Методы расчёта магнитных полей

Основные формулы

1. Магнитный момент рамки с током

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

2. Вращающий момент, действующий на рамку с током:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

3. Вектор индукции Методы расчёта магнитных полей - student2.ru и вектор напряжённости Методы расчёта магнитных полей - student2.ru магнитного поля и их циркуляции по замкнутому контуру:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru
Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru
Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

где Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - магнитная постоянная вакуума, Методы расчёта магнитных полей - student2.ru H/A2; Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - магнитная проницаемость вещества, Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - алгебраическая сумма токов, охватываемых замкнутым контуром, Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - намагниченность вещества.

4. Поток вектора Методы расчёта магнитных полей - student2.ru через замкнутую поверхность

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

5. Некоторые соотношения для магнетиков:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

где Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - восприимчивость вещества.

6. Граничные условия для векторов Методы расчёта магнитных полей - student2.ru и Методы расчёта магнитных полей - student2.ru :

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

где Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - нормальная составляющая вектора Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - тангенциальная составляющая вектора Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - углы между векторами Методы расчёта магнитных полей - student2.ru и перпендикуляром к поверхности границы раздела в разных средах.

7. Принцип суперпозиции для векторов Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

где Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - индукция от полей, созданных различными источниками.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

если источники магнитных полей расположены непрерывно .

8. Индукция магнитного поля движущегося заряда

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

9. Индукция магнитного поля элемента тока (закон Био-Савара-Лапласа)

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

10. Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с током бесконечной и конечной длины соответственно

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

11. Индукция магнитного поля в центре и на оси кругового тока соответственно

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

12. Индукция магнитного поля внутри соленоида и тороида соответственно

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

где N - общее число витков, Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - длина. Длина тороида Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , где Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - радиус средней линии тороида.

Примеры решения задач

Задача 1. Бесконечно длинный проводник с током 5 А делает петлю, лежащую в перпендикулярной току плоскости. Найти напряженность магнитного поля в центре петли, если её радиус 0,5 м.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Решение В центре петли (точка А) магнитное поле создаётся бесконечно длинным током и круговым током (рис. 5.1).  
Дано:

I = 5 A

R = 0,5м

 
  Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

H - ?

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Направление вектора индукции магнитного поля в обоих случаях определяем по правилу буравчика: от бесконечно длинного тока вектор В1 направлен к нам, а от кругового тока вектор В2направлен справа налево по оси кругового тока

(рис. 5.1а). В1 и В2 перпендикулярны друг к другу. Результирующий вектор Внаправлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах В1 и В2

(рис. 5.1б). Числовое значение В находим по теореме Пифагора

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , (1)

причём величины Методы расчёта магнитных полей - student2.ru и Методы расчёта магнитных полей - student2.ru находим по соответствующим формулам:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . (2)

В вакууме напряжённость Н и индукция В связаны соотношением

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . (3)

Подставляя (3) и (2) в (1), для напряжённости получим формулу

   
Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Подставим числовые значения:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru A/м.

Задача 2. Ток 5 А течёт по тонкому изогнутому проводнику (рис. 5.2). Радиус изогнутой части проводника R = 12 см, угол Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Найти индукцию магнитного поля в точке O.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Дано: I = 5 A R = 12 см = 0,12 м Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru В - ?   Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Решение

Индукция Методы расчёта магнитных полей - student2.ru магнитного поля в точке О является векторной суммой индукций В1 и В2, создаваемых током, протекающим по круговому и прямолинейному участкам проводника. Все элементы тока создают в точке О магнитные поля, векторы индукции которых направлены в одну сторону (перпендикулярно плоскости (рис. 5.2), “от нас”). Поэтому от векторной суммы можно перейти к алгебраической, т.е.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Вычислим индукцию Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , создаваемую участком кругового тока, используя закон Био-Савара-Лапласа :

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Для всех участков кругового тока угол между Методы расчёта магнитных полей - student2.ru и Методы расчёта магнитных полей - student2.ru равен Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , а элемент длины Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Угол Методы расчёта магнитных полей - student2.ru при интегрировании по участку кругового тока изменяется от 0 до Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Вычисление интеграла даёт следующее выражение:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Для вычисления индукции Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , создаваемой прямолинейным участком тока BCA, можно воспользоваться выражением, определяющим индукцию магнитного поля прямого тока:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Для данной задачи Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ; Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ; Методы расчёта магнитных полей - student2.ru (из треугольников AOC и COB) . Подстановка значений даёт

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Учитывая, что Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , для величины B окончательно получим

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Подставим числовые значения:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru мкКл.

Задача 3. Тонкий непроводящий диск радиусом R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Найти: а) индукцию магнитного поля в центре диска; б) магнитный момент диска. (рис. 5.3).

       
    Методы расчёта магнитных полей - student2.ru
  Методы расчёта магнитных полей - student2.ru
 

Выделим на расстоянии r от центра диска кольцевую полоску шириной dr . На этой полоске находится заряд Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Вследствие вращения данный заряд создаёт электрический круговой ток силой Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .
Дано: Решение

R

s
Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

       
  Методы расчёта магнитных полей - student2.ru
 
   
 

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Круговой ток создаёт в центре диска магнитное поле с индукцией dB. Используя принцип суперпозиции и учитывая, что все элементарные кольцевые токи dI создают в центре диска магнитные поля одного направления, получим

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Магнитный момент тока dI

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Задача 4. По круглому однородному прямому проводу радиусом 2 см течёт постоянный ток плотностью j = 10А/м. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих внутри и вне соленоида на расстояниях 1 и 5 см соответственно. Построить график B(r).

