Вектор электрической индукции

2.3.1. Вектор электрической индукции.

По своей физической природе поляризационные заряды – это обычные заряды, создающие в окружающем пространстве электрическое поле. Поэтому теорема Гаусса для вектора в веществе приобретает вид:

(3.1)

или

, (3.2)

где сторонний заряд и плотность сторонних зарядов, и связанный заряд и плотность связанных зарядов, соответственно. Используя формулу (2.10), выражение (3.2) можно переписать в виде:

, (3.3)

. (3.4)

Аналогично выражение (3.1) может быть представлено в виде:

. (3.5)

Введем новый вектор - вектор электрической индукции (иначе, вектор электрического смещения):

. (3.6)

Тогда сразу получаем

, (3.7)

. (3.7а)

(3.7) и (3.7а) - уравнение системы уравнений Максвелла, записанное в интегральной и дифференциальной формах:

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами, охватываемыми этой поверхностью.

Полученные уравнения являются обобщением теоремы Гаусса для электрического поля в веществе.

В вакууме вектор поляризации равен нулю и .

Примечание: в СИ имеем

.

2.3.2. Диэлектрическая проницаемость.

Электрическое поле в вакууме полностью характеризуется вектором . В тоже время для описания поля в веществе нужно еще знать либо вектор , либо вектор . Поэтому нам понадобится уравнение, определяющее зависимость поляризованности вещества от напряженности электрического поля.

Принципиально возможно, зная атомную структуру вещества, рассчитать смещение электронов и ядер при включении внешнего электрического поля, т.е. вычислить и получить требуемое уравнение. Действительно, в последние годы благодаря развитию методов современной вычислительной физики делаются попытки теоретического расчета. Эти расчеты очень трудоемки, но основная проблема, стоящая на этом пути, заключается в том, что для различных типов веществ не существует универсальной зависимости вектора от напряженности электрического поля .

Однако еще до создания квантовой механики был разработан подход, основанный на нахождении связи между вектором поляризации и напряженностью электрического поля для различных классов диэлектриков эмпирическим путем.

Опыт показывает, что связь между и для обширного класса диэлектриков линейна и однородна.

1) Для изотропных диэлектриков и не слишком больших значений напряженности электрического поля вектор пропорционален и коллинеарен вектору :

(3.8)

Введенный здесь коэффициент называется поляризуемостью диэлектрика (или диэлектрической восприимчивостью), которая зависит от плотности и температуры диэлектрика.

Подставляя в (3.6) выражение (3.8), получаем

. (3.9)

Коэффициент , связывающий вектор электрической индукции с напряженностью электрического поля и равный , называется диэлектрической проницаемостью среды и характеризует индивидуальные свойства диэлектриков.

В вакууме: и .

Примечание: в системе СИ имеем .

2) Анизотропные среды. К таким средам относятся прежде всего кристаллические диэлектрики. Для них, вообще говоря, направления векторов и не совпадают. Поэтому связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электрического поля выражается более общей линейной однородной зависимостью записывается в более общем виде:

. (3.10)

Здесь - безразмерные коэффициенты, зависящие от выбора координатных осей.

В декартовой системе координат можно записать

. (3.11)

Совокупность этих 9 коэффициентов образует тензор поляризуемости диэлектрика.

Аналогично записывается выражение, связывающее векторы электрической индукции электрической напряженности поля :

, (3.12)

где тензор диэлектрической проницаемости вещества:

(3.13)

где единичный тензор, определяемый условиями:

при и при .

Пользуясь законом сохранения энергии можно показать, что тензоры и симметричны, т.е.

. (3.14)

Т.о., рассматриваемые девятикомпонентные тензоры содержат по 6 независимых величин.

3) Существуют диэлектрики, для которых нет линейной связи между векторами и . К ним относятся некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между векторами поляризованности и напряженности электрического поля нелинейная и зависит от предыстории образца, т.е. от предшествующих значений напряженности электрического поля, в котором он находился. Неоднозначная зависимость поляризованности от напряженности приложенного электрического поля называется гистерезисом.

Поведение электретов и аналогичных им видов диэлектриков в электрическом поле можно приближенно описать соотношением вида:

,

где величины и от напряженности электрического поля не зависят.

2.4. Граничные условия для векторов и .

Мы нашли способ описания электрического поля в однородном диэлектрике. Очевидно, что задачи электростатики не исчерпываются рассмотрением однородных бесконечно протяженных сред. Поэтому большой интерес представляет поведение векторов электрического поля на границе раздела диэлектриков.

2.4.1. Граничные условия для нормальных составляющих.

