Статистический анализ одной случайной величины

Измерено = 60 входных сопротивлений однотипных электроизмерительных приборов. В таблице 1 приведены: номер опыта и соответствующее значение сопротивления (в Омах).

Таблица 1 – Исходные данные измерения входного сопротивления транзисторов

Номер измерения		Номер измерения
	0,88		0,94
	0,78		0,91
	0,61		0,62
	0,98		0,69
	0,88		0,91
	0,89		0,81
	0,77		0,83
	0,88		0,77
	1,05		0,77
	0,96		1,09
	0,84		0,83
	1,08		0,91
	0,84		0,76
	0,74		1,01
	0,78		0,87
	1,18		0,74
	0,66		0,99
	0,85		0,74
	0,76		0,65
	0,89		0,82
	0,50		0,72

Продолжение таблицы 1

Номер измерения		Номер измерения
	0,97		0,88
	0,84		0,89
	0,82		0,97
	0,91		0,71
	0,77		0,64
	0,78		0,92
	0,82		0,83
	0,93		0,88
	0,84		0,92

1.1 Составим группированный статистический ряд. Примем общее количество интервалов, равное шести. Максимальное значение исследуемого параметра равно 1,18, а минимальное – 0,5. Тогда размах варьирования составляет:

; (1)

.

Определим ширину интервала, для этого размах варьирования разделим на количество интервалов

. (2)

Для удобства округлим значение интервала до сотых значений в большую сторону – примем равным 0,12.

Подсчитывая количество значений случайной величины, попавших в каждый разряд, относя значения, попавшие на грани­цу между интервалами, к левому интервалу, а также деля на число опытов = 60, получаем следующий группированный статистический ряд частот, приведенный в таблице 2

Таблица 2 – Группированный статистический ряд частот

Интервалы	0,50 ÷ 0,62	0,62 ÷ 0,74	0,74 ÷ 0,86	0,86 ÷ 0,98	0,98 ÷ 1,10	1,10 ÷ 1,22
Частоты	0,050	0,150	0,350	0,350	0,083	0,017

Полученные значения частот являются статистическим аналогом вероятности, что значение случайной величины попадет в указанный интервал. В данном случае ширина интервала = 0,12. Разделив каждую частоту на значение этого интервала, получим таблицу плотности частоты . При этом для удобства построения сглаживающей кривой на отдельных от гистограммы осях введем дополнительно строку «Середина интервала». Получим следующий группированный статистический ряд плотностей частот, которые сведем в таблицу 3

Таблица 3 – Группированный статистический ряд плотностей частот

Интервалы	0,50 ÷ 0,62	0,62 ÷ 0,74	0,74 ÷ 0,86	0,86 ÷ 0,98	0,98 ÷ 1,10	1,10 ÷ 1,22
Середина интервала	0,56	0,68	0,80	0,92	1,04	1,16
Плотность частоты	0,417	1,250	2,917	2,917	0,694	0,139

Построим гистограмму распределения – статистический аналог кривой распределения. Для этого на оси абсцисс отложим разряды, на каж­дом разряде как на основании строим прямоугольник с ординатой , при этом площадь его будет . Гистограмма плотности распределения будет выглядеть следующим образом (рисунок 1).

1.2 Далее на основании полученной гистограммы построим сглаживающую кривую, для этого средние точки на вершинах каждого из столбцов гистограммы соединим плавной кривой. Построение выполним на отдельных осях с целью последующего сравнения данной кривой с кривой аппроксимирующего закона распределения. Диаграмма сглаживающей статистической кривой приведена на рисунке 2.

В качестве аппроксимирующего закона, на основании визуального анализа статистической кривой, примем нормальный закон распределения, кривая которого описывается следующим выражением:

. (3)

Результаты расчета для построения аппроксимирующей кривой нормального закона распределения внесем в таблицу 4

Рисунок 1 – Гистограмма плотности распределения параметра

Таблица 4 – Данные для построения аппроксимирующей кривой

Середина интервала	0,56	0,68	0,80	0,92	1,04	1,16
Плотность частоты	0,268	1,435	3,05	2,575	0,864	0,115

Результаты построения аппроксимирующей кривой распределения также приведены на рисунке 2.

