Переходные процессы при заряде и разряде конденсатора

Для переходного процесса зарядки конденсатора (рис.9.5 переключатель П в положении включено), можно записать

Ri + u_C = U.

Рис.9.5. Схема для анализа переходных процессов при зарядке и разрядке конденсатора

Ток в цепи

i = d(Cu_C)/dt = Cdu_C/dt

Подставляя выражение в предыдущую формулу, получим

RCdu_C/dt + u_C = U.

Тогда напряжение на конденсаторе

u_C = u_C′ = u_C″.

Свободное напряжение u_C″ находят, решая однородное дифференциальное уравнение

RCdu″_C/dt + u″_С = 0,

которому соответствует характеристическое уравнение RCp + 1 = 0, откуда, p = –1/(RC).

Следовательно, свободное напряжение на конденсаторе

u_C″ = Ae^pt = Aе ^–t/(RC) = Ae ^–t/τ,

где τ = RС.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме

u_C = u′_C + Ae^–t/τ,

а ток

i = i′ – (A/R)e^‑t/τ ,

причем i′ = Cdu′_C/dt, i″ = Cdu″_C/dt = (A/R)e ^{– t/τ}

Постоянную интегрирования А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий работы цепи, которые различны для процессов заряда и разряда конденсатора.

Зарядка конденсатора. Напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону

u_C = U(1 – e^‑t/τ)

Ток в цепи согласно (1.130) i′ = 0, а A = –U после чего получим

i = (U/R)e^–t/τ

На рис.9.6 показано изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при зарядке конденсатора.

Рис.9.6. Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при зарядке конденсатора

Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный конденсатор начнет разряжаться на резистор R. Принимая u′_C = 0 и находя из начальных условий u_c (при t = 0, u_C = U_C), а постоянная интегрирования A = U_C получим, что напряжение на конденсаторе равно u_C = U_Ce^‑t/τ, а ток с учетом, что i′ = 0,

i = -(U/R) е^-t/τ.

Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора приведены на рис.9.7.

Рис.9.7. Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора

ЛЕКЦИЯ10. Цепи периодического несинусоидального тока

Общие сведения

При генерировании, трансформации, распределении и потреблении электроэнергии возникают искажения формы синусоидальных ЭДС, напряжений и токов.

Несинусоидальные токи в цепях возникают при синусоидальных ЭДС и напряжениях источников электрической энергии, если цепи содержат нелинейные элементы. Так, в катушке с ферромагнитным магнитопроводом, которая является нелинейным элементом, при синусоидальном напряжении сети ток несинусоидальный. Подобное явление наблюдается в промышленных городских сетях, когда в качестве осветительных приборов используются люминесцентные лампы, имеющие нелинейные вольт- амперные характеристики.

Нелинейные элементы широко используются в электрических цепях автоматики, управления, релейной защиты и т. д. Эти нелинейные элементы (стабилизаторы напряжения, умножители и делители частоты, магнитные усилители и т. п.) приводят к искажению формы кривых напряжения или тока.

Известно, что постоянный ток в энергетической электронике получают преобразованием переменного синусоидального тока с помощью выпрямителей, в которых используются нелинейные элементы — диоды. Естественно, что в таких электрических цепях возникают как несинусоидальные токи, так и несинусоидальные напряжения. На рис. 4.1а-б приведены временные диаграммынапряжений и токов однополупериодного и двухполупериодного выпрямителей, работающих на резистивную нагрузку. В настоящее время широкое распространение получила импульсная техника, т. е. отрасль радиоэлектроники, в которой для решения определенных задач используют импульсные устройства. Формы импульсов напряжений в импульсной технике весьма разнообразны.

Основное распространение получили импульсы треугольной, прямоугольной, трапецеидальной формы и др. (рис.9.1).

Рис.9.1. Импульсы треугольной (а) и прямоугольной (б) формы

Появление в электрических цепях несинусоидальных напряжений и токов может привести к весьма нежелательным последствиям. Несинусоидальные токи вызывают дополнительные потери мощности, ухудшают характеристики двигателей, создают большие помехи в линиях связи, каналах телемеханики и т. д. Заметим, что допустимое содержание гармоник оценивается коэффициентом гармоник Кг. Для промышленных сетей Кг≤5%, т. е. в этом случае кривая напряжения на экране осциллографа визуально не отличается от синусоиды и это напряжение длительно допустимо на выводах любого приемника электрической энергии.

Возникновение периодических несинусоидальных токов

В предыдущих главах изучались линейные электрические цепи, в которых токи, напряжения и ЭДС изменялись по синусоидальному закону. В электроэнергетике стремятся поддерживать переменные токи, напряжения и э. д. с. синусоидальными, так как большинство электротехнических устройств при этом работает лучше. Однако на практике токи, напряжения и э. д. с. в большей или меньшей мере отличаются от синусоидальных.

Токи, напряжения и ЭДС, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону, называются периодическими несинусоидальными. Причиной возникновения несинусоидальности э. д. с., напряжений и токов могут быть как синхронные генераторы, являющиеся источниками синусоидального тока, так и приемники энергии, в схемах которых имеются нелинейные элементы. Кроме того, причиной возникновения несинусоидальных токов может бытъ подключение к электрической цепи генераторов несинуроидальных напряжений определенной формы, например в виде широко применяемых в радиоэлектронике релаксационных генераторов пилообразной , прямоугольной и других форм напряжений.

Кстати, в различных устройствах радиотехники, автоматики, вычислительной техники, системах обработки данных, в автоматизированных системах управления очень широко применяют генераторы периодических импульсов самой различной формы, причем само отклонение импульсов от синусоидальной формы является основой рабочего процесса того или иного устройства. Поэтому знание элементов теории несинусоидальных периодических токов необходимо для понимания принципа работы различных электронных и полупроводниковых устройств.

Таким образом, в линейных цепях несинусоидальный ток может возникать под воздействием несинусоидального периодического напряжения, получаемого в специальных генераторах или за счет искажений, вносимых синхронными генераторами.

В синхронных генераторах одной из причин искажения формы э. д. с. является отличие распределения магнитной индукции вдоль воздушного зазора от синусоидального. Ток несинусоидальной формы может также возникать в нелинейных цепях. В частности, если в цепи имеется индуктивная катушка со стальным сердечником, то при синусоидальном напряжении в цепи по мере насыщения сердечника возникает ток несинусоидальной формы, так как при увеличении насыщения появляется нелинейность в зависимости между магнитным потоком и намагничивающим током.

При анализе электрических цепей с несинусоидальными токами и напряжениями широко используют теорему Фурье, согласно которой любая периодически изменяющаяся величина может рассматриваться как сумма постоянной величины и ряда синусоидальных величин различной частоты.

Следовательно, для анализа несинусоидальных периодических токов можно использовать методы, применяемые для анализа синусоидальных токов, если предварительно представить периодические несинусоидальные функции рядом Фурье. Если затем определить токи, обусловленные действием отдельных составляющих, то, согласно принципу наложения, складывая их, получают искомый ток цепи.