Многошаговый синтез конструкций РЭС через анализ

(порядок оптимального проектирования)

Математический синтез заключается в математической записи совокупности всех данных Д (формула 1.2), выработке критерия оптимальности, отыскании оптимального решения.

Очевидна сложность и невозможность решения задачи прямого синтеза РЭС, это связано:

– с многообразием и сложностью условий эксплуатации и противоречивыми требованиями, предъявляемыми к РЭС;

– с отсутствием математических моделей РЭС (функции связи (1.1).

Поэтому синтез РЭС осуществляется поэтапно.

На каждом этапе разработчик определяет критерии оптимизации. Далее проводится сравнительный анализ вариантов конструкторских решений по этим критериям. Вариант с лучшим значением показателя качества является исходным для последующего этапа.

Для РЭС синтез состоит в решении двух задач [27]:

– выбор структуры устройства, или структурный синтез;

– выбор числовых значений параметров устройства (схемы) внутри заданной структуры, или параметрический синтез.

Для РЭС под структурой следует понимать совокупность элементов устройства, связанных между собой информационными связями. Под параметром – любое численное выражение характеристики элемента структуры (в электрических схемах элементами структуры являются ЭРЭ: конденсаторы, резисторы, ИМС, транзисторы).

Типовая структурная схема синтеза представлена на рисунке 41.

Вначале выбирается исходная структура устройства. На ее базе собирается макет или модель (определяется функция связи).

Перебором параметров макета подбирается их совокупность, в наибольшей степени удовлетворяющая исходным техническим требованиям (критериям синтеза при заданных входных воздействиях). Если изменение параметров заданной структуры не дает приемлемого решения, то выбирается новая структура и так далее до получения требуемого результата. Такая процедура носит название «многошаговый синтез через анализ» (синтез – анализ – синтез).

Рисунок 41 – Схема оптимального синтеза

Если не удается получить приемлемого решения среди обозримого числа структур, пересматриваются критерии синтеза и входные воздействия.

Таким образом, синтез устройства является сложным итерационным процессом, содержащим следующие основные процедуры:

– формирование критериев синтеза и входных воздействий;

– выбор структуры устройства;

– формирование макета (модели) по заданной структуре;

– определение совокупности параметров, подлежащих вариации;

– организацию перебора варьируемых параметров.

Таким образом, синтез заключается в создании описаний объекта, а анализ – в оценке свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию.

Существенное значение при решении задачи синтеза имеет выбор критерия качества (оптимизации). Формулировка требований к критерию оптимизации приводит к математической формулировке задачи синтеза.

Процесс синтеза при конструировании всегда сопровождается анализом получаемых решений для внесения коррективов, т. е. протекает шаговая процедура приближения к оптимуму по схеме «синтез – анализ – синтез».

Литература

Основная

[3, 10, 27].

Дополнительная

[4, 5, 7, 18, 20].

Контрольные вопросы и задания

1 Дайте определение структурного, параметрического синтеза.

2 Назовите основные требования к критерию качества.

3 Дайте математическую формулировку критерия качества и задачи синтеза.

4 Объясните процедуру многошагового синтеза через анализ.

Глава 8 Планирование эксперимента

Задачи планирования эксперимента (ПЭ). Основные понятия ПЭ. Планирование эксперимента как метод получения функции связи. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Статистическая обработка результатов ПФЭ. Оптимизация РЭС методом крутого восхождения. Оптимизация РЭС симплексным методом.

Понятие планирования эксперимента

Методы планирования эксперимента позволяют решать задачи выделения критичных первичных параметров (отсеивающие эксперименты: однофакторный эксперимент, метод случайного баланса), получения математического описания функции связи (ПФЭ), оптимизации РЭС (метод крутого восхождения и симплексный метод).

Выбранный критерий оптимизации должен отвечать ряду требований.

ПФЭ проводится по определенному плану (матрице ПФЭ). Для сокращения объема эксперимента используют дробные реплики.

Статистическая обработка результатов ПФЭ содержит проверку воспроизводимости опыта, оценку значимости коэффициентов модели, проверку адекватности модели.

Следует рассмотреть особенности метода крутого восхождения, симплексного метода оптимизации и последовательность проведения эксперимента для каждого из них.

Мысль о том, что эксперимент можно планировать, восходит к глубокой древности. Наш далекий предок, убедившийся, что острым камнем можно убить даже мамонта, несомненно выдвигал гипотезы, которые после целенаправленной экспериментальной проверкипривели к созданию копья, дротика, а затем и лука со стрелами. Он, однако, не пользовался статистическими методами, поэтому остается непонятным, как он вообще выжил и обеспечил тем самым наше существование [13].

В конце 20-х г.г. XX века Рональд Фишер впервые показал целесообразность одновременного варьирования всеми факторами.