Дано: Методы расчёта магнитных полей - student2.ru R = 2 Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru A/м Методы расчёта магнитных полей - student2.ru см Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru см Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru В1 -? В2 - ?   Решение Величина индукции зависит только от расстояния до оси провода (рис. 5.4). Вектор Методы расчёта магнитных полей - student2.ru направлен к силовой линии, которая представляет собой окружность с центром на оси провода. Для вычисления магнитной индукции используем теорему о циркуляции: циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром, умноженным на величину Методы расчёта магнитных полей - student2.ru : Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Рис. 5.4

Рассмотрим область точек, лежащих внутри провода Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . В качестве контура интегрирования выберем окружность радиусом r. Направление обхода и направление вектора j свяжем правилом буравчика. По теореме о циркуляции вектора В

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru (1)

Для точек, лежащих вне провода Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , решение задачи аналогично предыдущему случаю. Контур интегрирования теперь охватывает площадь сечения проводника, поэтому сила тока

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

По теореме о циркуляции вектора В

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru (2)

Произведём расчёт формул (1) и (2) .

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru нТл,

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru нТл.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru График зависимости магнитной индукции B от расстояния r представлен на рис. 5.5.

Рис. 5.5

Задача 5. Постоянный ток 10 А течёт по прямому проводнику круглого сечения длиной 50 см (рис. 5.6). Найти поток вектора магнитной индукции через одну из половин осевого сечения.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Дано: Решение

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru I = 10 А

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru см Методы расчёта магнитных полей - student2.ru м

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Ф - ?

Рис. 5.6

Поток вектора индукции определяется интегралом

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru ,

где Методы расчёта магнитных полей - student2.ru - проекция вектора Методы расчёта магнитных полей - student2.ru на нормаль к площадке. В нашем случае Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , т.к. вектор Методы расчёта магнитных полей - student2.ru совпадает по направлению с вектором Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Из решения предыдущей задачи для точек, лежащих внутри проводника, индукция зависит от расстояния.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Выделим в сечении полоску шириной dr и длиной Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , находящуюся на расстоянии r от оси провода. В пределах площадки dS Методы расчёта магнитных полей - student2.ru величину индукции можно считать постоянной, тогда элементарный поток вектора магнитной индукции через неё

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Полный поток магнитной индукции

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Учитывая, что Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , получим

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Подставим числовые значения:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru нВб.

Задача 6. Сколько ампер-витков необходимо для получения индукции величиной 1,4 Тл в электромагните с железным сердечником длиной 90 см и воздушным промежутком длиной 5 мм. Рассеянием магнитного потока в воздушном промежутке пренебречь (рис. 5.7).

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Дано: Решение

 
Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Тл

 
Методы расчёта магнитных полей - student2.ru см Методы расчёта магнитных полей - student2.ru м Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru см Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

I∙N - ?

Исходя из граничных условий на границе раздела воздух-железо, в области воздушного зазора можно записать, что нормальные составляющие вектора магнитной индукции в двух средах не изменяются. Тогда

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Применим к данной задаче теорему о циркуляции для магнетика

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

или

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . (1)

Величину напряжённости поля Методы расчёта магнитных полей - student2.ru в магнетике найдём по графику зависимости Методы расчёта магнитных полей - student2.ru , которая конкретна для каждого сорта железного магнетика. На рис. 5.8 представлена такая зависимость. При значении B = 1,4 Тл напряжённость

H = 1700 Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

 
  Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

В воздушном зазоре величины B и H связаны соотношением Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . Тогда из формулы (1) число ампер-витков

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Подставим числовые значения:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Задача 7. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током 10 А. Сторона рамки 1м. Ближайшая к проводнику сторона рамки расположена от него на расстоянии 0,5 м. Найти поток вектора Методы расчёта магнитных полей - student2.ru через площадь рамки.

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Магнитное поле бесконечного прямого тока - неоднородное. Величина индукции уменьшается с увеличением расстояния r. Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . (1)
Дано: Решение

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru м

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru м

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru

Ф - ?

Вектор Методы расчёта магнитных полей - student2.ru направлен по касательной к силовой линии, а направление тока I и направление силовой линии связаны правилом буравчика. На рис. 5.9 крестики означают, что вектор Методы расчёта магнитных полей - student2.ru направлен от нас. Нормаль к поверхности S также направлена от нас.

В пределах рамки магнитное поле неоднородное, поэтому плоскость рамки разделим на элементарные полоски площадью Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Они настолько малы, что в пределах dS индукцию B можно считать постоянной величиной. Тогда воспользуемся формулой элементарного потока Методы расчёта магнитных полей - student2.ru :

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru . (2)

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Подставим в (2) формулу (1) и учтём, что угол Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Тогда

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Полный поток вектора Методы расчёта магнитных полей - student2.ru через поверхность S рамки равен алгебраической сумме элементарных потоков Методы расчёта магнитных полей - student2.ru :

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru Методы расчёта магнитных полей - student2.ru .

Подставим числовые значения:

Методы расчёта магнитных полей - student2.ru мкВб.

Наши рекомендации