Концентрация носителей заряда

Разрешенные зоны содержат большое количество уровней, на каждом из которых могут находиться электроны. Чтобы оценить фактическую концентрацию носителей в полупроводнике, необходимо знать распределение уровней и вероятность их заполнения.

Для невырожденных полупроводников вероятность заполнения уровня W в зоне проводимости дается распределением Максвела–Больцмана:

,

где W_F – энергия, характеризующая уровень Ферми, т.е. уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5; k = 1,38 · 10^–23 Дж/ºК – постоянная Больцмана, Т – температура по шкале Кельвина.

Вероятность незаполнения уровня в валентной зоне, т.е. наличия дырки на этом уровне, определяется аналогично:

.

В предположении того, что плотность уровней ~ ,
концентрация свободных электронов будет равна:

,

где , m_n – эффективная масса электрона,
h = 6,63 · 10^–34 Дж · С – постоянная Планка.

Аналогично концентрация дырок

,

где , m_p – эффективная масса дырки.

Из произведения концентраций:

видно, что при неизменной температуре произведение концентраций – величина постоянная. Увеличение одной из концентраций сопровождается уменьшением другой.

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы: n_i = p_i (здесь и далее символ i означает собственный полупроводник). Поэтому

.

Из этого выражения следует:

1) собственная концентрация носителей заряда очень сильно зависит от ширины запрещенной зоны. Именно поэтому значение n_i для кремния на три порядка меньше, чем для германия;

2) собственная концентрация очень сильно зависит от температуры. При этом влияние температуры тем сильнее, чем больше ширина запрещенной зоны.

Для примесных полупроводников справедливы следующие выражения:

где n_p, p_p – концентрации электронов и дырок в полупроводнике
р-типа; n_n, p_n – концентрация электронов и дырок в полупроводнике
n-типа.

С учетом того, что

, , , ,

где – концентрации акцепторных и донорных примесей, получим:

, , , .

Отсюда вывод: концентрация неосновных носителей заряда в полупроводнике обратно пропорциональна концентрации примеси.

Важными характеристиками полупроводника являются скорость генерации V_ген и скорость рекомбинации V_рек электронно-дырочных пар:

, ,

где – коэффициенты, зависящие от материала полупро-
водника.

Равновесное состояние полупроводника характеризуется тем, что скорость генерации равна скорости рекомбинации: V_ген = V_рек.

Неравновесным состоянием полупроводника называется такое состояние, когда скорость генерации отличается от скорости рекомбинации: V_ген V_рек.

Зная концентрацию электронов и дырок, можно определить значение уровня Ферми:

,

где – электростатический потенциал полупроводника.

Отсюда можно сделать следующие выводы.

1. В собственных полупроводниках, у которых n = p = n_i, уровень Ферми расположен в середине запрещенной зоны.

2. В электронных полупроводниках (n-типа), у которых , уровень Ферми лежит в верхней половине запрещенной зоны и тем выше, чем больше концентрация электронов.

3. В дырочных полупроводниках (р-типа), у которых , уровень Ферми лежит в нижней половине запрещенной зоны и тем ниже, чем больше концентрация дырок.

4. С ростом температуры, когда примесный полупроводник постепенно превращается в собственный, уровень Ферми смещается к середине запрещенной зоны.

Одно из фундаментальных положений в физике полупроводников формулируется следующим образом: уровень Ферми одинаков во всех частях равновесной системы, какой бы она ни была.