Рассмотрим границу раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями и (см. рисунок). Возьмем цилиндр очень малой высоты ( ), расположив его на границе раздела диэлектриков, как показано на рисунке, и воспользуемся теоремой Гаусса для вычисления потока вектора напряженности электрического поля через границу, разделяющую диэлектрики:

(4.1)

Сечение цилиндра должно быть выбрано таким, чтобы в пределах его торцов вектор всюду был одинаков. Тогда

, (4.2)

где и – поверхностные плотности свободных и связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Разные знаки составляющих потока вектора в выражении (4.2) обусловлены тем, что мы используем одну общую нормаль , направленную из первой среды 1 во вторую 2. Теперь устремим , при этом поток вектора , выходящий через боковую поверхность также устремится к нулю: . Тогда в пределе ( ) получаем

. (4.3)

Итак:

Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля терпит разрыв на границе раздела двух диэлектриков.

Аналогично можно сосчитать поток векторов и через такую же цилиндрическую поверхность и получить граничные условия для них:

(4.4)

(4.5)

Однако, если на границе раздела диэлектриков нет сторонних зарядов ( ), то нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна

(4.6)

2.4.2. Граничные условия для тангенциальных составляющих.

Поместим небольшой прямоугольный контур вдоль границы раздела двух диэлектриков, ориентировав его так, как показано на рисунке. Стороны контура, ориентированные вдоль границы раздела должны иметь такую длину , чтобы на её протяжении поле в каждом из диэлектриков не менялось, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой ( ). Воспользуемся теоремой о циркуляции для вектора :

. (4.7)

В нашем случае:

.

Отсюда получаем

(4.8)

Вывод: Тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля непрерывны (не меняются, не претерпевают скачка) при переходе через границу раздела диэлектриков.

Для изотропных диэлектриков имеем:

и , (4.9)

тогда из равенства тангенциальных составляющих вектора следует

, или . (4.10)

Т.е. тангенциальные составляющие вектора электрической индукции терпят разрыв на границе 2-х диэлектриков.

Для тангенциальных составляющих вектора поляризации имеем:

, или . (4.11)

2.4.3. Закон преломления линий векторов и .

Пусть на границе раздела 2-х изотропных диэлектриков нет сторонних зарядов , причем . Тогда, пользуясь формулами (4.6), (4.8) – (4.10), получаем следующие условия для компонент векторов электрической индукции и напряженности электрического поля на границе раздела диэлектриков:

, , ,

(4.12а) (4.12б)

. .

Наличие на границе раздела диэлектриков связанных зарядов, характеризуемых поверхностной плотностью , приведет к уменьшению нормальной составляющей вектора при переходе в среду с бо^/льшим значением диэлектрической проницаемости , т.е. . Это обусловлено тем, что поле связанных зарядов больше в диэлектрике с большим значением диэлектрической проницаемости и направлено противоположно проникающему в диэлектрик внешнему полю.

Теперь можно написать законы преломления линий индукции электрического поля (см. рисунки):

(4.13а)

и линий напряженности электрического поля

. (4.13б)

Из соотношений (4.13), выражающих законы преломления линий векторов и , следует, что в диэлектрике с бо^/льшим значением диэлектрической проницаемости линии этих векторов будут составлять бо^/льший угол с нормалью к границе раздела.

Из уравнений (4.12а), т.е. равенства нормальных составляющих вектора электрической индукции на границе раздела ( ) и соотношения между его тангенциальными компонентами легко заключить, что по модулю , и, следовательно, линии вектора должны быть гуще в диэлектрике с большим значением диэлектрической проницаемости.

Равенство тангенциальных составляющих вектора на границе раздела и соотношение между его нормальными компонентами (4.12б) приводит к уменьшению модуля вектора напряженности электрического поля в среде с бо^/льшим значением диэлектрической проницаемости ( ).

Мы видим, что при отсутствии сторонних зарядов линии вектора испытывают только преломление на границе раздела диэлектриков, в то время как линии вектора , испытывая преломление, терпят также разрыв из-за наличия связанных зарядов.

2.4.4. Примеры вычисления полей в диэлектриках.

1) Точечный заряд в однородном и изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью .

При внесении стороннего электрического заряда диэлектрик поляризуется, т.е. поле и поток вектора определяются как сторонним, так и связанными зарядами. Поэтому вычисления удобнее проводить, используя теорему Гаусса для вектора , поток которого определяется только сторонними зарядами.

Окружим заряд сферой радиуса и запишем теорему Гаусса для вектора электрической индукции:

. (4.14)

Выражения для электрической индукции и напряженности поля точечного заряда в веществе с известным значением диэлектрической проницаемости, с учетом соотношения , принимают вид:

(4.15)

Также легко получить, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом в диэлектрике:

, (4.16)

и найти выражение для вектора поляризации среды:

; . (4.17)

Найдем объемную плотность связанных зарядов в диэлектрике, воспользовавшись теоремой Гаусса для вектора поляризации в дифференциальной форме .

