Правила Кирхгофа для разветвленных цепей
Электрические цепи имеют широкое применение в науке и технике, в том числе и бытовой. Поэтому необходимо не только понимать основные законы протекания токов в цепях, но и уметь производить расчет разветвленной цепи постоянного тока.
Разветвленные электрические цепи постоянного тока содержат, как правило, комбинации сопротивлений и источников электродвижущей силы (ЭДС). Обычно величины сопротивлений и ЭДС, входящих в различные соединения проводников, известны. Поэтому задача расчета электрической цепи заключается в определении токов, текущих через сопротивления, и падений напряжения на соответствующих сопротивлениях, входящих в цепь.
Для решения задач такого рода в принципе вполне достаточно применения закона Ома в различных его формах (для полной цепи, для участков цепи, содержащих или не содержащих источников тока). Однако в случае сложных цепей расчеты получаются чрезвычайно громоздкими, и в них легко запутаться. Расчет разветвленных электрических цепей значительно упрощается при использовании правил Кирхгофа. Немецкий ученый Кирхгоф сформулировал два простых правила, которые значительно упрощают расчеты сложных электрических цепей. Правила Кирхгофа позволяют свести расчет цепи к механическому применению весьма простого алгоритма.
Правила Кирхгофа вытекают из простых соображений. Пользуясь ими, выведем эти правила.
Прежде всего, введем некоторые определения.
Электрической цепью (или просто цепью) называют совокупность устройств, образующих путь для электрического тока. Электромагнитные процессы в цепи могут быть описаны с помощью понятий о напряжении и токе. Задача анализа электрических цепей обычно сводится к определению тем или иным методом токов в ветвях и напряжений на различных участках цепи.
Цепь состоит из участков, содержащих резисторы R и источники ЭДС, причем на рисунке 2 отмечены положительные "+" и отрицательные " - " полюсы источников.
Узел цепи– точка, в которой соединено более двух проводников.
Ветвь – участок цепи между двумя узлами.
Контур– замкнутый неразветвленный участок цепи.
Рассмотрим некоторый узел.
Рисунок 4 Схема некоторого узла цепи
Первое правило Кирхгофа относится к узлам цепи. Рассчитаем суммарный электрический заряд, поступающий в узел за малый промежуток времени Dt. За это время в узел притекает заряд, равный 
, а вытекает заряд 
. Если за одно и то же время в узел притекает больше заряда, чем вытекает, то в узле заряд накапливается. Это будет приводить к тому, что электрическое поле в проводниках, соединенных в узле, а затем и во всей цепи будет изменяться. Это противоречит предположению о стационарности процесса. Поэтому должно в каждый момент времени выполняться равенство зарядов, притекающих в узел и уходящих из него. Это означает, что вычисленная нами сумма равна нулю:
Полученную формулу можно записать компактнее, если условиться токам, входящим в узел, приписывать знак ¢¢плюс¢¢, а выходящим из него - ¢¢минус¢¢. тогда можно записать
(28)
Это уравнение есть выражение первого правила Кирхгофа. Его можно сформулировать так: алгебраическая сумма токов, сходящихся в одном узле цепи, равна нулю, при этом токи, входящие в узел, считаются положительными, а исходящие из него – отрицательными.
Каждому проводнику цепи условно приписывается величина и направление тока. Условимся для определенности считать ток, текущий к узлу, имеющим знак "+" и соответственно ток, текущий от узла, - знак "-".
Первое правило Кирхгофа является следствием сохранения электрического заряда. Действительно, если бы (28) не выполнялось, то в узле накапливался бы электрический заряд, чего на самом деле не происходит.
В цепи, изображенной на рисунке 5, имеются два узла, отмеченные буквами А, В, для каждого из которых можно написать уравнение (28). Например, для узла В уравнение (28) имеет вид:
Отметим, что уравнение (28) можно записать для каждого из N узлов цепи, однако независимыми будут N-1 уравнений, а N -е уравнение будет являться следствием из них.
