Расширение пределов измерения амперметра и вольтметра

Задача. Предел измерения амперметра Iа = 2А. Каким образом можно измерить силу тока I = 10 А, если внутреннее сопротивление амперметра равен Rа = 0,4 А?

Решение. А) Для расширения предела измерения параллельно к амперметру присоединяют шунт сопротивлением Rш, через который будет проходить ток, равный Iш= I – Iа. Напряжение на шунте и амперметре будут одинаковы и равны U = Iа _·Rа = Iш·Rш

Отсюда получаем: Rш= ; Rш =

Разделим числитель и знаменатель на Iа, обозначим n = , тогда получим:Rш =

Подставив числовые значения,получаем Rш = = 0,1 Ом

В) Или решаем по готовой формулеRш = , гдеn =

Вычислим:n = = 5; Rш = = = 0,1 Ом

Ответ. Параллельно к амперметру присоединить шунт сопротивлением R_Ш =0,1Ом

Задача. А)Сопротивление вольтметра Rв=400 Ом, предел измерения Uв= 6В. Что необходимо сделать, чтобы данным вольтметром можно было измерить напряжение до U = 42 В?

Решение. А) Для расширения предела измерений к вольтметру присоединяют дополнительное сопротивление Uд= U – Uв

Сила тока, проходящего через вольтметр и дополнительное сопротивление, одинакова. Из закона Ома для участка цепи имеем:

I= _; I= = I= Отсюда: = и Rд=

Разделим на Uв числитель и знаменатель. Обозначим n = . Тогда получим: Rд =Rв· (n – 1)

Rд = = 2400 Ом

В) Или по формуле: Rд = Rв · (n – 1), где n = . Вычислим: n = = 7;

Rд = 400 В ·(7– 1) = 2400 Ом; Rд= 2400 Ом

Ответ. Последовательно с вольтметром надо присоединить (добавку) резистор с R_Д= 2400 Ом

Примеры решения задач

Алгоритм решения задач на расчет сложных электрических цепей.

1. Поэтапно рассчитать сопротивления резисторов на параллельных и последовательных участках, нарисовать согласно последовательности решения эквивалентные схемы цепи. Найти эквивалентное (полное) сопротивление цепи.

2. Найти силу тока в цепи (т. е. полный ток во всей цепи).

3. Поэтапно, согласно эквивалентным вашим схемам находить токи и напряжения на участках цепи, на всех резисторах.

4. Проверить правильность решения, применяя законы последовательного и параллельного соединений.

5. Записать столбиком ответ

Пример 1

Дана электрическая цепь постоянного тока.

1. Необходимо найти эквивалентное сопротивление R_ЭКВИВ.

Для этого на параллельно соединенных резисторах R₃ и R₄ найдем их общее сопротивление: их произведение разделим на их сумму:

R₃₄ = (R₃ ∙ R₄) / (R₃ + R₄)

Затем точно также на параллельных участках R₆ и R₇ найдем их общее сопротивление

R₆₇ = (R₆ ∙ R₇) / (R₆ + R₇)

Резисторы R₂ и R₃₄ соединены последовательно, значит, их надо сложить:

R₂+ R₃₄ = R₂₃₄

Резисторы R₂₃₄ и R₅ соединены параллельно. Поэтому (как для двух параллельных) их произведение разделим на их сумму:

R₂₃₄₅ = (R₂₃₄ ∙ R₅) / (R₂₃₄ + R₅)

Получаем, что резистор R₁ и эквивалентно рассчитанные участки сопротивлениями R₂₃₄₅ и R₆₇ соединены последовательно, их сложим и найдем полное сопротивление, т. е. эквивалентное сопротивление всей цепи:

R_ЭКВИВ = R₁ + R₂₃₄₅ + R₆₇

2. Зная напряжение (или ток), подведенное к цепи, найдем ток (или напряжение) цепи из закона Ома для участка цепи. U = I∙ R или I = U / R

3. Т. к. участки с сопротивлениями R₁, R₂₃₄₅ и R₆₇ соединены последовательно, то ток на этих участках одинаков:

I₁ = I₂₃₄₅ = I₆₇ = I

4. Значит, можем найти напряжение на этих же участках, умножив ток (ток одинаков на последовательных участках цепи!) на сопротивления участков.

U₁ = I₁∙ R₁

U₂₃₄₅ = I₁∙ R₂₃₄₅ = U₂₃₄ = U₅ , т. к. на параллельных участках цепи напряжение одинаково.

U₆₇ = I₁∙ R₆₇ = U₆ = U₇ , т. к. на параллельных участках цепи напряжение одинаково.

