Концентрация носителей и уровень Ферми

В полупроводниках

Итак, концентрация носителей в собственных и примесных полупроводниках сильно зависит от температуры. Одним из основных параметров, характеризующих газ свободных носителей в полупроводниках, является уровень Ферми, который также зависит от температуры.

В собственных и слаболегированных полупроводниках, в отличие от металлов, электронный газ является невырожденным и может быть описан классической статистикой Максвелла-Больцмана.

При температуре Т (Т>0К) в зоне проводимости такого полупроводника находятся электроны, а в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрации соответственно n и p. Примем за начало отсчета энергии электронов дно зоны проводимости. Используя ранее полученные соотношения (п.3.3) для функции Максвелла-Больцмана, можно определить число частиц в интервале Е, E+dE как

. (5.33)

В невырожденных полупроводниках Е_Ф является величиной отрицательной и, по определению, находится ниже дна зоны проводимости (рис. 5.3, а).

Обозначим расстояние от потолка валентной зоны до уровня Ферми как μ', а расстояние от уровня Ферми до дна валентной зоны – μ (рис. 5.3, а).

Из рисунка очевидно следует, что

Е_Ф+μ'=Е_g, μ'=-(Е_g-μ), (5.34)

где Е_g – ширина запрещенной зоны полупроводника.

μ

μ'

а) б)

Рис. 5.3. Зонная структура полупроводника: а – температурная постоянная;

б – температурная зависимость уровня Ферми; 1 – m_p^* = m_n^*; 2 – m_p^* > m_n^*; 3 – m_p^* < m_n^*

Полное число электронов, находящихся в зоне проводимости, можно определить, интегрируя (5.33) в интервале от 0 до Е₂. Поскольку функция exp(-E/kT) спадает очень быстро, то верхний предел интегрирования Е₂ (здесь не отрицательный) можно заменить приближенно на бесконечность так, что

. (5.35)

Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:

, (5.36)

где N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Подобный расчет, проведенный для плотности дырок в валентной зоне, приводит к выражению

, (5.37)

где N_V – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Из (5.36) и (5.37) следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяется расстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем ниже концентрация носителей.

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n_i равна концентрации дырок в валентной зоне

n_i = p_i. (5.38)

Приравнивая правые части (5.36) и (5.37) и решая полученное уравнение относительно Е_Фi с учетом (5.34), получим выражение

. (5.39)

Последнее соотношение определяет положение уровня Ферми в собственных полупроводниках. При абсолютном нуле (Т=0)

Е_Фi = -Е_g/2, (5.40)

т.е. уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны (рис. 5.3, б). С повышением температуры он смещается либо вверх (m_p^*>m_n^*), либо вниз (m_p^*<m_n^*), либо сохраняет свою высоту (m_p^*=m_n^*) (рис. 5.3, б).

Подставляя Е_Фi из (5.39) в (5.36) и (5.37), получим выражение, описывающее концентрацию носителей заряда в собственных полупроводниках

. (5.41)

Анализ данного выражения показывает, что равновесная концентрация носителей в полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой полупроводника. Зависимость эта очень сильная. Так, уменьшение Е_д с 1,2 эВ (кремний) до 0,08 эВ (серое олово) при комнатной температуре приводит к увеличению концентрации на 9 порядков, а возрастание температуры германия от 100 К до 600 К повышает концентрацию носителей на 17 порядков.

Однако полупроводники часто используют в примесном варианте, т.е. с включением донорной или акцепторной примеси (п. 4.6). Напомним, что в этом случае полупроводники имеют более высокую концентрацию носителей заряда, особенно при низких температурах.

При низких температурах средняя энергия тепловых колебаний кристаллической решетки мала и недостаточна для переброса электрона через запрещенную зону. Однако эта энергия может оказаться достаточной для переходов: донорный уровень – зона проводимости; или валентная зона – акцепторный уровень, т.к. ΔЕ_д << Е_g или ΔЕ_а << Е_g. Поэтому при низких температурах в примесных проводниках происходит возбуждение практически лишь примесных уровней.

Можно считать, что концентрация ионизированных донорных атомов согласно распределению Максвелла-Больцмана равна

, (5.42)

где N_д – концентрация атомов донорной примеси,

а концентрация ионов акцепторной примеси равна

. (5.43)

Для случая низких температур, согласно закону сохранения заряда, соответственно для электронного и дырочного полупроводников можно записать

n = p_д, p = n_д. (5.44)

Приравнивая (5.37) и (5.42), получим выражения для уровня Ферми в электронном полупроводнике

. (5.45)

Из выражения (5.45) следует, что при нулевой температуре уровень Ферми находится посередине интервала Е_д + Е_с = ΔЕ_д и с ростом температуры смещается вниз (рис. 5.4, а).

