Вероятность случайного события

Событие – появление определенного признака, например, заданного числа частиц газа в единице объема около выбранной точки. Вероятность признака равна относительному числу его появления.

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r

Вероятность случайного события - student2.ru (число частиц в элементе объема)/(объем элемента) Вероятность случайного события - student2.ru .

Концентрация изменяется с течением времени хаотически.

Событие – наблюдение определенной концентрации Вероятность случайного события - student2.ru .

Проводим N измерений концентрации, искомый результат Вероятность случайного события - student2.ru наблюдается Вероятность случайного события - student2.ru раз, тогда вероятность результата Вероятность случайного события - student2.ru

Вероятность случайного события - student2.ru (число искомых результатов)/(число измерений Вероятность случайного события - student2.ru ) =

Вероятность случайного события - student2.ru . (1.1)

Область определения вероятности ограничена интервалом

Вероятность случайного события - student2.ru

между невозможным Вероятность случайного события - student2.ru и достоверным Вероятность случайного события - student2.ru событиями. Зависимость Вероятность случайного события - student2.ru называется функцией распределения вероятностисобытий. Например, при бросании симметричной игральной кости, имеющей 6 граней, вероятность выпадения какой-либо определенной грани равна 1/6 и распределение вероятности равномерное.

Для вероятности отдельных групп событий выполняются теоремы.

Несовместимые события А1, А2,…, Аk не могут произойти одновременно. Например, если бросать шестигранную кость, на каждой грани которой написано число от 1 до 6, можно получить результат: или 1, или 2,…, или 6. Выполняется теорема сложения вероятностей несовместимых событий – вероятность сложного события A или B равна сумме вероятностей отдельных событий. Действительно, выполняется

Вероятность случайного события - student2.ru . (1.2)

Если (А1, А2,…, Аk) – полный набор несовместимых событий, то какое-либо одно из них обязательно происходит, тогда выполняется

Вероятность случайного события - student2.ru или Вероятность случайного события - student2.ru или Вероятность случайного события - student2.ru .

С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для полного набора несовместимых событий

Вероятность случайного события - student2.ru . (1.3)

Пример. Движения молекулы газа по и против некоторой оси образуют полный набор несовместимых направлений движения

W(влево) + W(вправо) = 1.

Если у системы все направления равноправные, тогда

W(влево) = W(вправо) = 1/2.

Независимые события А1, А2,…, Аk не влияют друг на друга. Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой частицы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий

Вероятность случайного события - student2.ru и Вероятность случайного события - student2.ru , (1.4)

Для k независимых событий

Вероятность случайного события - student2.ru и Вероятность случайного события - student2.ru и Вероятность случайного события - student2.ru и Вероятность случайного события - student2.ru .

Пример. В объеме V0, все точки которого равноправные, находится частица. Объем V0 разбиваем на N одинаковых ячеек объемом Вероятность случайного события - student2.ru . При обследовании всех ячеек, то есть при Вероятность случайного события - student2.ru измерениях, найдем частицу только в одной ячейке. Вероятность найти частицу в одной произвольной ячейке согласно определению вероятности (1.1)

Вероятность случайного события - student2.ru (число положительных результатов)/(число измерений) =

Вероятность случайного события - student2.ru . (1.4а)

Если в V0 находится m независимых частиц, то вероятность, что весь газ окажется в объеме V, согласно теореме (1.4) равен

Вероятность случайного события - student2.ru . (1.4б)

Наши рекомендации

Число: 2136