Зная напряжения на резисторе R₅ и участке R₂₃₄, найдем токи на них: I₅ = U₅ / R₅ ; I₂₃₄ = U₂₃₄ / R₂₃₄

Аналогично (заметьте, напряжение на них одинаково, но сопротивление разное, поэтому и токи разные!):

I₆ = U₆ / R₆ I₇ = U₇ / R₇

Проверка: А) должно быть, чтобы сумма токов I₆ и I₇ равно току I₆₇ на этом участке с сопротивлением R₆₇, согласно первому закону Кирхгофа. I₆₇ = I₆ + I₇

Б) должно быть, чтобы сумма токов I₂₃₄ и I₅ равно току I₂₃₄₅ на этом участке с сопротивлением R₂₃₄₅,

т. е. I₂₃₄₅ = I₂₃₄ + I₅

Но токи на последовательно соединенных участках R₂ и R₃₄ цепи одинаковы,

т. е. ток I₂ равен току на I₃₄, но I₃₄ = I₃ + I₄ . Запишем это: I₂ = I₃₄ = I₃ + I₄

5. Напряжения на последовательно соединенных участках R₂ и R₃₄ цепи равно сумме напряжений

U₂₃₄ = U₂ + U₃₄ . Но U₃₄ = U₃ = U₄

Зная ток I₂ на R₂, найдем напряжение U₂ на нем U₂ = I₂∙ R₂

Также, зная ток I₃₄, найдем напряжение U₃₄ на участке U₃₄ = I₃₄∙ R₃₄

Проверка. Должно быть, что напряжения U₃₄ = U₃ = U₄ , т. к. напряжение на параллельных участках одинаково. Отсюда найдем из закона Ома токи на резисторах R₃ и R₄.

6. Остается найти мощности на всей цепи и на отдельных участках по любой из известных формул мощности:Р_i = I_{i ∙} U_iилиР_i = I_i² _∙ R_i

Задача решена в общем виде.

Пример 2

Определить эквивалентное сопротивление, напряжение, силу тока на каждом участке электрической цепи напряжением 100В. Сопротивления проводников равны: R₁=5,2 Ом, R₂=5 Ом, R₃=4 Ом, R₄=12 Ом, R₅=12 Ом.

Рис. 1 Решение.

Первая часть.Резисторы с сопротивлениями R₃ и R₄ соединены параллельно. Заменим их эквивалентным сопротивлением R₃₄.

Тогда получаем:

Вычислим: R₃₄ = 3 Ом. Получим эквивалентную схему цепи:

Рис.2

Сопротивление последовательносоединенных резисторов R₂ и R₃₄равно их сумме:

R₂₃₄ = R₂ + R₃₄.Вычислим:R₂₃₄ = 5 Ом + 3 Ом = 8 Ом.

Эквивалентная схемабудет такой:

Рис.3

Заменим параллельныеучасткиR₂₃₄ и R₅ эквивалентным сопротивлением R_{234 5}

Вычислим: R_{2 34 5} = 4,8 Ом.

Получим эквивалентную схему:

Сопротивлениепоследовательно соединенныхрезисторов R₁ и R_{234 5} равно их сумме: R_{1234 5} = R₁ + R_{234 5}. Вычислим: R₁₂₃₄₅ = 5,2 Ом + 4,8 Ом = 10 Ом.

Эквивалентная схема будет такой:

Получаем эквивалентное (или полное) сопротивление цепи:

R_ЭКВИВ. = R_{1234 5}.= 10 Ом.

Вторая часть.Перейдем к расчету токов и напряжений.

А)Зная полное сопротивление, напряжение цепи можно по закону Ома для участка электрической цепи найдем ток в цепи

Вычислим: I = 100 В / 10 Ом = 10 А = I₁ = I₂₃₄₅

Т. к. резистор R₁ и участок сопротивлением R_{234 5} соединены последовательно, то токи в них одинаковы, и, значит, равны I = I₁ = I₂₃₄₅ =10 А.

Б) Зная сопротивления на R₁и R₂₃₄₅и токи, можем найти напряжения исходя из закона ОмаU = I •R,т. е.U₁ =I ∙R₁ иU₂₃₄₅ = I₂₃₄₅ • R₂₃₄₅

Вычислим:U₁ = 10 А • 5,2 Ом = 52 В и U_{234 5} = 10 А • 4,8 Ом = 48 В

В) На параллельных участках R₂₃₄ и R₅напряжения будут одинаковы и равны напряжению

U₂₃₄₅ = U₅ = U₂₃₄ = U₅ = 48 В.

Тогда можем найти ток на последовательно соединенных участках сопротивлениями R₂и R₃₄, где токи одинаковы и равны:I₂ = I₃₄ = U₂₃₄/ R₂₃₄Вычислим: I₂ = I₃₄ = 48 В / 8 Ом = 6 А.

Г)Найдем напряжения на .R₂и R₃₄, исходя из закона Ома.

