновый шар (ε = 2) радиусом R = 10 см равномерно заряжен с объемной плотностью ρ = 1 мкКл/м³. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности.

72. Напряженность однородного электрического поля в некоторой точке равна E = 600 В/м. Вычислить разность потенциалов между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей угол α = 60^o с направлением вектора напряженности. Расстояние между точками равно Δr = 2 мм.

73. Сплошной шар из диэлектрика (ε = 3) радиусом R = 10 см заряжен с объемной плотностью ρ = 50 нКл/м³. Вычислить разность потенциалов между центром шара и точками, лежащими на его поверхности.

74. Две бесконечные параллельные плоскости равномерно заряжены с поверхностной плотностью σ₁ = 5 нКл/м² и σ₂ = - 2 нКл/м². Определить разность потенциалов двух точек электростатического поля, находящихся на равных расстояниях l = 2 см от положительно заряженной плоскости, если одна из точек находится между плоскостями, а другая – за пределами плоскостей.

75. Три проводящие концентрические сферы радиусов R₁ = 10 см, R₂ = 2R₁, R₃ = 3R₁ имеют заряды q₁ = 2 нКл, q₂ = 2q₁, q₃ = - 3q₁ соответственно. Определить потенциал каждой из сфер.

76. Очень длинный металлический стержень диаметром d = 4 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить разность потенциалов между двумя точками, одна из которых лежит на оси стержня, а другая – на расстоянии l = 5 см от его поверхности.

77. Две бесконечные параллельные плоскости равномерно заряжены с поверхностной плотностью σ₁ = 6 нКл/м² и σ₂ = - 2 нКл/м². Пространство между плоскостями заполнено диэлектриком (ε = 5). Определить разность потенциалов двух точек электростатического поля, находящихся на равных расстояниях l = 1 см от положительно заряженной плоскости, если одна из точек находится между плоскостями, а другая – за пределами плоскостей.

78. Две бесконечные параллельные плоскости равномерно заряжены одноименными зарядами с поверхностной плотностью σ₁ = 8 нКл/м² и σ₂ = 3 нКл/м². Пространство между плоскостями заполнено диэлектриком (ε = 3). Определить разность потенциалов двух точек электростатического поля, находящихся между плоскостями на расстояниях r₁ = 1см и r₂ = 5 см от первой плоскости.

79. Металлический шар радиусом R = 5 см окружен полым толстостенным металлическим шаром с внутренним радиусом R₁ = 8 см и внешним R₂ = 12 см. Заряд внешнего шара равен нулю. Найти потенциалы шаров. Построить график зависимости φ(r).

80. Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряжены разноименными зарядами с поверхностной плотностью σ₁ = 3 нКл/м² и σ₂ = - 3 нКл/м². Расстояние между пластинами d = 5 см. Между пластинами на равном расстоянии от них поместили лист металла толщиной d = 3 см. Найти потенциал листа, если отрицательно заряженная пластина заземлена.

81. Длинный парафиновый цилиндр (ε = 2) радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях r₁ = 1 см и r₂ = 2 см от оси цилиндра.

82. Электрический заряд равномерно распределен в вакууме по объему шара радиуса R = 5 см. Потенциал электростатического поля на расстоянии r₁ = 10 см от центра шара φ₁ = 100 В. Найти потенциал поля на расстоянии r₂ = 3 см от центра шара (считать потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю).

83. Длинный металлический стержень диаметром d = 2 см несет равномерно распределенный заряд. Найти линейную плотность заряда на стержне, если разность потенциалов точек электростатического поля, отстоящих от поверхности стержня на расстояния l₁ = 1 см и l₂ = 2 см, равна Δφ = 100 В.

84. Металлический шар радиусом R = 5 см несет заряд q = 10 нКл. Определите потенциал электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии l = 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости φ(r).

85. Полый металлический шар несет на себе равномерно распреде­ленный заряд. Определите радиус шара, если потенциал в центре шара равен φ₁ = 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии r= 50 см, φ₂ = 40 В.

86. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определите числовое значе­ние и направление градиента потенциала этого поля на расстоянии r= 10 см от заряда, если потенциал поля в этой точке равен φ = 100 В.

87. Электростатическое поле создается бесконеч­ной плоскостью, заряженной равномерно с поверхност­ной плотностью σ = 5 нКл/м². Определите числовое зна­чение и направление градиента потенциала этого поля.

88. Электростатическое поле создается бесконеч­ной прямой нитью, заряженной равномерно с линейной плотностью τ = 50 пКл/см. Определите числовое значе­ние и направление градиента потенциала в точке на рас­стоянии r= 0,5 м от нити.

89. Электростатическое поле создается бесконеч­ной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ = 1 нКл/м². Определите разность по­тенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях х₁ = 20 см и х₂ = 50 см от плоскости.

90. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R= 10 см с общим зарядом q= 15 нКл. Определите раз­ность потенциалов между двумя точками этого поля, ле­жащими на расстояниях r₁= 5 см и r₂ = 15 см от поверх­ности сферы.