Необходимо также отметить, что если в каком-либо участке цепи направление тока заранее неизвестно, то его указывают произвольно. Если при дальнейшем расчете значение данного тока получается со знаком “+”, то это означает, что направление тока «угадано» верно, если же оно получается со знаком “-”, то реальное направление тока на данном участке цепи противоположно направлению, выбранному в начале расчета.
Выведем второе правило Кирхгофа. Для этого нам придется рассмотреть два контура.
Рисунок 5 Пример некоторой разветвленной цепи
Сначала произвольно выберем направление обхода контура. Допустим, мы будем обходить его в направлении против движения часовой стрелки. Подсчитаем работу, которая будет совершена при переносе положительного единичного заряда в выбранном направлении. Работа при полном обходе контура равна сумме работ, совершаемых на каждом его участке:
А = 
,
где Ai – работа по переносу заряда на i-ом участке. Однако работа по переносу положительного единичного заряда между двумя точками равна напряжению. Кроме электростатических сил в нашем контуре работают и неэлектростатические (сторонние) силы. По определению их работа равна сумме электродвижущих сил (ЭДС) источников. Также необходимо учесть, что работа электростатических сил по замкнутому контуру равна нулю. Отсюда можно получить:
.
Однако по закону Ома для участка цепи напряжение на этом участке равно произведению тока на сопротивление:
Таким образом, мы можем окончательно записать:
(29)
Это уравнение является математическим выражением второго правила Кирхгофа. Это правило можно сформулировать так: алгебраическая сумма напряжений при обходе замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся при обходе. При этом токи считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, совпадают или нет их направления с направлением обхода контура. ЭДС входит в сумму со знаком ¢¢плюс¢¢, если она стремится создать ток в направлении обхода, и ¢¢минус¢¢ в противоположном случае.
При применении второго правила Кирхгофа необходимо:
• отметить знаками "+" и " - " полюсы источников ЭДС;
• выбрать направление обхода выделенного замкнутого контура;
• токи, направление которых совпадает с направлением обхода контура, считать положительными, а токи, направленные навстречу обходу - отрицательными;
• ЭДС приписывать положительный знак, если при обходе выделенного контура встречается вначале отрицательный полюс источника ЭДС, а затем положительный.
Таким образом в основе методов анализа цепей лежат законы Кирхгофа и Ома.
Для линейных цепей справедливы также: принцип наложения (суперпозиции), свойство взаимности, теорема об эквивалентном генераторе и др.
Принцип наложения
Принцип наложения гласит: ток в любой ветви электрической цепи, находящейся под воздействием нескольких источников электрической энергии, равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым источником в отдельности. Принцип наложения справедлив и для напряжения.
Для выбранной нами схемы (рисунок 5) уравнения, выражающие второе правило Кирхгофа будут выглядеть так:
Расчет цепей с использованием правил Кирхгофа выполняется следующим образом. Для каждой ветви произвольным образом выбирается направление тока. Если выбранное нами направление не совпадает с действительным, то после решения этот ток получится отрицательным. Далее составляем уравнения на основе первого правила Кирхгофа. Таких уравнений можно записать столько же, сколько узлов в нашей схеме.
Рассмотрим простейшую схему.
Рисунок 6 Простейшая разветвлённая электрическая схема
Уравнение для узла А: 
.
Уравнение для узла В: 
.
Несложно увидеть, что второе уравнение это первое уравнение, умноженное на (-1), то есть оно линейно зависимо от первого. Таким образом, число независимых уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа, будет на единицу меньше, чем число узлов.
Далее составим уравнения, выражающие второе правило Кирхгофа. Для этого выделяем всевозможные контуры и составляем уравнения, как в рассмотренном выше примере и в этом случае не все уравнения будут независимыми. Критерием независимости каждого из получаемых уравнений будет следующее: в уравнение должно входить хотя бы одно неизвестное (ток), которое не фигурировало ни в одном из ранее записанных уравнений. В противном случае полученное уравнение будет зависимым, и включать его в систему бесполезно. В итоге мы получим систему с количеством независимых уравнений равным числу неизвестных. Такая система имеет единственное решение.