U₂ =I₂ ∙R₂ и U₃₄ =I₃₄ ∙R₃₄ Вычислим: U₂ =6 А ∙ 5 Ом = 30 В и U₃₄ = 6 А ∙ 3 Ом = 18 В.

Сумма напряжений U₂ и U₃₄должна быть равна напряжению на участкеU₂₃₄,

т. е. U₂ + U₃₄ = U ₂₃₄, так оно и есть: .U₂₃₄ = 48 В = 30 В + 18 В.

Д)Напряженияна параллельных резисторахR₃ и R_4, должны быть равны: U₃=U₄ = U₃₄ =18 В

Токи:: I₄ = U₄/ R₄и I₃=U₃ /R₃ Вычислим:I₄ = 18 В / 12 Ом = 1,5 А. I₃ = 18 В / 4 Ом = 4,5 А.

Проверим:т. к. R₃ и R₄ параллельны, то сумма токов I₃ + I₄на этом участке должна быть равна токуI₂ илиI₃₄, т. е. I₂ = I₃₄ = I₃ + I₄ =1,5 А + 4,5 А = 6 А.

Е)Зная напряжение U₅ и сопротивление R₅,найдем ток на этом параллельном участке. I₅ = U₅ / R₅ = 48 В / 12 А = 4 А.

Сумма токов (I₂₃₄ +I₅) = I_{234 5} на параллельных участках сопротивлениями R₂₃₄ и R₅ должна быть равна току на участке R_{234 5} или I₁, т. е. всего участка цепи.I. I = I₁ = I_{234 5} = I₅ +I₂₃₄= 4 А + 6 А = 10 А.

Ответ. Нашли значения эквивалентного (полного) сопротивления, напряжения и токи на всех участках цепи. Записать ответы по порядку.

Пример 3

Дано:R₁ = 30 Ом, R₂ = 70 Ом, R₃ = 19 Ом, R₄ = 40 Ом, U = 40 В

Найти: эквивалентное сопротивление цепи; все токи напряжения на резисторах, если первые два соединены параллельно, третье и четвертое к ним последовательно

Решение.

1. R₁ и R₂ соединены параллельно. Найдем сопротивление R₁₂ для этих двух ветвей на этом участке цепи. Оно равно или полученной преобразованием этой формулы: . Вычислим: R₁₂= (30 Ом ∙ 70 ом) / (30 Ом + 70 ом) = 21 Ом.

2. Получим эквивалентную схему цепи из проводников R₁₂, R₃ и R₄ , присоединенных последовательно.

Чтобы найти полное эквивалентное сопротивление всей цепи надо сложить сопротивленияR₁₂, R ₃ и R ₄: R _эквив. = R _АВ =R₁₂₃₄ = R₁₂ +R ₃ + R ₄ = 21 Ом + 19 Ом + 40 Ом = 80 Ом.

Получим эквивалентную схему цепи:

3. Теперь используя закон Ома для участка цепи (сила тока на участке электрической цепи прямо пропорциональна напряжению на концах участка и обратно пропорциональна его сопротивлению) I= . Найдем токи на последовательных участках. Сила тока на последовательных участках цепи одинакова, поэтому:

I_AB =I₁₂= I₃ = I₄ = U_AB / R_AB = 40 B / 80 Ом = 0,5 A

1.Найдем напряжения на участках R₁₂, R₃ и R₄.

Т. к. напряжения на параллельных участках цепи одинаковы, то

U₁₂ = R₁₂ ∙ I₁₂ = U₁ = U₂ = 0,5А ∙ 21 Ом = 10,5 В.

U₃ = R₃ ∙ I₃= 19 Ом ∙ 0,5А = 9,5 В.

U₄ = R₄ ∙ I₄ = 40 Ом ∙ 0,5А = 20 В.

Сумма напряжений на последовательных участках равна напряжению на участке АВ.

Проверим: U_АВ = 10,5 В + 9,5 В + 20 В = 40 В.

2.Найдем силу тока на параллельных ветвях с проводниками R₁ и R₂.

I₁ = U₁ / R₁ = 10,5B / 30 Oм = 0,35A.

I₂ = U₂ / R₂ = 10,5 B / 70 Oм = 0,15 А

Проверим правильность того, что сумма токов I₁ + I₂, протекающих по ветвям, равна силе тока в неразветвленной части цепи: I₁₂ = I₁ + I₂ = 0,35A +0,15 А = 0, 5 А.

3.Запишем полученные ответы.

R _эквив. = R _АВ =R₁₂₃₄ = 80 Ом;

I_AB =I₁₂= I₃ = I₄ = 0, 5 А

I₁ = 0,35A

I₂ = 0,15 А

I₁₂ = I₁ + I₂ = 0,35A +0,15 А =0,5 А.

U₃ = 9,5 В

U₄ = 20 В

U₁₂ = U₁ = U₂ = 10,5 В