Механизмы рассеяния и подвижность носителей

Из выражений (5.17) и (5.19) следует, что подвижность носителей заряда зависит от их скорости движения и параметров λ и ν, характеризующих механизмы рассеяния носителей в кристаллической решетке. В свою очередь центры рассеяния могут иметь самую различную природу. В реальном кристалле существует довольно много таких центров рассеяния, т.е. объектов, с которыми взаимодействуют электроны проводимости. Наиболее существенными механизмами рассеяния являются: рассеяние на фононах решетки, на ионизированных и нейтральных атомах примеси, рассеяние на дислокациях, электрон-электронное рассеяние и т.д. Подвижность электронов определяется совокупным действием указанных механизмов рассеяния.

В области высоких температур основную роль играет электрон-фононное рассеяние. Средняя длина свободного пробега в этом случае обратно пропорциональна концентрации фононного газа λ ~ 1/n_Ф, а J_Т ~ Т^1/2.

В свою очередь, концентрация фононного газа пропорциональна его температуре n_Ф ~ Т. С учетом приведенных зависимостей и (5.17) можно записать для невырожденного газа

μ ~ λ/J_Т ~ Т ^-1/Т ^1/2 = Т ^-3/2. (5.21)

Поскольку для вырожденного электронного газа J_Ф практически не зависит от температуры, для этого случая можно записать

μ ~ λ_Ф/J_ТФ ~ Т ^-1. (5.22)

Таким образом, в области высоких температур, когда основную роль играет электрон-фононное рассеяние, можно записать:

для невырожденного газа

μ = А₁Т ^-3/2, (5.23)

а для вырожденного газа

μ = В₁Т ^-1, (5.24)

где А₁ и В₁ – постоянные, слабо зависящие от температуры.

В области низких температур основное значение имеет рассеяние на ионизированных примесях. Этот процесс состоит в том, что ионы примеси отклоняют электроны, проходящие вблизи них. Резерфордом была получена формула для электрон-ионного взаимодействия

λ ~ J⁴. (5.25)

Если подставить зависимость (5.25) в выражения (5.17) и (5.19), то можно записать:

для невырожденного газа:

μ ~ J³ = А₂Т ^3/2, (5.26)

а для вырожденного газа соответственно

μ ~ λ_Ф/J_Ф ~ J_Ф² = В₂ = const, (5.27)

где А₂и В₂ – постоянные величины.

Нейтральная примесь рассеивает носители заряда гораздо слабее, чем ионизированная. Однако в области низких температур необходимо учитывать этот механизм рассеяния, поскольку существует большая концентрация еще не ионизированных атомов примеси.

При рассеянии на нейтральной примеси важную роль играют два процесса: прямое упругое рассеяние и обменное рассеяние, когда падающий электрон обменивается местом с электроном на примесном центре. Время релаксации на нейтральных атомах примеси равно

, (5.28)

где a₁ – радиус первой боровской орбиты для внешнего электрона примеси;

N_H – концентрация нейтральной примеси.

Обычно рассеяние на нейтральной примеси приводит ко времени релаксации, не зависящему ни от температуры, ни от энергии рассеиваемого электрона.

Дислокации в кристаллической решетке также приводят к рассеянию носителей заряда. В полупроводнике n-типа дислокация ведет себя подобно линейному отрицательному заряду, окруженному положительным зарядом. Такую дислокацию можно рассматривать как заряженный цилиндр. Величина радиуса цилиндра R зависит от концентрации носителей. Такие рассеяния можно характеризовать усредненным временем релаксации

, (5.29)

где N – плотность дислокаций;

J – скорость рассеиваемого электрона.

Если принять J = 10⁵ м/с, R = 3∙10^-7 м, N = 10¹⁰ м^-2, то получим τ_д=1,3∙10^-9 с, т.е. время релаксации оказывается малым. Поэтому данный механизм рассеяния необходимо учитывать при низких температурах в собственных и слаболегированных полупроводниках.

Еще один механизм рассеяния связан со взаимодействием свободных электронов между собой (электрон-электронное рассеяние). Очевидно, что вероятность такого рассеяния должна возрастать с ростом концентрации носителей. Однако даже в сильнолегированных полупроводниках и металлах вклад этого типа рассеяния в общую картину невелик, поскольку массы взаимодействующих частиц почти равны и время релаксации гораздо меньше, чем в предыдущих типах рассеяния.

В реальных кристаллах одновременно действует несколько типов рассеяния, а вклад каждого типа в общую картину может сильно меняться с изменением температуры и концентрации носителей. Чаще всего, однако, основную роль в полупроводниках играют электрон-фононноеиэлектрон-ионное рассеяние.

При одновременном действии нескольких независимых механизмов рассеяния результирующее время релаксации определяется из выражения

, (5.30)

где τ_i – время релаксации по i-ому механизму

Результирующая подвижность носителей в случае электрон-ионного и электрон-фононного типов рассеяния с учетом выражений для невырожденного газа (5.23) и (5.26) может быть определена как

. (5.31)

Эта зависимость подвижности от температуры приведена на графиках рис. 5.2, а. При малых температурах электрон-фононное рассеяние незначительно и подвижность носителей определяется электрон-ионным рассеянием. При возрастании температуры начинает работать второй механизм рассеяния, который вскоре и становится основным.

Необходимо отметить, что с ростом концентрации ионизированной примеси подвижность увеличивается, а максимум функции μ(Т) сдвигается в область больших температур и становится менее выраженным.

N1 < N2 < N3

а) б)

Рис. 5.2. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры и концентрации ионизированной примеси: а – невырожденный газ; б – вырожденный газ

Для вырожденногогаза можно провести аналогичные рассуждения и записать выражение

, (5.32)

которое иллюстрируется графиком на рис. 5.2, б.

В заключение подчеркнем, что для экспериментального определения подвижности носителей используют три основных метода, которые в общем случае дают различные значения подвижности для одного и того же образца. Соответственно различают три вида подвижности: дрейфовую подвижность μ_д, измеряемую по изменению дрейфовой скорости в электрическом поле; омическую подвижность μ_п, определяемую по величине электропроводности; холловскую подвижность μ_х, которая измеряется на основе ЭДС Холла.

При электрон-фононном рассеянии в большинстве случаев μ_п = μ_д. В случае электрон-ионного рассеяния эти подвижности могут существенно различаться. Холловская подвижность обычно несколько больше для электронов и несколько меньше для дырок, чем дрейфовая подвижность.