В 1951 г. в Англии Бокс и Уилсон опубликовали первую работу по планированию экстремальных экспериментов.

В 1951 г. в Англии Бокс и Уилсон опубликовали первую работу по планированию экстремальных экспериментов.

Идея метода Бокса-Уилсона проста: экспериментатору предлагается ставить последовательно небольшие серии опытов, в каждой из которых одновременно изменяются по определенным правилам все факторы. Серии организуются таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было выбрать условия проведения (т. е. спланировать) следующую серию. Так последовательно шаг за шагом достигается область оптимума. Применение ПЭ делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, повышает производительность труда и надежность результатов.

ПЭ позволяет:

– сократить количество опытов;

– найти оптимум;

– получить количественные оценки влияния факторов;

– определить ошибки.

Планирование эксперимента (ПЭ) по ГОСТ 24026–80 – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. Иначе, ПЭ – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и изучением оптимальных программ проведения экспериментальных исследований.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов.

В ПЭ вводится понятие объекта исследования – системы, которая определенным образом реагирует на интересующее исследователя возмущение.

В проектировании ЭС объектом исследования может быть любое РЭУ (рисунок 42).

Рисунок 42 – Объект исследования

Объект исследования должен отвечать двум основным требованиям:

– воспроизводимость (повторяемость опытов);

– управляемость (условие проведения активного эксперимента заключающееся в возможности установки требуемых значений факторов и поддержании их на этом уровне).

Применение методов ПЭ для исследования РЭС основывается на том, что объект исследования (РЭС) можно представит кибернетической моделью – «черным ящиком» (см. рисунок 2), для которого может быть записана функция связи (см. формулу 1.1).

Для объекта исследования (усилителя на рисунке 42) формула 1.1 имеет вид: ,

где , , ,…, .

В ПЭ функция связи или математическая модель объекта исследования – численные характеристики целей исследования (выходы «черного ящика»), выходные параметры РЭУ, параметры оптимизации.

Состояние «черного ящика» определяется набором факторов, переменных величин, влияющих на значение выходного параметра.

По ГОСТ 24026–80 фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результат эксперимента.

Для применения методов ПЭ фактор должен быть:

– управляемым (выбрав нужное значение фактора, его можно установить и поддерживать постоянным в течение эксперимента);

– однозначным;

– независимым (не быть функцией другого фактора);

– совместимым в совокупности с другими факторами (т. е. все комбинации факторов осуществимы);

– количественным;

– точность установки (измерения) значения фактора должна быть высока.

Каждый фактор в проводимом эксперименте может принимать одно или несколько значений – уровни факторов. По ГОСТ 24026–80 уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений – непрерывный ряд. Практически принимается, что фактор имеет определенное количество дискретных уровней.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика» – условия проведения одного опыта.

Если перебрать все возможные наборы уровней факторов, то получим полное множество различных состояний «черного ящика» – ,

где p – количество уровней,

n – количество факторов.

Если эксперимент проводится для 2-х факторов на 2-х уровнях варьирования, то имеем 2² = 4 состояния;

для 3-х факторов на 2-х уровнях – 2³ = 8;

для 3-х факторов на 3-х уровнях – 3³ = 27;

для 5-ти факторов на 5-ти уровнях – 5⁵ = 3125 состояний «черного ящика» или опытов.

В ПЭ вводится понятие «факторное пространство». Факторным называется пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Для «черного ящика» с двумя факторами x₁ , x₂ можно геометрически представить факторное пространство в виде рисунка 43. Здесь факторы изменяются (варьируются) на 2-х уровнях.

Для уменьшения количества опытов необходимо отказаться от экспериментов, которые содержат все возможные опыты. На вопрос: «Сколько опытов надо включить в эксперимент?» дают ответ методы ПЭ.

Известно, что минимальное количество опытов имеем при 2-х уровневом варьировании.

Итак, количество опытов 2ⁿ.

Количество факторов n, участвующих в эксперименте, определяется с помощью отсеивающих экспериментов (однофакторного эксперимента, метода случайного баланса [46, см. лаб. работу № 501].

Рисунок 43 – Поверхность отклика

Так как каждому набору значений факторов соответствует некоторое (определенное) значение параметра выходного параметра y (параметра оптимизации), то имеем некоторую геометрическую поверхность отклика – геометрическое представление функции отклика.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Математическое описание поверхности отклика (математическая модель) – уравнение, связывающее параметр оптимизации y с факторами (уравнение связи, функция отклика, формула 1.1). В ПЭ принимаются следующие предположения о функции отклика (поверхности отклика):

– поверхность отклика – гладкая, непрерывная функция,

– функция имеет единственный экстремум.

