ЗАНЯТИЕ № 3. Расчет систем с резервированием

Пример 1. Система содержит n=3 одинаковых элемента – один основной и два резервных (кратность резервирования 2). Интенсивность отказов каждого элемента λ= 0,05 1/час. Постоянное резервирование без перераспределения нагрузки или замещением с нагруженным резервом.

Найти вероятность безотказной работы системы и интенсивность отказов при t= 10,20, 50, 100 час, а также среднее время безотказной работы.

Используемые формулы

t,час	Rрез	λ, /1час	R̃рез	λ̃, /1час
	0,939	0,015	0.986	0,00385
	0,747	0.0296	0,92	0,01
	0.227	0,0458	0,544	0,0236
	0,02	0,0497	0,125	0.0338

Для одного элемента

T₀ = 20 час

T_рез = 20(1+1/2+1/3)= 36,7 час █

Пример 2.Теже данные, только резерв активный ненагруженный. Найти те же показатели

Используемые формулы

R̃_рез (t) =

λ̃_рез (t) = .

См. таблицу.

T̃_рез = nT₀ = 3∙20= 60 час █

Пример 3. Определить кратность m постоянного резервирования, обеспечивающую вероятность безотказной работы элемента 0,96 в течение t=150 час. Среднее время безотказной работы элемента T₀ =300 час. Рассмотреть два варианта: а) экспоненциальный закон и б) закон Рэлея для времени безотказной работы.

Независимо от закона распределения

,

где – вероятность безотказной работы системы с резервом, R(t) – вероятность безотказной работы элемента, а n – общее число элементов в системе (n= m+1). Отсюда

Для варианта а)

, где λ=1/T₀ .

, и

=2,45.

Следует взять m = 3.

Для варианта б)

, = 0,822, и

= 0,87.

Достаточно взять m = 1.

Отметим влияние закона распределения времени безотказной работы.▲

Пример 4. Система электроснабжения состоит из n=4 генераторов мощностью 18 кВт каждый. Необходимо не менее 30 кВт. Интенсивность отказов каждого генератора λ= 0,15∙10^-3 1/час. Найти вероятность безотказной работы за время t=600 час и среднее время безотказной работы.

Обозначим через p вероятность безотказной работы одного генератора за время t. В случае экспоненциального закона

p = e^-λt .

Для безотказной работы системы необходимо не менее двух работоспособных генераторов (или допустим отказ не более 2-х).

.

Находим для t= 600 час

= 0,9139

и далее

Среднее время безотказной работы найдем по формуле (для случая экспоненциального распределения c интенсивностью отказов λ)

,

где k – минимально допустимое число работоспособных элементов. После подстановок получим

T_рез = 10³/0,15∙(1/2+1/3+1/4)= 7220 час.

Без резерва λ = 0,3∙10^-3 ; R(600) = e^-0,18 = 0,835; T = 3333 час. ▲

Пример 5. Интенсивность отказов блока λ₁= 10^-4 1/час. Что лучше: применить ненагруженный резерв в виде такого же блока или другой блок с интенсивностью отказов λ₂= 10^-5 1/час (стоимость одинакова). Сравнение провести по вероятности безотказной работы в течение 10³, 5∙10³, 10⁴ час.

t, час
103	e-0,1(1+0,1)=0,9953	e-0,01 =0,990
5∙103	e-0,5(1+0,5)=0,9075	e-0,05 =0,9512
104	e-1(1+1)= 0,7358	e-0,1 = 0,9048

Для t = 5∙10³ и 10⁴ час лучше другой блок. ▲

Пример 6. Система питания состоит из выпрямителя, работающего от сети (λ₁= 0,3∙10^-3 1/час) и резервного аккумулятора (λ₂= 5∙10^-3 1/час). Резерв считать ненагруженным. Найти вероятность безотказной работы в течение t= 100 час. Сравнить с вероятностью безотказной работы нерезервированной системы.

=

= =

= .

Для нерезервированной системы

R(t) = e^-0,03 = 0,9704. ▲