Вопрос № 1: Законы Кирхгофа. Расчёт сложных цепей

В сложных электрических цепях может содержаться несколько замкнутых контуров с любым размещением в них источников энергии и потребителей. Поэтому такие сложные цепи нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений. Используя закон Ома и два закона Кирхгофа, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.

Два закона Кирхгофа полностью определяют электрическое состояние цепей и дают основу для их расчета. Оба эти закона установлены на основе многочисленных опытов и являются следствием закона сохранения энергии.

Согласно первому закону Кирхгофа сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю (Узел цепи— точка, в которой соединяются три (или более) проводника электрической цепи):

т.е. в любом узле цепи сумма приходящих токов равна сумме уходящих токов.

Например, для узла, изображенного на рисунке 1.

Рис. 1

Алгебраическая сумма токов - это заряд, приходящийся в данный узел за единицу времени.

Если в данной цепи токи постоянны, то эта сумма токов должна равняться нулю, так как в противном случае в узле стал бы накапливаться заряд и его потенциал стал бы изменяться со временем, а значит, изменялись бы и токи в цепи.

Рассмотрим теперь разветвлённую цепь, изображённую на рисунке 2

Рис. 2

Выделим к этой разветвленной цепи какой-либо замкнутый контур, например, контур АВСFА.

Согласно второму закону Кирхгофа в любом замкнутом электрическом контуре сумма всех падений напряжения равна сумме всех ЭДС в нем:

Оба закона Кирхгофа полезны при расчёте разветвленных цепей. Применяя их к точкам, разветвления и к различным замкнутым контурам, входящим в сложную сеть, мы получаем уравнения для определения всех неизвестных токов.

Можно показать, что число независимых уравнений при этом всегда равно числу неизвестных токов, и поэтому правила Кирхгофа дают общий метод расчёта разветвленных цепей.

При составлении уравнений с помощью правил Кирхгофа следует тщательно соблюдать правило знаков.

Если при выбранном направлении обхода ЭДС проходится от минуса к плюсу, то она записывается со знаком плюс;

Если направление тока не совпадает с направленим обхода контура, то падение напряжения записывается со знаком минус.

Одним из методов расчета сложных электрических цепей является метод наложения токов, сущность которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви представляет собой алгебраическую сумму токов, создаваемых в ней каждой из эдс цепи в отдельности.

На рисунке 3 изображена цепь, содержащая три источника с эдс E1, E2 и E3 и четыре последовательно соединенных резистора Rl, R2, R3, R4.

Рис.3

Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то общее сопротивление цепи

R=R1+R2+R3+R4.

Допустим сначала, что эдс первого источника E1=0, а второго и третьего Е1=E2=0.

Затем положим, E2=0 a E1=0 и E3=0.

И наконец, полагаем E3=0, a E2=0 и E1=0.

В первом случае ток в цепи, совпадающий по направлению с эдс равен I1=E1/R, во втором случае ток в цепи, совпадающий по направлению с эдс

Е2, равен I2=E2/R; в третьем случае ток равен I3=E3/R и совпадает по направлению с E3.

Так как E1 и E3 совпадают по направлению в контуре, то и токи I1 и I3 также совпадают, а ток I2 имеет противоположное направление, так как эдс E2 направлена встречно по отношению к эдс E1 и E3.

Следовательно, ток в цепи равен

I = I1-I2+I3=E1/R-E2/R+E3/R=(E1-E2+E3)/(R1+R2+R3+R4)

Напряжение на любом участке цепи, например, между точками а и б, равно

Uаб = I*R4

При расчете сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех эдс.

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками.

Если действительное направление тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком минус.

Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, причем число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.

Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа

Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление (см. рис.4).

Рис.4

Дано:

Эдс источников E1 = E2 = 120 В,

Внутренние сопротивления R1 = 3 Ом R2 = 6 Ом ,

Сопротивление нагрузки R=18 Ом.

Так как число неизвестных токов три, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа:

I=I1+I2.

Второе уравнение напишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивления нагрузки E1=IR + I1R1.

Аналогично запишем третье уравнение:

E2=IR+I2R2.

Подставляя числовые значения, получим 120 В=3I1 + 18I и 120 В = 6I2 + 18I. Так как E1 - E2 = I1 R1 - I2 R2 = 3I1 - 6I2 = 0, то I1 = 2I2 и I = 3I2.

Подставляя эти значения в выражение для эдс E1 получим 120 = 2I2 * 3 + 18 * 3I2 = 60I2, откуда I2 = 120 / 60 = 2 A , I1 = 2I2 = 4 А , I = I1 + I2 = 6 А.

B сложных электрических цепях, имеющих две узловые точки а и б и состоящих из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общий приемник, удобно использовать метод узловых напряжений.

Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько узловых точек и эдс, применяют метод контурных токов, который дает возможность сократить число уравнений, подлежащих решению. Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекает два контурных тока, из которых первый представляет собой ток одного из смежных контуров, второй - другого контура. Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от их взаимного относительного направления.