Принцип суперпозиции электростатических полей

К кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил — результирующая сила, действующая со стороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сип, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов, создающих электростатическое поле.

Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, также равна геометрическойсумме напряженно с тей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Эта формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей. Он позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов.

Напомним правило определения величины вектора суммы двух векторов и :

6. Теорема Гаусса.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиуса г, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности произвольной формы, охватывающей заряд.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности,, окружающей п зарядов. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля , создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на .

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностью , то теорема Гаусса:

7. Циркуляция вектора напряженности.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд ,то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении dl равна:

Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:

Работа не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Если переносимый заряд единичный, то элемен­тарная работа сил поля на пути равна , где —проекция вектора на направление элементарного перемещения .

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности по заданному замкнутому контуру L.

Теорема о циркуляции вектора :

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю

Силовое поле, обладающее таким свойством. называется потенциальным. Эта формула справедлива только для электрического поля неподвижных зарядов (электростатического).

8. Потенциальная энергия заряда.

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поэтому работу можно представить, как разность потенциальных энергий заряда q₀ в начальной и конечной точках поля заряда q:

Потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой п точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда д₀, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

9. Потенциал электростатического поля.

Отношение не зависит от пробного заряда и является, энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом:

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Например, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен

10.Разность потенциалов

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

то есть равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

Пользуясь определением напряженности электростатического поля, можем записать работу в виде

Отсюда

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Если перемещать заряд из произвольной точки за пределы поля {на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сип электростатического поля , откуда

Таким образом, еще одно определение потенциала: потенциал— физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.

Единица потенциала - вольт (В): 1В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1ДжЛКл).

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей: Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.

11. Связь между напряженностью и потенциалом.

Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой и потенциальной энергией существует связь:

где ("набла") — оператор Гамильтона:

Поскольку и , то

Знак минус показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.

12. Эквипотенциальные поверхности.

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности – поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и тоже значение.

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями — сечения эквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а), диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлического проводника сложной конфигурации (г).

Для точечного заряда потенциал , поэтому эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Можно показать, что во всех случаях

1) вектор перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и

2) всегда направлен в сторону убывания потенциала.

13.Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических полей в вакууме.

1. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.

Электрическим диполем(или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,—q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l<<r).

Плечо диполя — вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.

Электрический момент диполя р_е — вектор, совпада­ющий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда на плечо :

1) Напряженность поля диполя на продолжении оси диполя в точке А:

Пусть r — расстояние до точки А от середины оси диполя. Тогда, учитывая что r>>l.

2) Напряженность поля в точке В на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины при r’>>l.

, , поэтому

Точка В равноудалена от зарядов + q и — q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю. Вектор направлен противоположно вектору .

3) Во внешнем электрическом поле на концы диполя действует пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы электрический момент диполя развернулся вдоль направления поля (рис.(а)).

Во внешнем однородном поле момент пары сил равен или . Во внешнем неоднородном поле (рис.(в)) силы, действующие на концы диполя, неодинаковы и их результирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью—диполь втягивается в область более сильного поля.

2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны.

В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен . По теореме Гаусса ,откуда:

Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю. Такое поле называется однородным.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях и от плоскости, равна

3.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов

Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности и первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены перпендикулярно плоскостям. Поэтому в пространстве вне плоскостей они компенсируют друг друга, а в пространстве между плоскостями суммарная напряженность . Поэтому между плоскостями

(в диэлектрике )

Поле между плоскостями однородное. Разность потенциалов между плоскостями

(в диэлектрике )

4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью .

Поскольку система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметрично относительно центра сферы, то линии напряженности направлены радиально.

В качестве Гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R ,то внутрь поверхности попадает весь заряд q. По теореме Гаусса

, откуда , ( )

При замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы E = 0.

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях и от центра сферы ,равна

принять и , то потенциал поля вне сферической поверхности

Вне заряженной сферы поле такое же как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, поэтому потенциал всюду одинаков и такой же, как на поверхности

5. Поле объемно заряженного шара.

Заряд q равномерно распределен в вакууме по объему шара радиуса R с объемной плотностью Центр шара является центром симметрии поля.

1) Для поля вне шара (r > R) получаем тот же результат, что и в случае сферической поверхности

2) При r=R:

3) Внутри шара сфера радиусом r<R охватывает заряд .

По теореме Гаусса

Отсюда, для точек, лежащих внутри шара , с учётом ,

,