Примеры расчета электрических полей в диэлектриках

1. Поле внутри плоской пластины. Пусть поле создано в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Напряженность этого поля ; электрическое смещение . Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 1.2.9. Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности . Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого . Вне диэлектрика . Напряженность поля . Оба поля направлены навстречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика напряженность результирующего поля равна: , вне диэлектрика .

Поляризация диэлектрика обусловлена полем . Оно перпендикулярно к поверхности пластины и , тогда , и , или - то есть диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Умножив на , имеем - внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на , то есть совпадает с электрическим смещением внешнего поля . Вне пластины и .

Найдем поверхностную плотность связанных зарядов : , , тогда , и .

2.Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с поверхностными плотностями зарядов и . Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков, относительные диэлектрические проницаемости которых и , а толщины и соответственно (рис.1.2.10). Расстояние между пластинами равно , поэтому . Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев диэлектрических сред ясно, что всюду векторы и должны быть параллельны оси , то есть , . В каждом из слоев диэлектрика поле однородно. Поляризованы эти слои тоже однородно. Поэтому в них имеются только поверхностные поляризованные заряды. Плотности этих зарядов на плоских поверхностях каждого диэлектрика отличаются только знаком.

Напряженность поля связанных зарядов отлична от нуля только внутри самого слоя диэлектрика. Вне конденсатора (при и ) поля нет, , .

Найдем напряженность поля в пространстве между пластинами . Выберем цилиндрическую гауссову поверхность, показанную на рис.1.2.10 штриховой линией. Образующие цилиндра параллельны оси , а основания параллельны заряженным плоскостям. Площадь каждого основания .

Левое основание находится в области , где , а правое проходит через точку поля с координатой , в которой вычисляется поле. Поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку только через правое основание: . Внутри гауссовой поверхности находится свободный заряд, размещенный на площадке левой плоскости и равный . Тогда по теореме Гаусса , отсюда .

В первом слое напряженность поля равна при .

Во втором слое при . График зависимости при представлен на рис. 1.2.11.

3. Поле равномерно заряженной сферы радиуса , окруженной концентрическими слоями двух разных диэлектрических сред. Наружный радиус первой среды с относительной диэлектрической проницаемостью равен , а второй среды равен (рис. 1.2.12).

За пределами второй среды - вакуум. Поверхностная плотность свободных зарядов на сфере радиуса равна .

Центр заряженной сферы и концентрических слоев диэлектриков является центром симметрии поля. Поэтому в любой точке поля векторы и направлены радиально от центра , если , или к центру , если , то есть ; . Выберем в качестве гауссовой поверхности сферу радиуса с центром в точке О. Во всех точках этой поверхности , где - проекция вектора на радиус-вектор , проведенный из центра в рассматриваемую точку поля на поверхности . Из симметрии поля следует, что во всех точках поверхности значения одинаковы. Поэтому поток смещения через поверхность равен:

.

С другой стороны, согласно теореме Гаусса, этот поток равен , причем , если . Таким образом, при и , то есть при .

Для проекции вектора на направление радиуса имеем: . Внутри сферы при ; в первой среде при , во второй среде при ; за пределами второй среды при . Таким образом, терпит разрыв дважды: на границе «первая и вторая среда» и «вторая среда - вакуум». Зависимость представлена на рис. 1.2.13.

4.Поле внутри шарового слоя. Окружим заряженную сферу концентрическим шаровым слоем из однородного диэлектрика (рис.1.2.14). На внутренней поверхности слоя появится связанный заряд , распределенный с плотностью , на наружной поверхности заряд , распределенный с плотностью . Знак заряда совпадает со знаком заряда сферы, знак ему противоположен. Внутри сферы при ; в первой среде при , во второй среде при ; за пределами второй среды при .

Напряженность поля внутри диэлектрика равна

и противоположна по направлению напряженности . Напряженность результирующего поля убывает по закону . Поэтому , где - напряженность поля в диэлектрике в непосредственной близости к внутренней поверхности слоя, именно эта напряженность определяет величину (в каждой точке поверхности ). Тогда

,

и , тогда . Так как поле внутри диэлектрика изменяется по закону , то , тогда , или . Следовательно, поля, создаваемые этими зарядами на расстояниях , взаимно уничтожают друг друга, так что вне шарового слоя , .

Таким образом, однородный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями, то вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности поля свободных зарядов, умноженным на , и напряженность поля внутри диэлектрика в раз меньше, чем напряженность поля свободных зарядов.