Методика синтеза фильтров по характеристическим параметрам

2.2.1. Основные положения синтеза по характеристическим параметрам

Обоснование основных расчетных соотношений этого метода синтеза следующее.

Рассматривается линейный четырехполюсник, для его описания используется система -параметров:

, (8)

,

где – напряжение и ток на входе четырехполюсника, – напряжение и ток на выходе четырехполюсника.

Определяются коэффициенты передачи для произвольного (согласованного или несогласованного) режима:

, (9)

, (10)

где – сопротивление нагрузки (в общем случае комплексное).

Для произвольного режима вводится постоянная передачи ( ), ослабление ( ), фаза ( ):

. (11)

Ослабление в неперах определяется выражением

, (12)

а в децибелах – выражением

. (13)

В несогласованном режиме входные, выходные и передаточные характеристики четырехполюсника называются рабочими параметрами, а в согласованном режиме – характеристическими. Значения согласующих входного и выходного сопротивлений на заданной рабочей частоте определяются из уравнений четырехполюсника (8):

, (14)

. (15)

В согласованном режиме, с учетом выражений (14), (15), характеристическая постоянная передачи определяется:

. (16)

С учетом соотношений для гиперболических функций

, (17)

(18)

определяется взаимосвязь между характеристическими параметрами согласованного режима и элементами электрической схемы ( -параметрами). Выражения имеют вид

, (19)

. (20)

Выражения (19), (20) характеризуют согласованный режим произвольного линейного четырехполюсника. На рисунке 3 показана схема произвольного
Г-образного звена, -параметры которой, в соответствии с выражениями (8), определяются:

, , , .

Рис. 3

При согласованном включении Г-образного звена выражения (19), (20) преобразуются к виду:

, (21)

. (22)

Если в продольной и поперечной ветвях Г-образной схемы находятся разнотипные реактивные элементы, то схема является электрическим фильтром.

Анализ формул (21), (22) для этого случая позволяет получить методику синтеза фильтров по характеристическим параметрам. Основные положения этой методики:

– фильтр проектируется из одинаковых, включенных каскадно, согласованных в полосе пропускания друг с другом и с внешними нагрузками звеньев (например, звеньев Г-типа);

– ослабление в полосе пропускания ( ) принимается равным нулю, так как во всей полосе пропускания фильтр считается согласованным;

– требуемые величины внешних активных сопротивлений ( ) для согласованного режима определяются через сопротивления «ветвей» Г-об­раз­­ного звена по приближенной формуле

; (23)

– граничная частота полосы пропускания ( ) определяется из условия

; (24)

– ослабление звена ( ) на граничной частоте полосы задерживания ( ) определяется (в децибелах) по формуле

; (25)

– количество одинаковых Г-звеньев, включаемых каскадно, определяется выражением:

. (26)

2.2.2. Последовательность синтеза ФНЧ (ФВЧ)
по характеристическим параметрам

Расчетные формулы получены из основных положений методики синтеза по характеристическим параметрам, приведенных в п. 2.2.1 данных методических указаний. В частности, формулы (27), (28) для определения значений элементов звена получены из выражений (23), (24). При синтезе по характеристическим параметрам последовательность расчетов для ФНЧ и ФВЧ следующая:

а) рассчитываются номиналы идеальных индуктивности и емкости Г-звена фильтра по заданным значениям сопротивлений нагрузки, генератора и значению граничной частоты полосы пропускания:

, (27)

, (28)

где – значения сопротивлений нагрузки и генератора, – значение граничной частоты полосы пропускания. График требований к ослаблению и схема Г-образного звена ФНЧ приведены на рисунках 4 а, б. На рисунках 5 а, б приведены требования к ослаблению и схема Г-образного звена ФВЧ.

Рис. 4

Рис. 5

б) рассчитывается ослабление звена ( ) в децибелах на граничной частоте полосы задерживания ( ) по заданному значению коэффициента прямоугольности ( ). Для ФНЧ:

. (29)

Для фильтра верхних частот:

. (30)

В расчетах по формулам (29), (30) применяется натуральный логарифм;

в) рассчитывается количество звеньев ( ) по заданному значению гарантированного ослабления на границе полосы задерживания, в соответствии с формулой (26):

.

