Расчет трехмерных электрических полей в однородных средах

Рассмотрим систему стержневых электродов, образующих заземлитель, в однородной среде с удельным сопротивлением r. Для токов промышленной частоты можно принять, что электрическое поле является постоянным, а проводники эквипотенциальны. Линейные размеры проводников заземлителя существенно больше их поперечных размеров, так что их можно принять бесконечно тонкими.

Разделим контур заземлителя на N отрезков, расположив в середине каждого расчетную точку, как показано на рис.2.1.

Рис.2.1

Плотность тока в пределах каждого отрезка принимается постоянной J=const. Тогда потенциал в расчетной точке P равен:

, (2.1)

где - потенциальный коэффициент, r- удельное сопротивление земли, r_pj- расстояние между расчетной точкой P и элементом интегрирования dl j-ого отрезка.

В общем случае пространственного расположения расчетной точки P и отрезка интегрирования 1-2 (рис.2.2) аналитическое вычисление интеграла при расчете взаимных потенциальных коэффициентов является затруднительным. Решение этой задачи существенно упрощается в локальной системе координат, у которой ось x совпадает, а ось y перпендикулярна направлению отрезка интегрирования, как показано на рис.2.2.

Величины h₁ и h₂, определяющие координаты отрезка интегрирования в новой системе, находим по известным из аналитической геометрии формулам:

,

,

где (x₁,y₁,z₁) - координаты точки 1, (x₂y₂,z₂)- координаты точки 2, (x_p,y_p,z_p) - координаты расчетной точки P, (A_x,B_x,C_x) - направляющие косинусы отрезка интегрирования относительно исходной системы координат XYZ.

.

Рис 2.2.

Теперь, зная положение точки О, можно выразить направляющие косинусы новой оси y:

, , ,

где , L₁ - расстояние от точки 1 до точки P.

Потенциальный коэффициент для расчетной точки P, обусловленный током отрезка интегрирования, равен:

.

Выражение для собственного потенциального коэффициента при n=R и h₂=-h₁=0.5h принимает вид:

,

где R- радиус стержня, h- длина отрезка интегрирования.

Найдем производные потенциального коэффициента по координатным осям:

,

.

В отличие от потенциальных коэффициентов, которые инвариантны к системе отсчета, коэффициенты b_x,b_y необходимо преобразовать в реальную трехмерную систему отсчета XYZ. Для этого производится поворот координатных осей, так что

, (2.2)

где A,B,C- определенные ранее направляющие косинусы координатных осей x,y относительно системы XYZ.

Рассчитав потенциальные коэффициенты, получим систему уравнений с квадратной матрицей N-ого порядка [a]×[J]=[U], где [a]-матрица коэффициентов, [J]- искомый вектор-столбец линейной плотности тока, [U]- потенциал заземлителя. Поскольку при расчете заземлителей задан полный ток, правая часть системы неизвестна. Перенесем неизвестный потенциал в левую часть системы и добавим для каждого заземлителя дополнительное условие, определяющее полный ток через токи отрезков:

,

где h_i - длина отрезка с плотностью тока J_i. Для уединенного заземлителя получим систему N+1 порядка:

.

Решение системы производится стандартным методом гауссова исключения с выбором главного члена. Результатом является вектор плотности токов и потенциал заземлителяU_заз. Сопротивление заземлителя находим как R_заз=U_заз/I, распределение потенциала на поверхности землиU(x,y,0) определяем по формуле (2.1), напряжение прикосновения какU_пр=U_заз-U(x,y,0). Составляющие и модуль вектора напряженности электрического поля в любой точке пространства определяются суммированием влияния токов отрезков стержней как:

, , , ,

где коэффициенты b определены соотношением (2.2). Плотность тока связана с напряженностью соотношением J=E/r.