Вычислим дивергенцию вектора , определяемого выражением (4.17)

.

Действительно,

.

Т.о., объемная плотность связанных зарядов в рассматриваемом случае равна нулю ( ).

2) Диэлектрическая пластинка в однородном электрическом поле напряженностью .

Возьмем незаряженную пластинку из диэлектрического материала и поместим её в электрическое поле напряженностью . Пусть диэлектрическая проницаемость окружающей среды (воздух или вакуум).

Для простоты положим, что силовые линии поля перпендикулярны поверхности пластинки. На поверхности пластинки появляются связанные заряды, которые создают внутри пластины поле, направленное противоположно внешнему. Поскольку сторонние заряды на пластинке отсутствуют ( ) и вектор перпендикулярен поверхности пластинки (т.е. существует только его нормальная составляющая) и, то из граничных условий получаем

.

Поле вне пластинки, например в области 1, совпадает с полем вектора электрической индукции:

. (4.18)

Такое же поле в области 3.

Поле внутри пластинки меньше поля снаружи (в вакууме) в раз:

. (4.19)

Вектор поляризации также перпендикулярен пластинам и, учитывая, что , получаем из (4.5) и (4.9):

. (4.20)

Дополнение.

Если диэлектрическая пластинка находится между обкладками плоского конденсатора, заряженного с поверхностной плотностью , то внешнее по отношению к пластинке поле, создаваемое зарядом на обкладках, равно

, (4.21)

тогда связь между плотностью сторонних зарядов и наведенных связанных зарядов определяется выражением:

. (4.22)

Заметим, что соотношение (4.22) справедливо для любого вида поверхности, разделяющей сторонние (в металле) и связанные (в диэлектрике) заряды.

3) Диэлектрический шар в однородном электрическом поле.

Несколько иначе решается задача нахождения электрического поля в диэлектриках, имеющих более сложную геометрию (например, в цилиндре, шаре). Полученный же результат должен удовлетворять как граничным условиям, так и условиям на бесконечности.

Рассмотрим шар из диэлектрика проницаемостью , помещенный в однородное электрическое поле .

До включения поля шар, с точки зрения его электрических свойств, представлял собой однородную смесь положительного и отрицательного электричества с равными по модулю объемными плотностями и зарядов. Поляризацию шара можно представить как результат смещения, характеризуемого вектором , однородно положительно заряженного шара относительно такого же, но отрицательно заряженного (в практически важных случаях мало даже по сравнению с атомными размерами).

Полное поле как внутри, так и вне шара равно сумме внешнего и поля, создаваемого самим поляризованным шаром.

Найдем сначала поле в объеме шара, создаваемое наведенными связанными зарядами.

Представим поле внутри шара как сумму полей отрицательно и положительно равномерно заряженных по объему шаров, центры которых смещены друг относительно друга на .

Воспользовавшись теоремой Гаусса (см. гл.I,(3.14)), получаем

(4.23)

и учитывая, что

, (4.24)

находим

. (4.25)

Из (4.25) следует, что вектор поляризации постоянен во всем объеме шара, т.е. поле поляризации однородно.

Теперь, учитывая, что и , находим полное электрическое поле внутри шара:

, или ,

откуда

. (4.26)

Т.о., поле внутри диэлектрического шара меньше внешнего поля , поскольку .

Вектор поляризации, соответственно, равен

. (4.27)

Каждый из введенных нами в рассмотрение двух заряженных шаров возбуждает во внешнем пространстве такое же поле, какое создадут той же величины точечные заряды, помещенные в центрах этих шаров. Поэтому поле вне поляризованного шара – это поле точечного диполя с дипольным моментом

,

помещенного в центре диэлектрического шара, т.е. с учетом (7.8) имеем

, (4.28)

где – объем шара.

Полное электрическое поле, создаваемое поляризованным шаром во внешнем пространстве, определяется векторной суммой поля и поля, определяемого выражением (4.28):

. (4.29)

Именно определяемое выражениями (4.29) и (4.26) поле диэлектрического шара снаружи и внутри диэлектрика удовлетворяет граничным условиям: (т.е. по разные стороны поверхности шара должны быть одинаковы касательные составляющие векторов и нормальные составляющие векторов ).

Кроме того, на бесконечности полное поле должно переходить в , что, очевидно, удовлетворяется, т.к. на бесконечности поле поляризованного шара, убывающее пропорционально кубу расстояния, исчезает.