Планирование эксперимента как метод получения функции связи

Итак, вопрос о минимизации количества опытов связан с выбором количества уровней варьирования факторов p. В ПЭ принимают p=2, при этом количество опытов N = 2ⁿ .

При выборе подобласти для ПЭ проходят два этапа:

– выбор основного уровня фактора (x_i0);

– выбор интервала варьирования (λ_i).

Введем обозначения:

– – натуральное значение основного уровня i-го фактора (базовое значение, базовый уровень),

i – номер фактора.

Пример, если R₁= 10 кОм (см. рисунок 42), то кОм,

для R₂ = 3кОм – кОм и т.д.;

– – натуральное значение верхнего уровня фактора, которое определяется по формуле x_{imax =} x_i0 + λ_i ,

где – натуральное значение интервала варьирования i-го фактора.

В примере (см. рисунок 42) принимается = 20 кОм, тогда

x_1max = 120 кОМ;

– – натуральное значение нижнего уровня фактора, которое определяется по формуле x_imin = x_i0 - λ_I , в нашем примере x_1min = 80 кОм.

На величину интервала варьирования накладываются естественные ограничения:

– интервал варьирования должен быть не меньше ошибки измерения фактора;

– интервал варьирования должен быть на больше пределов области определения фактора [13].

Выбор интервала варьирования неформализуемый этап, на котором используется следующая априорная информация:

– высокая точность установки значений факторов;

– предположение о кривизне поверхности отклика;

– диапазон возможного изменения факторов.

Для РЭС принимают = (0,1,…,0,3) x_i0 .

В примере (см. рисунок 42) подсчитаем значения трех факторов при заданном базовом уровне (x_i0 ) и интервале варьирования ( ).

Таблица 3.1 – Значения факторов

Параметр	Фактор	Номинальное значение , кОм	Интервал , кОм	Уровни
, кОм	, кОм
R1	x1
R2	x2		0,6	3,6	2,4 кОм
R3	x3

В ПЭ используются не натуральные, а кодированные значения факторов.

Кодирование факторов (по ГОСТ 24026–80 – «нормализация факторов») проводится по формуле:

Тогда если x₁ = x_1max , то имеем x_i =+1, если x₁ = x_1min , – x_i = –1, x_i – кодированное значение фактора.

В самом простом случае ПЭ позволяет получить математическое описание функции связи (математическую модель объекта исследования – РЭУ) в виде неполного квадратичного полинома:

.

При этом осуществляется варьирование на двух уровнях (p=2), и минимальное количество опытов равно N=2ⁿ , где n – количество наиболее влияющих факторов, включенных в эксперимент после проведения отсеивающих экспериментов.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом(ПФЭ).

ПФЭ проводится по плану, который называется матрицей ПФЭ, или матрицей плана (таблицы 3.2 и 3.3).

Матрицей плана называют стандартную форму записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, стоки которой отвечают опытам, столбцы – факторам.

Таблица 3.2 – Матрица ПФЭ для двух факторов

j	x1	x2	yj
	–	–	y1
	+	–	y2
	–	+	y3
	+	+	y4

В матрице ПФЭ знак ”–” (минус) соответствует ”+1”, а ”+” (плюс) ”соответствует ”–1”.

В матрице ПФЭ для двух факторов (n=2) (см. таблицу 3.2) количество уровней варьирования – p=2, количество опытов N=2²=4.

Таблица 3.3 – Матрица ПФЭ для трех факторов

j	x1	x2	x3	yj
	–	–	–	y1
	+	–	–	y2
	–	+	–	y3
	+	+	–	y4
	–	–	+	y5
	+	–	+	y6
	–	+	+	y7
	+	+	+	y8

В матрице ПФЭ для трех факторов (n=3) (см. таблицу 3.3) количество уровней варьирования – p=2, количество опытов N=2³=8.

В соответствии с планом проводится ПФЭ. Для примера на рисунке 42 принимаем n=3 и реализуем матрицу ПФЭ по таблице 3.3. Для этого:

– устанавливают значения факторов x₁ , x₂ ,… x_n на уровни по первой строке матрицы (см. таблицу 3.3) (–1, –1,…,–1);

– измеряют первое значение выходного параметра y₁ ;

– устанавливают значения факторов x₁ , x₂ ,… x_n на уровни по второй строке матрицы (см. таблицу 3.3) (+1, –1,…,–1);

– измеряют второе значение выходного параметра y₂ , и так далее до последнего опыта N (y_n).

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности в силу ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (параллельных) опытов может не дать совпадающих результатов из-за ошибки воспроизводимости.

Если предположить, что закон распределения случайной величины y_j – нормальный, то можно найти ее среднее значение при повторных опытах (по каждой строке матрицы).