Принцип суперпозиции. Расчет электрических полей из принципа суперпозиции

Электростатическое поле создается неподвижными электрическими зарядами и неразрывно с ними связано. Тела, обладающие зарядом, могут быть точечными или протяженными любой формы.

Пусть поле создается в вакууме системой точечных зарядов q₁, q_2, q_{3, …} q_n. По принципу независимости действия сил каждый заряд в отдельности действует на пробный заряд , помещенный в данную точку поля, с отдельной силой: заряд q₁ действует с силой , заряд с силой и т.д. Результирующая сила, действующая на пробный заряд, равна векторной сумме сил …. :

.

Если это уравнение разделить на величину пробного заряда, то получим выражение для результирующей напряженности электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов.

или

Это равенство выражает принцип суперпозиции( наложения) полей: напряженность электростатического поля в какой-либо точке пространства, создаваемая системой зарядов, равна геометрической сумме векторов напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности в этой же точке.

В случае непрерывного распределения зарядов суммирование заменяется интегрированием, поскольку даже если заряды не точечные их можно свести к сумме точечных зарядов, и принцип суперпозиции полей надо будет записать в интегральной форме:

Основной задачей электростатики является расчет характеристик электростатических полей, имеющихся в различных реальных случаях, т.е. определение величины и направления вектора напряженности .
В общем случае эта задача решается на основе закона Кулона и принципа суперпозиции полей.

В случае системы точечных зарядов расчет поля сводится к определению напряженностей, полей, создаваемых отдельными точечными зарядами, и к последующему их суммированию.

В случае непрерывного распределения заряда в пространстве его разбивают на бесконечно малые порции , которые можно считать точечными зарядами; вычисляют напряженность поля, создаваемого этим точечным зарядом , а затем, используя принцип суперпозиции находят напряженность поля, создаваемого непрерывно распределенным зарядом. При решении такого типа задач для того. чтобы выразить , надо знать как распределен заряд в пространстве.

В том случае, когда заряд распределен по объему, вводится характеристика: объемная плотность заряда ρ – заряд, приходящийся на единицу объема:

В том случае, когда заряд распределен по поверхности, вводится характеристика: поверхностная плотность заряда σ – заряд, приходящийся на единицу поверхности:

В том случае, когда заряд распределен по линии, вводится характеристика: линейная плотность заряда τ – заряд, приходящийся на единицу длины:

Напряженности полей простейших распределений зарядов нам известны. Используя формулы для вычисления напряжённостей полей некоторых простейших распределений зарядов, методом суперпозиции можно рассчитать напряженность поля, созданного сложным распределением зарядов.

Приведем формулы для вычисления модуля напряженности поля и картину силовых линий для некоторых распределений зарядов.

1. Поле точечного заряда

,

где r – кратчайшее расстояние от заряда q до той точки, в которой вычисляем поле, , ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды. Силовые линии поля точечного заряда представляют собой радиальные линии, идущие во всех направлениях от заряда.

2. Поле бесконечной заряженной нити с линейной плотностью заряда τ.

,

где - линейная плотность зарядов,

r - кратчайшее расстояние от нити до точки, в которой считаем поле.

Силовые линии представляют собой радиальные линии, расположенные в плоскости, перпендикулярной к нити и при её положительном заряде они начинаются на нити и уходят в бесконечность. На рисунке показан ход силовых линий в плоскости, в которой расположена нить( рис.а) и в плоскости перпендикулярной нити ( рис.б)

3. Поле бесконечно протяженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ

,

где e - относительная диэлектрическая проницаемость среды вокруг плоскости,

e₀ - 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная. Силовые линии поля плоскости расположены перпендикулярно плоскости в каждой точке, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором напряженности . Поле бесконечной заряженной плоскости является однородным, т.е. не зависит от расстояния до плоскости.

Если вспомнить, что по определению напряженность электростатического поля - это сила, с которой поле действует на пробный заряд (единичный, положительный, точечный), то можно представить себе, как идут силовые линии в простейших случаях, что и приведено на рисунках.