Воздействие гармонического колебания на цепь с нелинейным элементом

Пусть на нелинейный элемент с вольт-амперной характеристикой i = F(u)подаются гармоническое напряжение сигнала u(t) = U_mcoswt и постоянное напряжение смещенияU₀, которое определяет положение рабочей точки на характеристике, рисунок 2.4.На этом же рисунке показана форма тока в цепи с нелинейным элементом i(t). Из-за нелинейности вольт-амперной характеристи­ки формы напряжения и тока оказываются различными.

Рисунок 2.4 – Воздействие гармонического сигнала на нелинейный элемент

Ток i(t) имеет несинусоидальную форму, т. е. не является гармоническим колебанием. В нелинейном элементе возникают новые частоты колебаний и поэтому состав спектра токаi(t) = F(U₀ + U_mcoswt) отличается от состава спектра напряженияu(t). Так как функция i(t) является периодической с периодом T = 2p¤w, она может быть представлена рядом Фурье:

. (2.11)

Это значит, что ток в нелинейном элементе складывается из постоянной составляющей и бесконечного числа гармоник с частотамиw, 2w, 3w, …

Спектральный состав тока при степенной аппроксимации. Для определения амплитуд гармоник тока подставим выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу u(t) = U₀ + U_mcoswt, в формулу полинома, используемого для степенной аппроксимации в окрестности рабочей точки U₀:

(2.12)

В результате получим:

(2.13)

Воспользовавшись известными тригонометрическими форму­лами, запишем выражение для тока, сгруппировав отдельно все постоян­ные составляющие, все члены с косинусами, все члены с косинусами удвоенного аргумента и т. п. в следующей форме:

(2.14)

где значения амплитуд спектральных составляющихI₀, I_m1, I_m2, ...определяются выражениями, заключенными в формуле (2.4) в скобки.

Спектральный состав тока при кусочно-линейной аппроксимации имеет особенности.На рисунке 2.5показана форма тока в цепи с нелинейным элементом при кусочно-линейной аппроксимации его характеристики функ­цией

(2.15)

когда на вход подается напряжение u = U₀ + U_mcoswt.

Рисунок 2.5 – Воздействие гармонического сигнала большой амплитуды на нелинейный элемент

График тока имеет характерныйвид косинусоидальных им­пульсов с отсечкой. Половина той части периода, в течение которой протекает ток, называется углом отсечки и обозначается J. Измеряется угол отсечки в радианах или градусах.

При . (2.16)

Последнее равенство позволяет определить угол отсечки:

, откуда . (2.17)

Ток на интервале –J £ wt £ J отличен от нуля и определяется из формулы (2.15) подстановкой напряжения u(t) = U₀ + U_mcoswt и напряжения U_отс = U₀ + U_mcosJ. В результате получаем:

(2.18)

Периодическую последовательность импульсов тока можно разложить в ряд Фурье. Поскольку эта последовательность является четной функцией переменной wt, ряд Фурье будет содержать помимо постоянной составляющей только косинусоидальные гармонические составляющие:

(2.19)

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник ряда находятся как коэффициенты ряда Фурье. В общем, амплитуды спектральных составляющих тока рассчитывают:

(2.20)

где g_k(J) – функция Берга – справочные данные для расчёта I_mk.

Чтобы получить максимальные амплитуды гармоник, выбирают J = 180/k, так как при таких углах отсечки интегральные выражения принимают максимальные значения.