Значение округляется до ближайшего большего целого значения;

г) рассчитывается ослабление фильтра в децибелах для нескольких значений частот в полосе задерживания (расчетное ослабление в полосе пропускания, без учета тепловых потерь, в этом методе считается равным нулю). Для фильтра нижних частот:

. (31)

Для фильтра верхних частот:

; (32)

д) анализируются тепловые потери ( ). Для приближенного расчета тепловых потерь по низкочастотному прототипу вначале определяются на частоте резистивные сопротивления реальных катушек индуктивности ( ) при самостоятельно выбранных значениях добротности ( ). Катушки индуктивности, в дальнейшем, в схеме электрической принципиальной, будут введены вместо идеальных индуктивностей (конденсаторы считаются более высокодобротными и их резистивные потери не учитываются). Расчетные формулы:

, (33)

. (34)

Ослабление фильтра в децибелах, с учетом тепловых потерь, определяется:

, (35)

а модуль коэффициента передачи по напряжению ( ) определяется из соотношения, связывающего его с ослаблением фильтра:

; (36)

е) по результатам расчетов по формулам (35), (36) строятся графики ослабления и модуля коэффициента передачи по напряжению для ФНЧ или ФВЧ;

ж) по справочникам радиоэлементов выбираются ближайшие по номиналу к идеальным элементам стандартные конденсаторы и катушки индуктивности для последующей разработки схемы электрической принципиальной и перечня элементов всей электрической цепи. В случае отсутствия стандартных катушек индуктивностей нужного номинала необходимо их разработать самостоятельно. На рисунке 6 показаны основные размеры простой цилиндрической катушки с однослойной намоткой, необходимые для ее расчета.

Рис. 6

Число витков такой катушки с ферромагнитным сердечником (феррит, карбонильное железо) определяется из выражения

, (37)

где – число витков, – абсолютная магнитная проницаемость, – относительная магнитная проницаемость материала сердечника,
– длина катушки, , где – радиус основания катушки.

2.2.3. Последовательность синтеза ПФ (РФ)
по характеристическим параметрам

На рисунках 7 а, б и 8 а, б приведены графики требований к ослаблению и простейшие Г-образные звенья, соответственно, для полосового и режекторного фильтров.

Рис. 7

Рис. 8

Синтез ПФ и РФ рекомендуется проводить, используя расчеты фильтров-прототипов с такой же полосой пропускания и задерживания. Для ПФ прототипом является фильтр нижних частот, а для РФ – фильтр верхних частот. Методика синтеза следующая:

а) на первом этапе синтеза применяется частотное преобразование, при котором графические требования к ослаблению ПФ пересчитываются в требования к ослаблению ФНЧ, а графические требования к ослаблению РФ пересчитываются в требования к ослаблению ФВЧ:

, (38)

; (39)

б) по рассмотренной ранее методике синтеза ФНЧ и ФВЧ (пункты а–е
п. 2.2.2) разрабатывается схема электрическая, эквивалентная ФНЧ, для синтеза ПФ, или ФВЧ – для синтеза РФ. Для ФНЧ или ФВЧ строятся графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению;

в) схема ФНЧ преобразуется в схему полосового фильтра преобразованием продольных ветвей в последовательные колебательные контуры и поперечных ветвей в параллельные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра преобразованием продольных ветвей в параллельные колебательные контуры и поперечных ветвей в последовательные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Добавочные реактивные элементы для каждой ветви ФНЧ (ФВЧ) определяют по значению заданной средней частоты полосового или режекторного фильтра ( ) и рассчитанным значениям реактивных элементов ветвей ФНЧ (ФВЧ), используя известное выражение для резонансных контуров:

; (40)

г) для схем ПФ или РФ разрабатываются или выбираются по справочникам радиоэлементов конденсаторы и катушки индуктивности по той же методике, которая рассматривалась ранее в п. 2.2.2 (пункт ж) данных методических указаний;

д) графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению ФНЧ (ФВЧ) пересчитываются в графики ПФ (РФ) в соответствии с соотношениями между частотами этих фильтров. Например, для преобразования графиков ФНЧ к ПФ:

, (41)

, (42)

где – частоты, соответственно, выше и ниже средней частоты полосового фильтра. По этим же формулам пересчитываются графики фильтра верхних частот в графики режекторного фильтра.