1.3 Рассчитаем основные моменты распределения. Определять центральные моменты при статистической обработке данных целесообразно с помощью формул расчета центральных моментов распределения через начальные. На практике определение начальных моментов производится через условные варианты, что существенно упрощает расчеты

, (4)

Рисунок 2 – Сглаживающая и аппроксимирующая кривые статистического

распределения

где – условный вариант;

– середина -го интервала;

– постоянная величина (условный нуль);

– шаг.

Чтобы максимально упростить расчеты, значение С выбирают равным значению X среднего интервала, а значение шага – равное ширине разряда гистограммы . Подставляя значения взамен соответствующих в формулы определения начальных моментов, получаем значения условных начальных моментов (они имеют символ « ′ » в обозначении). Тогда формулы для определения искомых центральных моментов через условные начальные моменты примут вид

. (5)

Для нашего примера в качестве условного нуля примем = 0,92. С целью удобства результаты расчета вспомогательных величин для определения условных начальных моментов сведем в таблицу 5.

Таблица 5 – Расчет вспомогательных параметров для определения условных начальных моментов

0,56 0,68 0,80 0,92 1,04 1,16	0,050 0,150 0,350 0,350 0,083 0,017	-3 -2 -1	-0,150 -0,300 -0,350 0,083 0,033	0,450 0,600 0,350 0,083 0,067	-1,350 -1,200 -0,350 0,083 0,133	4,050 2,400 0,350 0,083 0,267
		-	-0,683	1,550	-2,684	7,150

Тогда условные начальные моменты будут равны

; (6)

;

; (7)

;

; (8)

;

; (9)

.

Тогда на основании формул (5) находим

;

;

;

;

1.4 Коэффициенты асимметрии и эксцесса будут равны

; (10)

; (11)

;

.

Данная статистическая кривая распределения имеет небольшую отрицательную асимметрию влево и является незначительно более пологой, чем кривая нормального закона распределения.

1.5 Определим оценку согласования данного статистического распределения с нормальным законом распределения, используя критерий ХИ-квадрат Пирсона. Мерой согласия данного критерия является величина , равная

, (12)

где k – число разрядов гистограммы;

– вероятность попадания случайных значений в соответствующий интервал , вычисленная по теоретическому закону;

– статистическая частота попадания случайного значения в соответствующий интервал;

– число произведенных измерений.

Для случая аппроксимации статистического распределения нормальным законом вероятность попадания случайных значений величины в каждый из интервалов вычисляют с помощью формулы Муавра – Лапласа

, (13)

где – функция Лапласа. В таблице П.Б.1 приведены значения для различных значений . Вычисления данной функции для рассматриваемого примера оформим в виде таблицы 6.

Таблица 6 – Результаты вычисления функций Лапласа

	0,50	0,62	0,74	0,86	0,98	1,10	1,22
	-2,71	-1,75	-0,78	0,18	1,14	2,10	3,06
	-0,4966	-0,4596	-0,2837	0,0699	0,3722	0,4820	0,4989

Тогда вероятности , вычисленные по формуле (13), равны

;

;

;

;

;

.

Критерий ХИ-квадрат будет равен

Распределение ХИ-квадрат зависит от параметра , называемого числом степеней свободы распределения, определяемого по формуле

, (14)

где k – число независимых связей.

Примерами связей могут быть

и т.д. (15)

Для случая нормального закона распределения ограничиваются условиями равенства моментов первого и второго порядков с соответствующими теоретическими, т.е. и . Следовательно, для данного примера

.

Тогда по формуле (14) находим

.

Для и по таблице П.В.1 находим

.

Следовательно, данное распределение достаточно хорошо согласуется с нормальным законом. Окончательно значение статистического параметра записываем в следующем виде:

; (16)

.