Если представить последнее выражение в (5.37), то получим формулу для концентрации основных носителей (электронов) в n-полупроводнике

. (5.46)

Представляет интерес и нахождение концентрации неосновных носителей в электронном полупроводнике – дырок p_n. Для этого необходимо выражение для уровня Ферми (5.45) подставить в (5.38). После ряда простых преобразований получим закон действующих масс

p_nn_n = n_i². (5.47)

Из этого закона следует, что при повышении концентрации донорной примеси, а следовательно, и с ростом концентрации основных носителей, наблюдается снижение концентрации неосновных носителей. Закон действующих масс справедлив для любого невырожденного полупроводника в условиях термодинамического равновесия. Так, для дырочного полупроводника можно записать выражение

p_pn_p = n_i². (5.48)

С повышением температуры полупроводника концентрация носителей (рис. 5.4) возрастает до тех пор, пока она на приблизится к концентрации примеси. Условие электронейтральности в этом случае примет вид n_n = N_д. Подставляя в это равенство формулу (5.36), после несложных преобразований получим выражение для уровня Ферми в данном температурном диапазоне

. (5.49)

Дальнейшее повышение температуры приведет к росту концентрации носителей за счет возбуждения их из валентной зоны, а также к росту неосновных носителей. Если концентрация дырок будет близка к концентрации электронов, полупроводник по своим свойствам окажется близким к беспримесному, т.е. p ≈ n, E_фn ≈ E_фi.

Аналогичные рассуждения и выкладки можно провести для полупроводника p-типа, имеющего только акцепторную примесь. В этом случае можно записать выражение для уровня Ферми

(5.50)

и выражение для концентрации основных носителей

. (5.51)

Выражения (5.45), (5.46), (5.50) и (5.51) можно проиллюстрировать соответствующими графиками (рис. 5.4).

600

400

200

а) б)

Рис. 5.4. Зависимость концентрации носителей заряда и уровня Ферми от температуры:
а – электронный полупроводник; б – дырочный полупроводник

На рисунке видно, что при малых температурах уровень Ферми находится между примесным уровнем и краем ближайшей зоны. Концентрация основных носителей при этом резко возрастает с повышением температуры. Затем наступает область, где концентрация основных носителей практически постоянна, а уровень Ферми все время смещается к середине запрещенной зоны. Эту область называют областью истощения примеси, поскольку все имеющиеся атомы ионизированы. В конце данной области начинаются переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости и резко возрастает концентрация неосновных носителей.

Если в полупроводнике содержатся оба сорта примесей (доноры и акцепторы), то тип проводимости определяется по преобладающей. Если, например, концентрация доноров больше, чем концентрация акцепторов, то при Т=0 все акцепторные уровни будут заполнены электронами, перешедшими от доноров. Условие электронейтральности в этом случае примет вид

n = p_д – N_a, (5.52)

где p_д по-прежнему определяется из (5.42), а n – из (5.36).

При повышении температуры все донорные уровни опустошаются и концентрация электронов становится постоянной и равной

n = N_a – N_д. (5.53)

Все предыдущие рассуждения относятся к слаболегированным полупроводникам, где применима статистика Максвелла-Больцмана. Однако в ряде случаев используются полупроводники с большой концентрацией примеси, т.е. сильнолегированные полупроводники.

На рис. 5.5, а показана температурная зависимость концентрации электронов при различных концентрациях донорной примеси N_д. Рост N_д вызывает естественное смещение графиков вверх, рост температур истощения примеси, а также уменьшение угла наклона примесных участков графиков, т.е. уменьшение энергии ионизации примеси ΔЕ_д.

Это же происходит и в акцепторных полупроводниках. Например, в кремнии, легированном бором, изменение ΔЕ_а с ростом N_а описывается эмпирическим соотношением

, (5.54)

где Е_ао ≈ 0,08 эВ – энергия ионизации в слаболегированных полупроводниках;

α = 4,3∙10^-10 эВ/м.

В соответствии с (5.54) при N_а = 6∙10²⁴ м^-3, ΔЕ_а = 0 и концентрация носителей в примесной области перестает зависеть от температуры. Такие полупроводники называют вырожденными.

N1

N2

N3>N2>N1

а) б) в) г)

Рис. 5.5. Легированные полупроводники: а – температурная зависимость концентрации

носителей; б – примесный уровень в запрещенной зоне; в – примесная зона в запрещенной зоне; г – перекрытие примесной зоны и зоны приводимости в вырожденных полупроводниках

Уменьшение энергии ионизации примеси при увеличении ее концентрации N_пр объясняется тем, что с ростом N_пр расстояние между атомами примеси уменьшается, а взаимодействие между ними растет. При достижении некоторой величины N_пр примесный уровень расщепляется в примесную зону (рис. 5.5, в), а при дальнейшем увеличении N_пр примесная зона растет и может перекрываться с зоной проводимости (рис. 5.5, г). В этом случае энергия ионизации обращается в нуль и полупроводник в примесной области ведет себя, практически как металл. Уровень Ферми с повышением степени легирования смещается к примесной зоне и (в случае вырожденного полупроводника) оказывается, в зависимости от типа примеси, в зоне проводимости или валентной зоне. В области же собственной проводимости полупроводника концентрация его носителей вновь приобретает характерные свойства.